Презентация Приложения формулы Тейлора к вычислению пределов онлайн

Содержание слайда: Лекция 3.6 Приложения формулы Тейлора к вычислению пределов, выделению главной части функции и исследованию поведения функции в окрестности точки. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

Содержание слайда: Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора. Рассмотрим сначала случай неопределенности вида Пусть требуется найти предел где Разложим по формуле Тейлора функции f(x) и g(x) в окрестности точки x0, ограничившись лишь первыми не равными нулю членами, то есть f(x) = a(x – x0)n + o((x – x0)n), a ≠ 0, g(x) = b(x – x0)m + o((x – x0)m), b ≠ 0. Тогда

Содержание слайда: Часто бывает удобно для разложений функций f(x) и g(x) использовать готовый набор разложений элементарных функций по формуле Маклорена. Для этого в случае, когда x0 ≠ 0, следует предварительно сделать замену переменной, положив t = x – x0. Тогда t → 0 при x → x0. Часто бывает удобно для разложений функций f(x) и g(x) использовать готовый набор разложений элементарных функций по формуле Маклорена. Для этого в случае, когда x0 ≠ 0, следует предварительно сделать замену переменной, положив t = x – x0. Тогда t → 0 при x → x0. ПРИМЕР 1.

Содержание слайда: Случай x → ∞ сводится заменой переменной x = 1/t к случаю t → 0. Случай x → ∞ сводится заменой переменной x = 1/t к случаю t → 0. ПРИМЕР 2.

Содержание слайда: При раскрытии данным методом неопределенностей вида ∞/∞, 0·∞ и ∞ – ∞ их следует преобразовать к неопределенности вида 0/0. При раскрытии данным методом неопределенностей вида ∞/∞, 0·∞ и ∞ – ∞ их следует преобразовать к неопределенности вида 0/0. Для раскрытия неопределенностей вида 00, ∞0, 1∞ необходимо предварительно прологарифмировать рассматриваемые функции. ПРИМЕР 3.

Содержание слайда: Приложения формулы Тейлора к исследованию поведения функции в окрестности точки. В качестве примера применения формулы Тейлора для исследования поведения функции в окрестности точки приведем доказательство третьего достаточного условия экстремума, использующего производные высших порядков. ТЕОРЕМА. Пусть существует f (n)(x0), где n > 2, и выполняются условия: f ´(x0) = f ´´(x0) = … = f (n-1) (x0) = 0, f (n) (x0)  0. Тогда Если n = 2k, то х0 – точка локального экстремума функции, а именно: f (n) (x0) < 0 – точка строгого локального максимума. f (n) (x0) > 0 – точка строгого локального минимума; Если n = 2k+1, то x0 – не является точкой экстремума функции.

Содержание слайда: Доказательство. Доказательство. Формула Тейлора n-ого порядка для функции f(x) в данном случае имеет вид: f(x) = f(x0) + f (n)( x0)(x – x0)n/n! + о((x – x0)n). Отсюда получим f(x) – f(x0) = f (n)( x0) /n! (1+ о(1)) (x – x0)n. Если n = 2k, то (x – x0)n > 0 и разность f(x) – f(x0) имеет знак производной, то есть f(x) < f(x0), если f (n) (x0) < 0, и х0 – точка локального максимума, f(x) > f(x0), если f (n) (x0) > 0, и х0 – точка локального минимума. Если n = 2k + 1, то (x – x0)n имеет разные знаки в левой и правой полуокрестности точки x0, то есть разность f(x) – f(x0) меняет знак при переходе через точку x0. Это означает, что эта точка не является точкой экстремума.

Содержание слайда: ПРИМЕР. ПРИМЕР. Исследуем поведение функции в окрестности точки x0 = 0. Согласно третьему достаточному условию экстремума, точка x0 = 0 является точкой локального минимума функции. Значение функции в этой точке f(0) = 2. Разложение функции по формуле Маклорена имеет вид:

Содержание слайда: Родился в Париже в богатой и знатной семье. Носил звание маркиза (де Сен-Мэм) и графа (Антрмон). Служил капитаном кавалерии. Оставив военную службу из-за близорукости, посвятил себя математике. Ученик Иоганна Бернулли. В 1693г. Лопиталя избрали членом Парижской академии наук.    В 1696г. вышло из печати главное творение его жизни – «Анализ бесконечно малых для познания кривых линий». Это был первый печатный учебник по дифференциальному исчислению. Скончался от апоплексического удара 43 лет от роду.

Содержание слайда: Неопределенность вида ТЕОРЕМА 1. Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы на интервале (a, b), g'(x)  0 для всех х (a, b) и существует (где А – число или бесконечность) Тогда существует

Содержание слайда: Доказательство. Доказательство. Пусть х (a, b). Доопределим функции f(x) и g(x) в точке а, положив f(а) = g(а) = 0. Тогда доопределенные таким образом функции непрерывны на отрезке [а, х] и для них выполнены условия теоремы Коши, то есть Если х  а + 0, то  а + 0 и, по условию теоремы, существует Поэтому существует и

Содержание слайда: ТЕОРЕМА 2. ТЕОРЕМА 2. Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы при х > а , g'(x)  0 для всех х > а и существует (где А – число или бесконечность) Тогда существует

Содержание слайда: Доказательство. Доказательство. Можно считать, что a > 0. Положим x = 1/t. Эта функция отображает интервал (а, +∞) на интервал (0, 1/а). ЗАМЕЧАНИЕ 1. Правило Лопиталя справедливо также в случае неопределенности при х → а – 0, при х → а, при х → – ∞, при х → ∞

Содержание слайда: Неопределенность вида ТЕОРЕМА 3. Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы на интервале (a, b), g'(x)  0 для всех х (a, b) и существует (где А – число или бесконечность) Тогда существует

Содержание слайда: ЗАМЕЧАНИЕ 2. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Правило Лопиталя справедливо также в случае неопределенности при х → а – 0, при х → а, при х → – ∞, при х → + ∞, при х → ∞. ЗАМЕЧАНИЕ 3. Чтобы применить правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0·∞ и ∞ – ∞, их следует привести к виду 0/0 или ∞/∞. Неопределенности вида 00, ∞0, 1∞ можно раскрыть, предварительно прологарифмировав соответствующие функции.

Содержание слайда: Примеры. Примеры.

Содержание слайда: 5. Найдем 5. Найдем

Содержание слайда: Спасибо за внимание!