Презентация Финансовые вычисления по сложным процентам онлайн

Содержание слайда: Факультет прикладной информатики

Содержание слайда: 1. Сущность и формула наращения сложных процентов. В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются, а присоединяются к сумме долга, для наращения применяют, сложные проценты. База для начисления сложных процентов (в отличие от простых) не остается постоянной — она увеличивается с каждым шагом во времени, и процесс роста первоначальной суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простой процент на один период начисления.

Содержание слайда: Найдём формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году, т. е. применяется сложная годовая ставка наращения. Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Pi, а наращенная сумма составит: Найдём формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году, т. е. применяется сложная годовая ставка наращения. Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Pi, а наращенная сумма составит: S1 =P (1+i), К концу второго года составит: S2 =S1 (1+i)=P (1+i)(1+i)=P (1+i)2 S3 =S2 (1+i)=P (1+i)2(1+i)=P (1+i)3 и т.д. В конце n-го года наращенная сумма будет равна: S=P (1+i)n , где: P – первоначальная сумма долга, S – наращенная сумма, n – срок, число лет наращения, i – ставка наращения по сложным процентам, Величину 1+i называют сложным декурсивным коэффициентом. Величину q=(1+i)n называют множителем наращения по сложным процентам – он показывает конечную стоимость одной денежной единицы, вложенной под сложные проценты декурсивно. Значения этого множителя для различных значений i и целых чисел n приводятся в таблицах сложных процентов.

Содержание слайда: Таблица 1 – Множители наращения сложных процентов (извлечения)

Содержание слайда: Точность расчета множителя в практических вычислениях определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля, тысячи и т.д.), как правило, до последней денежной единицы (обычно в таблицах – шесть знаков после запятой). Точность расчета множителя в практических вычислениях определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля, тысячи и т.д.), как правило, до последней денежной единицы (обычно в таблицах – шесть знаков после запятой). Пример: Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб. через пять лет при росте по сложной ставке 12% годовых (проценты капитализируются 1 раз в год). S=1000000(1+0,12)5=1 000 0001,762341683=1 762 341,68 руб.

Содержание слайда: 2. Соотношение роста по простым и сложным годовым процентам. 2. Соотношение роста по простым и сложным годовым процентам. Чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения. Соотношение множителей наращения по простым и сложным годовым ставкам процентов при одинаковой абсолютной величине ставок зависит от срока ссуды: - для срока меньше года (n<1): (1+n i)>(1+i)n, - для срока больше года (n>1): (1+n i)<(1+i)n, -для срока равного году (n=1): (1+ni)=(1+i)n, если временная база 365(366) дней. (1+ni)<(1+i)n если временная база 360 дней.

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Графики роста по простым и сложным процентам Графики роста по простым и сложным процентам

Содержание слайда:

Содержание слайда: Рисунок - Графическая иллюстрация наращения по сложным процентам, являющегося степенной функцией Рисунок - Графическая иллюстрация наращения по сложным процентам, являющегося степенной функцией Угол наклона касательной к графику функции так же, как и для графика роста по простым процентам, зависит от базы начисления процентов и процентной ставки. Так как база начисления сложных процентов постоянно растет, то растет и угол наклона касательных, соответствующих большему значению времени. Угол наклона касательной a1 < a2, так как момент времени n1 < n2.

Содержание слайда: Влияние уровня процентной ставки на результат наращения

Содержание слайда: Таблица 2 - Сравнение множителей наращения простых и сложных процентов (i=12%)

Содержание слайда: 3. Начисление сложных процентов несколько раз в году. В современных условиях проценты капитализируются обычно не один, а несколько раз в году – по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневное начисление процентов. Формула S=P(1+i)n получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако, её можно применить и при других периодах начисления. В этих случаях: i - ставка за период начисления, n - число таких периодов. Если i-ставка за полугодие, то n-число полугодий, Если i-ставка за квартал, то n-число кварталов и т.д.

Содержание слайда: Пример: Пример: Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб. через пять лет при росте по сложной ставке 12% годовых (проценты капитализируются ежеквартально). S=P(1+i)n, где i- ставка наращения за квартал, n- число кварталов. i=12:4=3%, т. е.0,03 n=54кв.=20 кварталов S=1000000(1+0.03)20=10000001,806111235=1806111,24 руб.

Содержание слайда: На практике, как правило, в контрактах фиксируется не ставка за период, а годовая ставка, и одновременно указывается период начисления процентов, как в предыдущем примере «12% годовых с поквартальным начислением процентов». На практике, как правило, в контрактах фиксируется не ставка за период, а годовая ставка, и одновременно указывается период начисления процентов, как в предыдущем примере «12% годовых с поквартальным начислением процентов». Пусть годовая ставка равна j, а число периодов начисления в году равно m. Таким образом, каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной. Формула наращения примет вид: S=P (1+j/m)N, где m – число периодов начисления в году, j – номинальная годовая ставка, N – общее количество периодов начисления (N=mn)

Содержание слайда: Графики роста денежных сумм, вложенных под 6 % годовых

Содержание слайда: Счеты А.П. Пелёнкина Счеты А.П. Пелёнкина

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: 4. Наращение по сложным процентам при дробном количестве периодов начисления. 4. Наращение по сложным процентам при дробном количестве периодов начисления. Для случаев, когда n не является целым числом, множитель наращения определяется двумя способами: 1. на основе общего метода: (1+i)n=(1+i) na (1+i) nb (3) 2. на основе смешанного (комбинированного) метода: (1+i)n=(1+i) na (1+nbi), (4) т. е. за целое количество периодов начисления – по сложной ставке, за дробную часть – по простой процентной ставке. Где n=na+nb na- целое число периодов, nb- дробная часть периода.

Содержание слайда: При выборе метода расчета множителя наращения следует иметь в виду, что величина множителя наращения по второму способу больше, чем по первому: (1+i) na (1+nbi (1+i) na (1+i) nb При выборе метода расчета множителя наращения следует иметь в виду, что величина множителя наращения по второму способу больше, чем по первому: (1+i) na (1+nbi (1+i) na (1+i) nb В практике некоторых финансовых организаций предусматривается начисление процентов только за целые периоды начисления. Пример: Кредит в размере 30 тыс. руб. выдан на срок 3 года и 160 дней под 6,5% годовых, проценты начисляются 1 раз в год. Если предусмотрен смешанный метод начисления процентов S = 30000(1 + 0,065)3 (1 + 160:3650,065) = 37271,04 руб. Если проценты начисляются только за целые периоды начисления, то S=300001,0653=36234,49

Содержание слайда: Общий метод, несмотря на свою формальную правомерность с математических позиций, с точки зрения сущности начисления процентов является приблизительным. Погрешность вычислений будет тем больше, чем больше значения входящих в формулу величин. Этот метод дает меньший, чем в действительности результат. Общий метод, несмотря на свою формальную правомерность с математических позиций, с точки зрения сущности начисления процентов является приблизительным. Погрешность вычислений будет тем больше, чем больше значения входящих в формулу величин. Этот метод дает меньший, чем в действительности результат. При внимательном рассмотрении можно увидеть, что на практике обычно используется смешанный метод, поскольку капитализация процентов до истечения срока реинвестирования производиться не может. Тем не менее, даже в солидных изданиях можно встретить изложение и того, и другого методов. Здесь уместно вспомнить слова великого Эйнштейна: «Математика – единственный совершенный метод, позволяющий провести самого себя за нос».

Содержание слайда:

Содержание слайда: Правило семидесяти (правило 70), правило 72, правило 69 — простой способ (приближённой) оценки срока, в течение которого величина вырастет вдвое при постоянном росте на некоторый процент. Правило семидесяти (правило 70), правило 72, правило 69 — простой способ (приближённой) оценки срока, в течение которого величина вырастет вдвое при постоянном росте на некоторый процент. Согласно «правилу семидесяти» где   — годовая ставка инфляции,   — срок (в годах) удвоения цен.

Содержание слайда: Из формулы наращения по сложным процентам S=P (1+i)n выразим срок n. Разделим обе части уравнения на P: S/P = (1+i)n . Пролагорифмируем обе части уравнения, получим: n=log1+i (S/P). При использовании натуральных логарифмов получим: ln (S/P) = n ln(1+i) n = ln (S/P) / ln(1+i) При малых значениях i значение ln(1+i) ≈ i Поэтому n ≈ ln (S/P):i При S/P = 2 имеем ln ≈ 0,7 (0,693147), поэтому n ≈ 70:i

Содержание слайда:

Содержание слайда: Множитель 72 имеет большое количество делителей, соответствующих малым процентам (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12) и потому более удобен для использования в качестве делимого по сравнению с более точным значением 69 и более лёгким для запоминания значением 70. По этой причине правило используется как в виде «Правило 70», так и «Правило 72» (но и также «Правило 69»). Множитель 72 имеет большое количество делителей, соответствующих малым процентам (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12) и потому более удобен для использования в качестве делимого по сравнению с более точным значением 69 и более лёгким для запоминания значением 70. По этой причине правило используется как в виде «Правило 70», так и «Правило 72» (но и также «Правило 69»). Первое упоминание о правиле содержится у Луки Пачоли в его математическом труде "Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности» (1494 г.). Пачоли не приводит расчёт и не объясняет данное правило, что позволяет сделать вывод о том, что оно было известно и ранее.

Содержание слайда: Абсолютная погрешность при использовании «правила семидесяти» не превышает четырёх месяцев, если только годовое значение инфляции не превышает 1,01%. Абсолютная погрешность при использовании «правила семидесяти» не превышает четырёх месяцев, если только годовое значение инфляции не превышает 1,01%. При ставке 2% точная формула и «правило семидесяти» дают идентичные результаты. Относительная погрешность начиная со ставки 2 % и выше непрерывно растёт, достигая 9,86% при ставке 25% .

Содержание слайда:

Содержание слайда: Юридический факультет