Презентация Методика представления системы уравнений тепловых балансов в матричной форме. онлайн

Содержание слайда: Лекция 14. Цель. Познакомить слушателей с методикой представлением системы уравнений тепловых балансов в матричной форме. Отметить, что это представление основывается на предположениях о малых размерах элементов, геометрии рассматриваемой задачи и возможности использования линейных связей между тепловыми потоками и температурой. Рассмотреть матричную форму системы уравнений и представить программу расчета полей температуры методом конечных элементов. Использовать полученные результаты для расчета температурных перепадов в облучаемом образце ядерного топлива из диоксида урана. План. 1. Методика представления системы уравнений тепловых балансов в матричной форме. 2. Матричная форма системы уравнений тепловых балансов. 3. Программа расчетов на ЭВМ. 4. Пример расчетов температурных перепадов в облучаемом образце из диоксида урана.      

Содержание слайда: Решение задачи методом конечных элементов. В случае, когда рассматриваемые элементы имеют достаточно малые размеры, температурный градиент в радиальном направлении можно линейным образом аппроксимировать разностью температур элементов T(i) и Т(j):   Q = [T(i)-T(j)] Lij / [(∆ri/2λi)+ (∆rj/2λj)] (31)   где Lij - протяженность границы между i-ым и j-ым элементами; ∆ri, ∆rj - линейные размеры i-ым и j-ым элементов; λi , λj - коэффициенты теплопроводности i-ым и j-ым элементов.

Содержание слайда: Методика представления системы уравнений тепловых балансов в матричной форме. Сравнивая (29),(30) и (31), находим выражение для γ( i,j) в радиальном направлении:   γr(i,j)=Lij[(∆ri/2λi)+(∆rj/2λj)]-1 (32)   Аналогичным образом получим выражения для теплового потока в аксиальном направлении:   Q = [T(i)-T(j)] Lij / [(∆zi/2λi)+ (∆zj/2λj)] (33)   и соответственно для γz( i,j) в аксиальном направлении:   γz( i,j) = Lij [(∆zi/2λi)+ (∆zj/2λj)]-1 (34)   где ∆zi и ∆zj высоты i-ого и j-ого элементов.

Содержание слайда: Методика представления системы уравнений тепловых балансов в матричной форме. Необходимо отметить, что при выводе соотношения (33) и (34) использовалось условие ортогональности потоков тепла и границ между элементами. Данное условие выполняется для рассматриваемой задачи вследствие симметрии при принятом разбиении на элементы. Для элементов на боковой поверхности при граничном условии третьего рода имеем:   γr( i,с) = Liс [(∆ri/2λi)+ (1/αс)]-1 (35)   a при граничном условии первого рода:   γr( i,с) = Liс 2λi / ∆ri (36)   где αс - коэффициент теплоотдачи; Lic - протяженность границы элемента cо средой.

Содержание слайда: Матричная форма системы уравнений тепловых балансов. Система уравнений (28) может быть представлена в матричной форме: [B]{T} = { Qv }+{Q L} где [В] - пятидиагональная симметричная матрица, определяющая взаимодействие элементов между собой; {T} - вектор температуры элементов; {Qv} - вектор источников тепла; {Q L} - вектор потоков тепла c границ цилиндрического образца. Матрица [В] является квадратной пятидиагональной матрицей размера (М*N ). Структура ее представлена на рис.3.8 где сплошными линиями показаны ненулевые элементы.

Содержание слайда: Матричная форма системы уравнений тепловых балансов. В соответствии с переходом от (28) к (37) элементы матрицы [B] определяются следующим образом. Элементы, лежащие на неглавных диагоналях, определяются согласно (32) и (34). Элементы лежащие на главной диагонали, определяются как сумма элементов неглавных диагоналей, взятых с обратным знаком и лежащих на одной cтроке, минус член, определяющий тепловое взаимодействие c внешней средой, в случае, когда элемент лежит на внешней поверхности. Для определения вектора температуры элементов получим решение в виде: {T} = ({ Qv }+{Q L}) [B]-1

Содержание слайда: Основные этапы проведения расчетов на ЭВМ. Во вводной части программы задается зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, начальное приближение для λ , рассчитываются матрица [В], {Qv } и {QL} . Далее для реализации треугольного разложения cимметричной матрицы [В] применяется подпрограмма " CHODET ".

Содержание слайда: Основные этапы проведения расчетов на ЭВМ. Подпрограмма "SHOSOL " по известному вектору правой части уравнения (37) определяет вектор температуры. После получения поля температуры происходит его дальнейшее уточнение итерациями с учетом зависимости коэффициента теплопроводности образца от температуры. Укрупненная блок- схема программы определения вектора температуры для цилиндрических образцов представлена на рис.3.9.

Содержание слайда: Пример расчета температурного поля. На рис.3.10. показана зависимость максимального радиального перепада температуры в образце из диоксида урана от плотности внутренних источников тепла при различных значениях температур окружающей среды и торцов.

Содержание слайда: Пример расчета температурного поля. На боковой поверхности образца задавались граничные условия третьего рода, а на торцах - первого рода, при этом предполагалось, что температура на торце образца по его сечению постоянна. Это условие приближает расчеты к ситуации, реализуемой в экспериментальной установке, когда ядерное топливо с низким коэффициентом теплопроводности контактирует с металлическим пуансоном. Коэффициент теплоотдачи с боковой поверхности образца учитывал теплопроводность через газ-заполнитель, конвекцию и тепловое излучение и рассчитывался по методике, принятой для расчета поля температуры но элементам установки. При тепловыделениях ~ 60 Вт/см3 , характерных для эксплуатации установок типа "Крип-ВТ" (высоко­температурные испытания) на ИРТ-МИФИ, перепады составляют величины ~ 30 К, что не может привести к разрушению образца из-за термонапряжений.