Презентация Формула Тейлора онлайн

Содержание слайда: Лекция 3.5 Формула Тейлора Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа и в форме Пеано Единственность разложения Тейлора Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

Содержание слайда: Брук Тейлор (Taylor) (1685 - 1731) Английский математик. Родился в предместье Лондона. Получил прекрасное домашнее музыкальное и художественное образование. В 15 лет поступил в Кембриджский университет, где незадолго до этого работал И.Ньютон, остававшийся кумиром молодых математиков, среди которых был и Брук Тейлор. В 1712г. Тейлора избрали членом Королевского общества. В 1718г. он уходит с поста секретаря общества, чтобы освободить время для философской работы. Тейлор исследовал свойства функций. В 1712г. нашел, в 1715г. опубликовал общую формулу разложения функций в степенной ряд, которая носит теперь его имя.

Содержание слайда: Многочлен Тейлора. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многочленом Тейлора степени n функции f(x) в точке х0 называется многочлен следующего вида: где по определению 0! = 1, f (0)(x) = f(x). ЛЕММА. Доказательство. Из формулы (1) следует, что Tn(x0) = f(x0). Продифференцировав (1), получим Tn(x0) = f '(x0), и т.д.

Содержание слайда: Определение формулы Тейлора. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Формула вида f(x) = Tn(x) + Rn(x) называется формулой Тейлора n-ого порядка функции f(x) в точке х0. Здесь функция Rn(x), представляющая собой разность между функцией и её многочленом Тейлора, называется n-ым остатком Тейлора. Примеры. Формула конечных приращений Лагранжа f(х) = f(х0) + f  ()(х – х0), где  – между х и х0, f(х0) = T 0(x), f  ()(х – х0 ) = R0(x). Это формула Тейлора нулевого порядка с остатком в форме Лагранжа. Если f(х) дифференцируема в точке х0, то f(х) = f(х0) + f  (х0)(х – х0) + о(х – х0). Это формула Тейлора первого порядка с остатком в форме Пеано. cosx = 1 – x2/2 + o(x2). Это формула Тейлора второго порядка с остатком в форме Пеано.

Содержание слайда: Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа. ТЕОРЕМА 1. Пусть функция f(x) n+1 раз дифференцируема в U(x0). Тогда для f(x) справедлива формула Тейлора n-ого порядка в точке х0, причём где  – между х и х0. Доказательство. Пусть, для определенности, x > x0. Rn(x) = f(x) – Tn(x). Заметим, что Rn(x0) = R'n(x0) = R''n (x0) = … = Rn(n)(x0) = 0, Rn(n+1)(x) = f (n+1)(x) для х U(x0).

Содержание слайда: Введем вспомогательную функцию Введем вспомогательную функцию g(x) = (x - x0)n+1 . Заметим, что g(x0) = g'(x0) = g''(x0) = … = g(n)(x0) = 0, g(n+1)(x) = (n+1)! для х U(x0). Применим к функциям Rn(x) и g(x) теорему Коши n+1 раз где x0 < < xn < … < x1 < x < x0+ δ.

Содержание слайда: Формула Тейлора с остатком в форме Пеано. ТЕОРЕМА 2. Пусть функция f(x) n раз дифференцируема в U(x0) и f (n)(x) непрерывна в точке x0. Тогда при х x0 функция может быть представлена в виде Замечание. Последнюю формулу называют формулой Тейлора с остатком в форме Пеано или локальной формулой Тейлора.

Содержание слайда: Доказательство. Доказательство. Так как f(x) n раз дифференцируема в U(x0), то для нее справедлива формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа порядка (n-1): где  между х и x0. f (n)()  f (n)(x0) при х  x0, т.е. f (n)() = f (n)(x0) + о(1) при х  x0. Тогда получим, что

Содержание слайда: Джузеппе Пеано (1858-1932). Итальянский математик и логик. Член Туринской Академии Наук. Окончил Туринский университет. Работал там же. Пионер и пропагандист символической логики. Исследовал основные понятия и утверждения анализа (вопросы о возможно более широких условиях существования решений дифференциальных уравнений, понятие производной и другие). Занимался формально-логическим обоснованием математики.

Содержание слайда: Единственность представления функции f(x) в виде многочлена по степеням (х – х0) ТЕОРЕМА 3. Пусть функция f(x) n раз дифференцируема в U(x0) и f (n)(x) непрерывна в точке x0. Если при х x0 функция представима в виде то коэффициенты

Содержание слайда: Доказательство. Доказательство. Для функции f(x) выполнены условия теоремы 2, тогда Переходя к пределу при х x0 в левой и правой частях равенства, получим a0 = f(x0). Отбросим равные члены и поделим на (x - x0). Переходя к пределу при х x0, получим a1 = f '(x0). И т.д. Итак, единственным многочленом наилучшего приближения для функции f(x) при х x0 является ее многочлен Тейлора.

Содержание слайда: Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Если в формуле Тейлора х0 = 0, то в этом частном случае ее называют формулой Маклорена. Формула Маклорена с остатком в форме Пеано имеет следующий вид: Или Получим разложения основных элементарных функций по формуле Маклорена.

Содержание слайда: f(x) = ех f(x) = ех f (k)(x) = ех; f (k)(0) = 1, k = 0, 1, 2, … f(x) = shx f (2k)(x)= shx, f (2k +1)(x)= chx; f (2k)(0) = 0, f (2k+1)(0) =1, k = 0, 1, 2, … f(x) = chx f (2k)(x)= chx, f (2k +1)(x)= shx ; f (2k)(0) = 1, f (2k+1)(0) = 0, k = 0, 1, 2, …

Содержание слайда: f(x) = sinx f (k)(x)= sin(x + k/2); f (2m)(0) = 0, f (2m+1)(0) = (-1)m, m = 0, 1, 2, … f(x) = cosx f (k)(x)= cos(x + k/2); f (2m)(0) = (-1)m, f (2m+1)(0) = 0, m = 0, 1, 2, …

Содержание слайда: f(x) = ln(1+x). f(x) = ln(1+x). f (k)(x) = (-1)k-1(k-1)!(1 + x)- k; f(0) = 0, f (k) (0) = (-1)k-1(k-1)! , k = 1, 2, … f(x) = (1+x) f (k)(x) = ( -1)( - 2)…( - k + 1) (1 + x) - k ; f(0) =0, f (k)(0) = ( - 1)( - 2)…( - k + 1), k = 1, 2, …

Содержание слайда: ПРИМЕРЫ. ПРИМЕРЫ.

Содержание слайда: Спасибо за внимание!