Презентация ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 22 слайда. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:22 слайда
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:1.28 MB
- Просмотров:68
- Скачиваний:0
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: Раздел 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
№2 слайд
Содержание слайда: Лекция 3.1
Дифференцируемость функции в точке.
Связь дифференцируемости и непрерывности.
Геометрический и физический смысл производной и дифференциала.
Правила дифференцирования.
№3 слайд
Содержание слайда: Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Функция f(x), определенная в U(x0), называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение при переходе из точки хо в точку х = х0+х можно представить в виде
y = f(x0 + x) – f(x0) = А(x0)x + о(x) при х,
где А(x0) – не зависит от x .
Главная линейная относительно x часть приращения функции А(x0)x – называется дифференциалом функции в точке х0 при приращении x и обозначается df(х0; x) или df(х0) или df или dу.
Таким образом
y = f(x0 + x) – f(x0) = df(х0; x) + о(x) при х.
№4 слайд
Содержание слайда: Определение производной функции в точке.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Пусть функция f(x) определена в U(x0) и х – произвольная точка этой окрестности. Если существует предел отношения
при х х 0, то этот предел называется производной функции f(x) в точке х0 и обозначается f '(x0), то есть
Пусть x = x – x0 – приращение аргумента при переходе из точки х0 в точку х, а y = f(x0+x) – f(x0) – соответствующее приращение функции.
Тогда
предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
№5 слайд
Содержание слайда: Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в этой точке.
ТЕОРЕМА.
Для того чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она имела производную в этой точке.
При этом дифференциал и производная связаны равенством:
df(х0; x) = f '(x0) х.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть f(x) дифференцируема в точке xo, то есть
y = f(x0 + x) – f(x0) = А(x0)x + о(x) при х ,
откуда
y /x = А(x0) + о(1) при х,
следовательно существует
то есть функция имеет в точке x0 производную f '(x0) = А(x0).
№6 слайд
Содержание слайда: Достаточность.
Достаточность.
Пусть f(x) имеет производную в точке xo, то есть существует
Следовательно
y /x = f '(x0) + о(1) при х ,
откуда
y = f '(x0) х + о(х) при х ,
то есть функция дифференцируема в точке x0 и
df(х0; x) = f '(x0) х.
ЗАМЕЧАНИЕ.
Операция вычисления производной называется дифференцированием.
№7 слайд
Содержание слайда: ЗАМЕЧАНИЕ.
ЗАМЕЧАНИЕ.
Приращение х часто обозначают символом dх и называют дифференциалом независимой переменной. Таким образом, дифференциал функции в точке x0 можно записать в виде
df(х0) = f '(x0) dх.
Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференциал dy – функция от х и dx:
dy = f '(x) dx.
Отсюда, в частности, получается выражение для производной
То есть производную можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.
№8 слайд
Содержание слайда: Непрерывность дифференцируемой функции.
ТЕОРЕМА.
Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство.
Пусть существует
Тогда
Отсюда получим, что
f (x) – f (x0) = (f '(x0) + о(1)) (х – х0) 0 при х х0 .
то есть f(x) непрерывна в точке x0.
№9 слайд
Содержание слайда: ЗАМЕЧАНИЕ.
ЗАМЕЧАНИЕ.
Непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования в этой точке производной.
Пример 1. f (x) = х .
Функция непрерывна в точке х = 0.
Рассмотрим
№10 слайд
Содержание слайда: Пример 2.
Пример 2.
№11 слайд
Содержание слайда: Геометрический смысл производной и дифференциала.
Пусть функция f(x) определена в U(x0) и дифференцируема в точке х0.
№12 слайд
Содержание слайда: Если функция дифференцируема в точке х0, то в уравнении секущей
Если функция дифференцируема в точке х0, то в уравнении секущей
у/х f (x0) при х
и уравнение касательной имеет вид
у = у0 + f (x0) (х – х0).
Если же
у/х при х ,
то прямая
х = х0 ,
получающаяся из уравнения секущей, называется вертикальной
касательной к графику функции в точке М0.
Нормалью к графику функции в точке М0 называется прямая,
перпендикулярная касательной, проходящая через точку М0.
Ее уравнение имеет вид
у = у0 – 1/f (x0) (х – х0).
№13 слайд
Содержание слайда: Из уравнения касательной, в частности, получим
Из уравнения касательной, в частности, получим
у – у0 = f (x0) (х – х0) = df(х0) –
приращение ординаты касательной при переходе из точки х0 в точку х.
№14 слайд
Содержание слайда: Физические приложения производной и дифференциала.
Если S(t) – путь, пройденный материальной точкой за время t, то S '(t) – мгновенная скорость материальной точки, а dS = S '(t)dt – расстояние, которое прошла бы материальная точка за промежуток времени от t до t + dt, если бы она двигалась со скоростью, равной мгновенной скорости в момент t.
Если Q(t) – количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника в момент времени t, то Q '(t) = I – сила тока.
Если N(t) – количество вещества, образующегося в момент t в ходе химической реакции, то N '(t) – скорость химической реакции.
№15 слайд
Содержание слайда: Правила дифференцирования.
Дифференцирование суммы, произведения и частного
ТЕОРЕМА .
Если функции f и g дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемы f + g, fg, f /g (если g(x) 0) и при этом
(f(х) + g(х))' = f '(х) + g '(х)
(f(х)g(х))' = f '(х)g(х) + f (х)g '(х)
(f (х) /g(х))' = (f '(х)g(х) – f (х)g'(х))/g2(х)
Следствие.
Доказательство теоремы.
№16 слайд
Содержание слайда: Пусть у = fg. Тогда
Пусть у = fg. Тогда
Пусть у = f / g. Тогда
№17 слайд
Содержание слайда: Дифференцирование обратной функции
Дифференцирование обратной функции
ТЕОРЕМА
Если функция у = f(x) непрерывна и строго монотонна на отрезке [x0- , x0 + ] и имеет производную f '(x0) , тогда обратная к ней функция x = g(y) дифференцируема в точке у0 = f(x0), причем
g '(y0) = 1/ f '(x0).
Доказательство.
Пусть f(x) строго возрастает на отрезке [x0- , x0+ ].
Пусть = f(x0- ), = f(x0+ ).
Тогда на отрезке [, ] определена обратная функция x = g(y),
непрерывная и строго возрастающая, причем f(x0) (, ).
№18 слайд
Содержание слайда: Заметим, что у 0, если х 0, в силу строгой монотонности функции. Поэтому при у 0 имеем:
Заметим, что у 0, если х 0, в силу строгой монотонности функции. Поэтому при у 0 имеем:
Пусть у , тогда и х , так как функция x = g(y) непрерывна в точке у0. Но если х , то существует
Итак, правая часть тождества имеет предел, равный 1/f ' (x0).
Следовательно, существует и
№19 слайд
Содержание слайда: Дифференцирование сложной функции
Дифференцирование сложной функции
ТЕОРЕМА
Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке x0, у0 = f(x0),
а функция x = (t) дифференцируема в точке t0 , x0 = ( to).
Тогда сложная функция у = f ( (t)) дифференцируема в точке t0 и
f 't ( ( t0)) = f 'x (x0)· 't ( t0)
или
Доказательство.
y = f(x) – f(x0) = f '(x0)x + о(x) при х ,
x = (t) – (t0) = '(t0)t + о(t) при t ,
y = f ( (t)) – f ( (t0)) = f '(x0)( '(t0 )t + о(t)) + о(x) =
= f '(x0) '( t0 )t + f '(x0)о(t)+ о(x)
№20 слайд
Содержание слайда: Здесь х при t в силу непрерывности функции (t) в точке t0.
при t.
Следовательно
№21 слайд
Содержание слайда: СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
№22 слайд
Содержание слайда: ЗАМЕЧАНИЕ 2.
ЗАМЕЧАНИЕ 2.
y = f(xo + x) – f(xo) = f '(xo) x + о(x) ≈ f '(xo) x
f(xo + x) ≈ f(xo) + f '(xo) x.
Последнюю формулу можно использовать для вычисления приближенного значения f(xo + x) при малых x, если известны значения f(xo) и f '(xo).
Пример.
Скачать все slide презентации ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ одним архивом:
