Презентация Дифференцирование и дифференциал. Производные высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления онлайн

Содержание слайда: Министерство образования и науки РФ Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра высшей математики Математика Лекция 7. Дифференцирование и дифференциал. Производные высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правила Лопиталя. Лектор: Бодряков В.Ю. E-mail: Bodryakov_VYu@e1.ru Поток: 1 к. ИКРиМ, 2012-2013 уч.г. Екатеринбург - 2012

Содержание слайда: Рекомендуемая литература Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб пособие. СПб.: Лань, 2007. – 448 с. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1. – М.: Айрис – Пресс, 2008. – 288 с. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 672 с. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1. СПб.: Лань, 2005. – 448 с., Ч.2, 2005. – 464 с. Электронный ресурс: www.exponenta.ru

Содержание слайда: Содержание лекции §1. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование §2. Производные высших порядков §3. Дифференциал функции §4. Основные теоремы дифференциального исчисления §5. Правила Лопиталя

Содержание слайда: §1. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование 1.1. Неявно заданная функция Df: Говорят, что функция задана в явном виде (явная функция), если она может быть выражена уравнением y = f(x), разрешенном относительно y. Df: Говорят, что функция задана в неявном виде (неявная функция), если она не может быть выражена уравнением y = f(x), разрешенном относительно y; в этом случае функция задается неявным уравнением F(x; y) = 0. Так, неявно заданными функциями будут функции y + 2x + cos y = 1; ey – x + y = 0; 4x2 + 9y2  16 = 0, и др. Неявно заданные функции трудно или невозможно (однозначно) разрешить относительно y. Однако, для нахождения производной y  yx нет необходимости в получении явного выражения y = y(x).

Содержание слайда: 1.1. Неявно заданная функция (продолжение) П р а в и л о дифференцирования функции, неявно заданной уравнением F(x; y) = 0. Для вычисления производной y  yx неявно заданной функции, достаточно уравнение F(x; y) = 0 продифференцировать по x, рассматривая при этом y как функцию x, и полученное уравнение затем разрешить относительно производной y. При этом производная y = y(x; y) будет выражена через обе переменные x и y. П р и м е р 1. Найти производную y неявно заданной функции: F(x; y) = x3 + y3 – 3xy = 0. Решение: Fx = 3x2 + 3y2 y  3y  3x y = 0, откуда x2  y + (y2  x)y = 0 и y = . Ответ: y = (y  x2)/(y2  x).

Содержание слайда: 1.2. Функция, заданная параметрически Df: Говорят, что функция задана в параметрическом виде (параметрически), если она может быть выражена системой (парой) уравнений где t – вспомогательная независимая переменная (параметр). Параметрическое задание функции бывает удобным в тех случаях, когда явное выражение функции y = y(x) получить невозможно или затруднительно. Если под x(t) и y(t) понимать координаты точки при ее движении на плоскости, то параметр t можно интерпретировать как время. Так, движение тела, брошенного горизонтально с начальной скоростью v0 с высоты, равной h, есть

Содержание слайда: 1.2. Функция, заданная параметрически (продолжение) Вычислим производную yx, считая, что функции x = x(t), y = y(t) имеют производные (по параметру t), и, кроме того, функция x = x(t) имеет обратную t = (x). Производную yx найдем как производную сложной функции: yx = =  = / = . Полученная формула позволяет находить производную yx функции, заданной параметрически, не находя собственно зависимости y от x. П р и м е р 2. Найти производную yx функции, заданной параметрически: Решение: Согласно выведенной формуле, имеем: yt = 2t, xt = 3t2, так что yx = yt / xt = = = {t = } = . Ответ: yx = = {t = } = .

Содержание слайда: 1.3. Логарифмическое дифференцирование Иногда для нахождения производной функции y = f(x) эту функцию удобно сначала прологарифмировать, и лишь затем вычислять производную. Этот подход основан на соотношении (lny) =  y = y(lny). Подход эффективен в тех случаях, когда логарифм функции представляет собой легко дифференцируемое выражение. Df: Производная функции y = f(x), вычисленная после предварительного логарифмирования функции, называется логарифмической производной, а процесс ее вычисления – логарифмическим дифференцированием. Df: Есть функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится степенно-показательная функция y(x) = u(x)v(x) (u(x) > 0).

Содержание слайда: 1.3. Логарифмическое дифференцирование (продолжение) Вычислим производную степенно – показательной функции y = uv, где u(x) и v(x) – дифференцируемые функции от x (u(x) > 0). y = (uv) = y(lny) = uv(vlnu) = uv(vlnu + v). З а м е ч а н и е: Вместо запоминания полученной формулы проще запомнить сам принцип логарифмического дифференцирования. П р и м е р 3. Вычислить производную функции y = xx (x > 0). Решение: Вычислим производную данной функции с помощью логарифмического дифференцирования: y = y(lny) = xx (xlnx) = xx (lnx + 1). Ответ: (xx) = xx (lnx + 1).

Содержание слайда: §2. Производные высших порядков 2.1. Явно заданные функции Df: Производная функции y = f(x) сама в общем случае является функцией от x: y = f(x) и называется производной первого порядка функции y = f(x). Df: Если функция f(x) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка функции y = f(x). В этом случае говорят, что функция y = f(x) дважды дифференцируема. Производная второго порядка обозначается как y (или f(x), , ). Итак, y = (y). Df: Если функция f(x) дифференцируема, то ее производная называется производной третьего порядка функции y = f(x). В этом случае говорят, что функция y = f(x) трижды дифференцируема. Производная 3-го порядка обозначается: y (или f(x), , ). Итак, y = (y).

Содержание слайда: 2.1. Явно заданные функции (продолжение) Df: Производной y(n) n-го порядка (или n-ой производной) функции y = f(x) называется производная от производной (n1)-го порядка: y(n) = (y(n1)). Производные порядков выше первого называются производными высших порядков. Начиная с производных четвертого порядка, порядок производных обозначают римскими цифрами или числом в скобках; так, yIV или y(4) – производная 4-го порядка. П р и м е р 4. Найти 13-ю производную функции y = sin x. Решение: Для выявления закономерности вычислим несколько первых производных данной функции: y = (sin x) = cos x; y = (cos x) = sin x; y = (sin x) = cos x; yIV = (cos x) = sin x. Т.о., четвертая производная дает исходную функцию y = sin x и цикл замыкается. Поэтому y(13) = y = cos x. Ответ: y(13) = y = cos x.

Содержание слайда: 2.2. Неявно заданные функции Пусть функция y = f(x) задана неявно уравнением F(x; y) = 0. Требуется найти производные высших порядков переменной y по независимой переменной x. Продифференцировав уравнение F(x; y) = 0 по x и разрешив полученное уравнение относительно y, найдем производную первого порядка (первую производную) y = y(x; y). Продифференцировав вновь выражение y(x; y) по x получим вторую производную y от неявно заданной функции. В выражение для y войдут x, y, y. Подставляя уже найденное значение y в выражение для второй производной, получим выражение для второй производной y = y(x; y). Аналогично вычисляют производные третьего, четвертого и более высоких порядков.

Содержание слайда: 2.2. Неявно заданные функции П р и м е р 5. Найти первые три производные y по x в заданной неявным образом функции: x2 + y2 = 1. Решение: Продифференцируем уравнение F(x; y) = x2 + y2  1 = 0 по x: 2x + 2yy = 0, или x + yy = 0. Отсюда y =  . Продифференцируем полученное выражение для первой производной y = y(x; y) по x: y = (y) = ( ) =  =  =  =  . Аналогично поступим и для вычисления y: y = (y) = ( ) = = =  . Ответ: y =  ; y =  ; y =  .

Содержание слайда: §3. Дифференциал функции 3.1. Основные понятия Пусть функция y = f(x) имеет в точке x отличную от нуля производную = f(x)  0. Тогда по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать: = f(x) + , где   0 при x  0. Т.о., y = f(x)x + x, т.е. приращение функции y представляет собой сумму двух слагаемых f(x)x и x, являющихся бесконечно малыми при x  0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция (б.м.ф.) одного порядка с x, так как = f(x)  0, а второе слагаемое есть б.м.ф. более высокого порядка, чем x, т.к. = = 0. Поэтому первое слагаемое f(x)x называется главной частью приращения функции y.

Содержание слайда: §3. Дифференциал функции (продолжение) Df: Дифференциалом (первого порядка) функции y = f(x) называется главная часть ее приращения: dy = f(x)x. Замечая, что если y = x, то dy = dx = x, выражение для дифференциала,можно переписать в общепринятом виде: dy = f(x)dx. Т.е., дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал независимой переменной. Из последней формулы следует равенство = f(x), так что обозначение можно рассматривать и как обозначение производной y, и как дробь – отношение дифференциалов dy и dx переменных y и x.

Содержание слайда: 3.2. Геометрический смысл дифференциала функции Выясним геометрический смысл дифференциала. Для этого проведем к графику функции y = f(x) в точке М(x; y) касательную MT и рассмотрим ординату этой касательной для точки с абсциссой x + x (см. рис.). На рис.: |AM| = x, |AM1| = y, |AB| = dy. Из прямоугольного треугольника AMB имеем tg  = AB/AM = dy/dx = f(x). Дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты этой касательной в т. x + x.

Содержание слайда: 3.3. Основные теоремы о дифференциалах Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции y = f(x), а именно dy = f(x), и соответствующие теоремы о производных. Так, можно утверждать, что дифференциал постоянной величины y = c равен нулю. Действительно, в этом случае dy = cdx = 0dx = 0. Пусть u = u(x) и v = v(x) – две дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции. Т е о р е м а 1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух функций определяется формулами: d(u + v) = du + dv; d(uv) = vdu + udv; d() = . Доказательство: Осуществляется на основании соответствующих теорем о производных (СРС).

Содержание слайда: 3.3. Основные теоремы о дифференциалах (продолжение) Т е о р е м а 2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента: dy = yudu. Доказательство: Пусть y = f(u) и u = (x) – две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию y = f((x)). По теореме о производной сложной функции можем написать: yx = yu ux. Умножив обе части этого равенства на dx, имеем: yxdx = yu uxdx. Заметив, что yxdx = dy и uxdx = du, получаем требуемое: dy = yudu, ч.т.д.

Содержание слайда: 3.3. Основные теоремы о дифференциалах (продолжение) Сравнивая формулы для дифференциалов dy = yxdx и dy = yudu, видим, что они имеют один и тот же вид, независимо от того, является ли аргумент функции y(x) или y(u) независимой переменной x или сам является функцией другого аргумента u = u(x). Df: Независимость вида (первого) дифференциала от того является ли аргумент функции независимой переменной или сам является функцией другого аргумента, называется инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Содержание слайда: 3.4. Таблица дифференциалов С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов. Основные теоремы о дифференциалах 1. d(u  v) = du  dv; 2. d(uv) = duv + udv; в частности, d(сu) = cdu; 3. d = ; в частности, d =  ; 4. dy = yx dx, если y = f(x); 5. dy = yu du, если y = f(u), u = (x). Формулы дифференциалов 1. dс = 0; 2. d(u) = u1du,   R; 3. d(au) = aulnadu; в частности, d(eu) = eudu;

Содержание слайда: 3.4. Таблица дифференциалов (продолжение) 4. d(logau) = ; в частности, d(lnu) = ; 5. d(sin u) = cos u du; 6. d(cos u) = sin u du; 7. d(tg u) = ; 8. d(ctg u) =  ; 9. d(arcsin u) = ; 10. d(arccos u) =  ; 11. d(arctg u) = ; 12. d(arcctg u) =  . З а м е ч а н и е: Для вычисления дифференциалов большинства функций достаточно знать выписанные правила и формулы дифференцирования и строго придерживаться их при решении задач.

Содержание слайда: 3.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям Как известно, приращение y функции y = f(x) в точке x можно представить в виде y = f(x)x + x, где   0 при x  0. Отбрасывая бесконечно малую функцию более высокого порядка, получим приближенно: y  f(x)x = dy. Это равенство выполняется тем точнее, чем меньше x. Нередко оказывается, что дифференциал функции вычислить проще, чем приращение самой функции, поэтому формула y  dy широко применяется в практике приближенных вычислений. Формулу приближенных вычислений удобно использовать в виде: f(x + x)  f(x) + f(x)x. Подразумевается, что значение функции f(x) в точке x известно или может быть легко найдено. Можно показать, что абсолютная погрешность y приближенной формулы не превышает величины |y|  M(x)2, где M = max|f(x)|, x  [x; x + x].

Содержание слайда: 3.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям (продолжение) П р и м е р 6. Вычислить приближенно arctg1,05. Решение: Обозначим f(x) = arctg x и заметим, что f(1) = arctg 1 = . Кроме того, f(x) = (arctg x) = и x = 0,05. Тогда arctg1,05  arctg 1 + = + 0,025  0,8104. Оценим погрешность y приближенных вычислений. Вычислим 2-ю производную: f(x) = (arctg x) = () = . С учетом «узости» промежутка [1; 1,05] оценим наибольшее значение M = |f(x)| величиной M = = 0,5. Погрешность |y|  M(x)2 = 0,5(0,05)2 = 125105  0,0013. Ответ: arctg1,05  0,8104  0,0013. «Точное» значение: arctg1,05 = 0,80978.

Содержание слайда: 3.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям (продолжение) П р и м е р 7. Вычислить приближенно . Решение: Обозначим f(x) = и заметим, что f(32) = = 2. Кроме того, f(x) = (x1/5) = x4/5 и x = 1. Тогда   = 2  = 1,9875. Оценим погрешность y приближенных вычислений. Вычислим 2-ю производную: f(x) = () = () = x9/5. С учетом «узости» промежутка [32; 31] оценим наибольшее значение M = |f(x)| величиной M = 329/5 = = = 0,0003125. Погрешность |y|  M(x)2 = 0,000312512  0,0003. Ответ:  1,9875  0,0003. «Точное» значение: = 1,98734.

Содержание слайда: 3.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям (продолжение) Еще один прикладной аспект применения дифференциального исчисления состоит в численном нахождении корня уравнения вида f(x) = 0. Пусть в результате предварительного исследования функции y = f(x) установлена единственность корня x и на n-ом итерационном шаге в точке xn значение функции равно f(xn). Следующее приближение (xn+1) выберем, проведя касательную к графику функции в точке xn (см. рис.).

Содержание слайда: 3.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям (продолжение) Из геометрических соображений ясно: tg  = = f(xn), откуда xn+1 = xn  . Df: Это соотношение называется итерационной формулой Ньютона численного нахождения корней уравнения f(x) = 0. П р и м е р 8. Построить итерационную схему вычисления квадратного корня из числа a (a > 0). Решение: Итак, требуется найти величину x = , иными словами, найти решение уравнения f(x) = x2  a. Согласно итерационной формуле Ньютона, xn+1 = xn  = . Полученная формула называется формулой Герона.

Содержание слайда: 3.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям (продолжение) П р и м е р 9. С помощью итерационной формулы Герона найти величину x = с точностью лучше 106. Решение: Согласно итерационной формуле Герона, xn+1 = . Результаты вычислений запишем в таблицу (xn = xn+1  xn): Ответ: Четвертая итерация обеспечивает требуемую точность: = 1,414213562.

Содержание слайда: 3.6. Дифференциалы высших порядков Пусть y = f(x) – дифференцируемая функция, а ее аргумент x – независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = f(x)dx сам является функцией от x и можно найти дифференциал этой функции. Df: Дифференциал от (первого) дифференциала функции y = f(x) называется ее вторым дифференциалом (дифференциалом второго порядка); обозначается d2y или d2f(x) . По определению, d2y = d(dy) = d(f(x)dx). Вычислим второй дифференциал функции y = f(x): d2y = d(dy) = d(f(x)dx) = (f(x)dx)dx = (f(x))dxdx = f(x)dx2. Здесь dx2 = dxdx = (dx)2 – квадрат приращения аргумента x. Аналогично получаем для 3-го дифференциала: d3y = d(d2y) = d(f(x)dx2) = (f(x) dx2)dx = (f(x)) dx2dx = = f(x)dx3, где dx3 = dx2dx = (dx)3 – куб приращения аргумента x.

Содержание слайда: 3.6. Дифференциалы высших порядков (продолжение) Df: Дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала (n1)-го порядка функции y = f(x). называется ее вторым дифференциалом (дифференциалом второго порядка); обозначается dny или dnf(x) . По определению, dny = d(dn1y) = d(f(n1)(x)dxn1) = f(n)(x)dxn. Обобщая сказанное, можем записать: f(x) = ; f(x) = ; f(x) = ; f(n)(x) = , т.е. производные 1, 2, 3, …, n-го порядков функции y = f(x) можно рассматривать как отношения ее дифференциалов соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной x. З а м е ч а н и е: Дифференциалы высших порядков, т.е. порядка выше первого, не обладают свойством инвариантности, им обладает лишь дифференциал 1-го порядка.

Содержание слайда: §4. Основные теоремы дифференциального исчисления К числу основных теорем дифференциального исчисления относят классические теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Т е о р е м а (лемма) П. Ферма. Если функция имеет производную, и в точке с имеет экстремум, то значение производной в этой точке равно нулю: f(с) = 0. Доказательство: Приведено далее, при анализе экстремального поведения дифференцируемой функции.

Содержание слайда: §4. Основные теоремы дифференциального исчисления (продолжение) Т е о р е м а M. Ролля (о нуле производной). Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (a; b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(a) = f(b), то найдется по крайней мере одна точка c  (a; b), в которой производная f(x) обращается в нуль, т.е. f(с) = 0. Доказательство: Согласно теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений; обозначим их M и m, соответственно. Если M = m, то функция постоянна (f(x)  Const) и потому f(x)  0 x  (a; b). Для этого, тривиального, случая утверждение теоремы доказано.

Содержание слайда: §4. Теорема Ролля (продолжение) Рассмотрим нетривиальный случай: M  m. Если M  m, то функция достигает хотя бы одно из значений M или m во внутренней точке c интервала (a; b), так как f(a) = f(b) (см. рис.). Пусть, например, функция f(x) принимает значение M = f(c) во внутренней точке с области определения функции: c  [a; b]. Тогда для всех x  (a; b) выполняется соотношение f(x)  f(c) = M.

Содержание слайда: §4. Теорема Ролля (продолжение) Найдем производную f(x) в точке x = c: f(c) = . В силу условия f(x)  f(c) разность f(с + x)  f(c)  0. Если x > 0, т.е. x  0+0, то справа от точки c  0 и поэтому f(с)  0. Наоборот, x < 0, т.е. x  00, то слева от точки c  0 и поэтому f(с)  0. Таким образом, слева от точки c производная f(с)  0; справа от точки c производная f(с)  0. Следовательно, в самой точке c производная функции f(с) = 0. Для случая f(c) = m, доказательство полностью аналогично, ч.т.д.

Содержание слайда: §4. Теорема Ролля (продолжение) Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции y = f(x) найдется точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси Ox (см. выше рис. а, б). Таких точек в области определения функции может быть несколько (см. рис.), и даже бесконечное (счетное) множество.

Содержание слайда: §4. Основные теоремы дифференциального исчисления (продолжение) Т е о р е м а Ж. Л. Лагранжа (обобщение теоремы Ролля). Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (a; b), то найдется по крайней мере одна точка c  (a; b), такая, что выполняется равенство f(с) = , или f(b) – f(a) = f(с)(b  a). Доказательство: Если f(b) = f(a), то имеем случай доказанной выше теоремы Ролля. Рассмотрим более общий случай f(b)  f(a). Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x)  f(a)  (x  a). Функция F(x) удовлетворяет всем требованиям теоремы Ролля. Действительно, функция F(x) дифференцируема и непрерывна в той же области, что и исходная функция f(x); причем F(a) = F(b) = 0.

Содержание слайда: §4. Теорема Лагранжа (продолжение) Согласно теореме Ролля найдется точка c  (a; b) такая, что производная функции F(x) = 0 = f(x)  при x = c: F(с) = f(с)  = 0. Из этого равенства вытекает утверждение доказываемой теоремы: f(с) = или f(b) – f(a) = f(с)(b  a), ч.т.д. С л е д с т в и е (формула Лагранжа). Применив теорему Лагранжа к отрезку [x; x + x], x > 0, будем иметь f(x + x) – f(x) = f(c)x. Поскольку с(x; x+x), то можно записать c = x + x, где 0<<1. Df: Формулу f(x + x) = f(x) + f(x + x)x называют формулой Лагранжа конечных приращений. З а м е ч а н и е. Формула Лагранжа дает точную величину приращения функции, однако содержит неизвестный параметр , определяющий точку c вычисления производной.

Содержание слайда: §4. Теорема Лагранжа (продолжение) З а м е ч а н и е: теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Обратим внимание на то, что правая часть равенства f(с) = представляет собой угловой коэффициент секущей (см. рис.). Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: на графике функции y = f(x) найдется точка C(c; f(c)), a < c < b, в которой касательная к графику функции параллельная секущей AB.

Содержание слайда: §4. Основные теоремы дифференциального исчисления (продолжение) Т е о р е м а О. Л. Коши (обобщение теоремы Лагранжа). Если функции f(x) и (x) непрерывны на отрезке [a; b], дифференцируемы на интервале (a; b), причем (x)  0 для всех x  (a; b), то найдется по крайней мере одна точка c  (a; b) такая, что выполняется равенство = . Доказательство: Заметим, что (b)  (a), так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка c такая, что (с) = 0, чего не может быть по условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x)  f(a)  ((x)  (a)). Функция F(x) удовлетворяет всем требованиям теоремы Ролля. Действительно, функция F(x) дифференцируема и непрерывна в той же области, что и исходные функции f(x) и (x); причем F(a) = F(b) = 0.

Содержание слайда: §4. Теорема Коши (продолжение) Согласно теореме Ролля найдется точка c  (a; b) такая, что производная вспомогательной функции F(x) = 0 = f(x)  (x) при x = c, т.е. f(с)  (с) = 0. Из этого равенства вытекает утверждение доказываемой теоремы: = , ч.т.д. С л е д с т в и е 1. Если производная функция равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке. С л е д с т в и е 2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Содержание слайда: §5. Правила Лопиталя Нередко при вычислении пределов под знаками пределов возникают неопределенности вида или . Основные теоремы дифференциального исчисления позволяют раскрывать эти неопределенности с помощью правил Лопиталя. Т е о р е м а о раскрытии неопределенности вида (первое правило Г. Лопиталя). Пусть функции f(x) и (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 (конечной или бесконечной) и обращаются в нуль в этой точке: f(x0) = (x0) = 0. Пусть (x)  0 в окрестности точки x0. Если существует предел = a, то = = a.

Содержание слайда: §5. Правила Лопиталя Доказательство: Применим к функциям f(x) и (x) теорему Коши для отрезка [x0; x], содержащего точку x0. Тогда = , где точка c  (x0; x). Учитывая, что по условию теоремы f(x0) = (x0) = 0, получаем = . При x  x0 точка c также стремится к x0. Переходя к пределу, заключаем: = = a, ч.т.д. З а м е ч а н и е 1. Краткая формулировка правила: предел отношения двух бесконечно малых равен отношению их производных, если таковое существует. З а м е ч а н и е 2. Если после применения правила Лопиталя вновь получим неопределенность вида 0/0, то правило Лопиталя можно применить повторно.

Содержание слайда: §5. Правила Лопиталя (продолжение) Т е о р е м а о раскрытии неопределенности вида (второе правило Г. Лопиталя). Пусть функции f(x) и (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 (конечной или бесконечной) и обращаются в бесконечность в этой точке: f(x0) = (x0) = . Пусть (x)  0 в окрестности точки x0. Если существует предел = a, то = = a. Доказательство: Для доказательства достаточно применить 1-ое правило Лопиталя к функциям f1(x) = 1/f(x) и 1(x) = 1/(x). Действительно, если = = , то = = 0.

Содержание слайда: §5. Правила Лопиталя (продолжение) На примерах рассмотрим применение правил Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида или . П р и м е р 10. С помощью правила Лопиталя найти предел: . Решение: Обозначим f(x) = = 1  ; (x) = ln x. При x  1 как f(x)  0, так и (x)  0, т.е. имеем дело с неопределенностью вида 0/0; обе функции в окрестности точки x = 1 непрерывны и дифференцируемы, причем f(x) = (1  ) = ; (x) = (ln x) = . Согласно правилу Лопиталя раскрытия неопределенностей, имеем: = = = = = 1. Ответ: = 1.

Содержание слайда: §5. Правила Лопиталя (продолжение) П р и м е р 11. Найти: . Решение: 1-ый способ. Дважды применяя правило Лопиталя, имеем: = = = = = =  =  = 9. 2-ой способ. Заметим, что согласно формуле половинного аргумента = sin2 3x. С учетом первого замечательного предела, = = 9 = 912 = 9. Ответ: = 9.

Содержание слайда: §5. Правила Лопиталя (продолжение) П р и м е р 12. Найти: . Решение: При x  как tg 3x  , так и tg 5x  . Можно было бы непосредственно применить 2-ое правило Лопиталя, однако проще предварительно преобразовать выражение под знаком предела: = =  =  = (1)() = . Действительно, = = = 1; кроме того, = = = =  =  = . Ответ: = .

Содержание слайда: §5. Правила Лопиталя: раскрытие неопределенностей различных видов Правила Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида или , которые называются основными. Однако, при вычислении пределов возникают неопределенности других видов, такие как 0,   , 1, 0, 00; они сводятся к основным видам неопределенностей с помощью тождественных преобразований. 1. Неопределенность вида 0. Пусть f(x)  0; (x)   при x  x0. Тогда очевидны следующие эквивалентные преобразования: = {0} = = {}, или, наоборот, = {0} = = {}.

Содержание слайда: §5. Правила Лопиталя: раскрытие неопределенностей различных видов (продолжение) 2. Неопределенность вида   . Пусть f(x)  ; (x)   при x  x0. Тогда: = {  } = = = = = {}, где f1(x) = 1/f(x), 1(x) = 1/(x). 3. Неопределенности вида 1, 0, 00. Неопределенности вида 1, 0, 00, которые возникают при рассмотрении пределов вида , приводятся к уже рассмотренным неопределенностям путем предварительного логарифмирования.

Содержание слайда: §5. Правила Лопиталя (продолжение) Рассмотрим несколько примеров вычисления пределов, содержащих неопределенности вида 1, 0, 00. П р и м е р 13. Найти: . Решение: При x  2  , а (2  x)  0; таким образом, имеем неопределенность вида 0. Можно предварительно преобразовать выражение под знаком предела, = =  = = 1 = {} = = = . Ответ: = .

Содержание слайда: §5. Правила Лопиталя (продолжение) П р и м е р 14. Найти: . Решение: При x  0 имеем неопределенность вида 1. Пусть = A, тогда lnA = = {} = = = = 2 = 211 = 2. Следовательно, A = = e2. Ответ: = e2.

Содержание слайда: Спасибо за внимание! Ваши вопросы, замечания, предложения …