Презентация Визначений інтеграл і його застосування онлайн

Содержание слайда: Визначений інтеграл і його застосування 1. Визначений інтеграл і його властивості 2.Формула Ньютона-Лейбніца 3. Невласні інтеграли 4. Застосування інтегралів 5. Наближене обчислення визначених інтегралів

Содержание слайда: Визначений інтеграл і його застосування Нехай f(x) – неперервна на відрізку [a;b] . Означення. Фігура, що належить площині xOy і обмежена відрізком [a;b] осі Ox, прямими x=a, x=b і кривою y= f(x), називається криволінійною трапецією. Зауваження. Прямі x = a і x = b можуть виродитись у точки

Содержание слайда: Визначений інтеграл і його застосування Нехай f(x)  0 , x[a;b] . Площа S криволінійної трапеції (σ)

Содержание слайда: Визначений інтеграл і його застосування - інтегральна сума для функції f(x) на відрізку [a;b]. Якщо існує границя сум In(xi,i) при 0, то її називають визначеним інтегралом від функції f(x) на відрізку [a;b]  (або в межах від a до b). ПОЗНАЧАЮТЬ: a и b – нижня і верхня границя інтегрування, [a;b]  – проміжок інтегрування, f(x) – підінтегральна функція, f(x)dx – підінтегральний вираз, x – змінна інтегрування.

Содержание слайда: Визначений інтеграл і його застосування Функція f(x), для якої на [a;b] існує визначений інтеграл, називається інтегрованою на цьому відрізку. ТЕОРЕМА 1 (необхідна умова інтегрованості функції на [a;b]). Якщо функція f(x) інтегрована на відрізку [a;b], то вона на цьому відрізку обмежена. ТЕОРЕМА 2 (достатня умова інтегрованості функції на [a;b]). Для інтегрованості функції f(x) на [a;b], достатньо виконання однієї з умов: 1) f(x) неперервна на [a;b]; 2) f(x) обмежена на [a;b] і має на [a;b] скінчене число точок розриву; 3) f(x) монотонна і обмежена на [a;b].

Содержание слайда: Визначений інтеграл і його застосування Зауваження. 1) якщо a > b , то 2) якщо a = b , то

Содержание слайда: Визначений інтеграл і його застосування 1) Геометричний зміст визначеного інтеграла. Якщо функція f(x) – неперервна на [a;b] і f(x)  0 , x[a;b] , то де S – площа криволінійної трапеції с основою [a;b] і обмеженою зверху кривою y = f(x). 2) Фізичний зміст визначеного інтеграла. Якщо функція v = f(t) задає швидкість точки, що рухається в момент часу t , то визначить шлях S, пройдений точкою за проміжок часу[T1 ; T2] .

Содержание слайда: Властивості визначеного інтеграла

Содержание слайда: Властивості визначеного інтеграла 5) Якщо f(x) > 0 (f(x)  0)  x[a;b] , то 6) Якщо f(x)  (x) x[a;b] , то 7) Якщо m і M –відповідно найменше і найбільше значення функції f(x) на відрізку [a;b], то 8) Якщо f(x) – непарна функція, то Якщо f(x) – парна функція, то

Содержание слайда: Теорема про середнє Якщо функція f(x) неперервна на [a;b], то в інтервалі (a;b) знайдеться така точка c, що справедлива рівність

Содержание слайда: Формула Ньютона-Лейбница

Содержание слайда: Формула Ньютона-Лейбница Заміна змінної Інтегрування за частинами

Содержание слайда: Формула Ньютона-Лейбница

Содержание слайда: Формула Ньютона-Лейбница

Содержание слайда: Формула Ньютона-Лейбница

Содержание слайда: Невласні інтеграли Для існування необхідне виконання умови: 1) [a;b] – скінченний, 2) f(x) – обмежена (необхідна умова існування визначеного інтеграла). Невласні інтеграли – узагальнене поняття визначеного інтеграла у випадку коли одна з цих умов не виконується.

Содержание слайда: Невласні інтеграли I роду (за нескінченним проміжком) ОЗНАЧЕННЯ. Невласним інтегралом I роду від функції f(x) на проміжку [a;+) називається границя функції I(b) при b  +  . Якщо y = f(x) неперервна на (–;b] , то аналогічно визначається і позначається Невласним інтегралом I роду для функції f(x) на проміжку (– ;b]:

Содержание слайда: Невласні інтеграли I роду При цьому, якщо границя в правій частині формули існує і скінченний, то невласний інтеграл називають збіжним. У противному випадку ( якщо границя не існує або дорівнює нескінченності) невласний інтеграл називають розбіжним. Якщо y = f(x) неперервна на ℝ , то невласним інтегралом I роду для функції f(x) на проміжку (– ;+ ) називають (2) де c – довільне число. Невластный інтеграл від f(x) на промежутку (–;+) називається збіжним, якщо ОБИДВА інтеграла в правій частині формули (2) збігаються. У протилежному випадку, невласний інтеграл на проміжку (– ;+ ) називається розбіжним.

Содержание слайда: Невласні інтеграли I роду

Содержание слайда: Невласні інтеграли I роду

Содержание слайда: Ознаки збіжності невласних інтегралів I роду ТЕОРЕМА 1 (перша ознака збіжності). Нехай f(x) і (x) неперервні на [a;+) і 0  f(x)  (x) , x[c; +) (де c  a). Тоді: 1) якщо – збіжний, то теж збіжний , до того ж 2) якщо – розбіжний, то теж розбіжний.

Содержание слайда: Ознаки збіжності невласних інтегралів I роду ТЕОРЕМА 2 (друга ознака збіжності) Нехай f(x) і (x) неперервні і невід'ємні на [a;+ ). Якщо де h – дійсне число, відмінне від нуля, то інтеграли поводять себе однаково відносно збіжності.

Содержание слайда: Ознаки збіжності невласних інтегралів I роду При використанні теорем 1 и 2 в якості «еталонних» інтегралів зазвичай використовують наступні невласні інтеграли:

Содержание слайда: Ознаки збіжності невласних інтегралів I роду ТЕОРЕМА 3 (ознака абсолютної збіжності). Якщо збігається інтеграл , то і інтеграл теж буде збіжним сходиться. При цьому інтеграл називається абсолютно збіжним.

Содержание слайда: Ознаки збіжності невласних інтегралів I роду Якщо розбіжний, то про інтеграл нічого сказати неможна. Він може розбігатися, а може і збігатися. Якщо розбіжний, а – збіжний, то інтеграл називається умовно збіжним

Содержание слайда: Невласні інтеграли IІ роду (від необмежених функцій) ОЗНАЧЕННЯ. Невласним інтегралом IІ роду на проміжку [a;b] від функції f(x), обмеженої в точці b називається границя функції I(b1) при b1  b – 0  . Якщо y=f(x) неперервна на (а;b] і , то аналогічно визначається і позначається невласний інтеграл IІ роду для функції f(x) на проміжку [a;b] від функції f(x), необмеженої в точці a :

Содержание слайда: Невласні інтеграли IІ роду Якщо y = f(x) неперервна на [a;b]\{c} і x = c – точка нескінченного розриву функції, то невласний інтеграл IІ роду для функції f(x) на проміжку [a;b] називають Невласний інтеграл на проміжку [a;b] від функції f(x), необмеженою всередині цього відрізку, називається збіжним, якщо ОБИДВА інтеграла в правій частині формули (2) збігаються. У протилежному випадку, невласний інтеграл на проміжку [a;b] називається розбіжним.

Содержание слайда: Невласні інтеграли IІ роду

Содержание слайда: Невласні інтеграли IІ роду «Еталонні» інтеграли для невласних інтегралів IІ роду (від необмежених функцій)

Содержание слайда: Довжина дуги кривої Плоска крива, задана параметрично рівняннями Нехай крива (ℓ) не має самоперетинів і задана параметричним рівнянням: де (t) , (t) – непрерывно диференційована на [;] . Довжина кривой (ℓ) .

Содержание слайда: Довжина дуги кривої Плоска крива в полярних координатах Нехай r = r() – неперервно диференційована на [;] . Довжина кривої r = r() , де [;]. x = r  cos , y = r  sin 

Содержание слайда: Обчислення об'єму тіла За площею паралельних перерізів Нехай (V) – замкнена і обмежена область у Oxyz (тіло). Нехай S(x) (a  x  b) – площа довільного перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі Ox. Тоді об'єм тіла (V)

Содержание слайда: Об'єм тіла обертання Нехай (V) – тіло, отримане в результаті обертання навколо осі Ox криволінійної трапеції з основою [a;b], обмеженою y = f(x) . Об'єм цього тіла (V)

Содержание слайда: Об'єм тіла обертання Нехай (V) – тіло, отримане в результаті обертання навколо осі Ox області (σ), обмеженої лініями x = a, x = b, y = f1(x), y = f2(x), де 0  f1(x)  f2(x), x[a;b]. Об'єм цього тіла (V)

Содержание слайда: Наближене обчислення визначених інтегралів Нехай y = f(x) – неперервна на [a;b] і її первісна не є елементарною. Необхідно знайти 5.1. Формула прямокутників Розіб'ємо [a;b] на n рівних відрізків довжини h точками x0 = a ,  x1 ,  x2 ,  … ,  xn = b   (де  x0 < x1 < x2 < … < xn ). Нехай yi = f(xi) (i = 0,1,2,…,n). Складемо суми Sn = y0h + y1h + y2h + … + yn–1h , S̃n = y1h + y2h + y3h + … + ynh , де – довжина відрізків [xi–1 ; xi] (i = 1,2,…,n).

Содержание слайда: Наближене обчислення визначених інтегралів Sn і S̃n – інтегральні суми для f(x) на відрізку [a;b]. (1) (2) Нехай Rn – модуль різниці між точними значеннями визначеного інтеграла і його наближеним значенням. Тоді де Формули (1) и (2) називаються формулами прямокутників

Содержание слайда: Наближене обчислення визначених інтегралів Якщо f(x)  0 x[a;b], то з геометричної точки зору (1) і (2) означає, що площа відповідної криволінійної трапеції заміняється площею області, що складається з прямокутників (області (σ1) і (σ2) відповідно).

Содержание слайда: Наближене обчислення визначених інтегралів Формула трапеції Розіб'ємо [a;b] на n рівних відрізків довжини h точками x0 = a ,  x1 ,  x2 ,  … ,  xn = b   (де  x0 < x1 < x2 < … < xn ). Нехай yi = f(xi) (i = 0,1,2,…,n). Тоді (3) де – довжина відрізків [xi–1 ; xi] (i = 1,2,…,n). Для формули (3) де

Содержание слайда: Формула (3) називається формулою трапеції. Якщо f(x)  0 x[a;b], то з геометричної точки зору (3) означає, що площа відповідної криволінійної трапеції заміняється площею області, що складається з трапецій.