Презентация Основные понятия математической статистики: оценки параметров распределения, проверка гипотез, системы случайных величин: коррел онлайн

Содержание слайда: Основные понятия математической статистики: оценки параметров распределения, проверка гипотез, системы случайных величин: корреляция, регрессия Лекция 17

Содержание слайда: Способы организации выборки 1. Вариационный ряд – элементы выборки упорядочивают по величине: 2. Размах выборки - разность между максимальным и минимальным элементами выборки 3. Пусть выборка содержит различных элементов. Частота элемента выборки - число раз, которые данный элемент встречается в выборке 4. Мода – элемент выборки с наибольшей частотой 5. Статистический ряд – таблица: сумма частот всех элементов равна объему выборки

Содержание слайда: Способы описания выборки При большом объеме выборки ее элементы объединяют в группы (разряды, карманы): выбирают ширину интервала , где , или а частота - количество элементов выборки, попавшее в –й интервал (элемент, совпадающий с внешней границей интервала считают в последующем). Кроме того вычисляю середину каждого интервала и относительную частоту - оценку вероятности попадания значения случайной величины в данный интервал : (Образец табл. Стр. 181). Графическое представление – полигон частот (или относительных частот) и гистограмма – статистические аналоги функции распределения площадь под гистограммой равна S=n Середина интервала Интервалы Полигон частот Гистограмма

Содержание слайда: Числовые характеристики выборки Выборочное среднее или Выборочная дисперсия или . Для выборок малого объема ( вводят исправленную дисперсию Пример. Для выборки из 5 чисел 3, 5, 5, 8, 4 получаем = 5; = Excel надстройки «Пакет анализа» Описательная статистика Среднее 5 Стандартная ошибка 0,836660027 Медиана 5 Мода 5 Стандартное отклонение 1,870828693 Дисперсия выборки 3,5 Эксцесс 2 Асимметричность 1,145405322 Интервал 5 Минимум 3 Максимум 8 Сумма 25 Счет 5 Уровень надежности(95,0%) 2,322940635 -

Содержание слайда: Статистическое оценивание. Точечные оценки Точечной оценкой неизвестного параметра ϴ называют приближенное значение этого параметра, полученное по выборке = или «статистика». Качество оценок. 1. Состоятельность. Оценка параметра сходится по вероятности к самому параметру при Или чем больше объем выборки, тем точнее оценка Пример. выборочное среднее – состоятельная оценка математического ожидания (теорема Чебышева) 2. Несмещенность. Математическое ожидание оценки параметра равно самому параметру : Пример 1. Выборочное среднее является несмещенной оценкой математического ожидания. Пример 2. Выборочная дисперсия является смещенной оценкой ( , а оценка является несмещенной 3. Эффективность. Оценка должна обладать наименьшей дисперсией

Содержание слайда: Интервальные оценки. Уровень значимости Интервальные оценки или. доверительные интервалы вводятся с целью определения точности оценки. Доверительным интервалом для параметра ϴ называют интервал , содержащий истинное значение параметра c заданной вероятностью : . ) – доверительная вероятность; – число - вероятность , которую называют уровнем значимости, характеризует точность оценивания. Обычно выбирают Пример. Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной заранее дисперсии: = , где Число - квантиль распределения Стьюдента находим по статистическим таблицам или в Excel (функции Стьюдентраспобр) Чем больше уровень значимости, тем выше точность оценивания

Содержание слайда: Проверка статистических гипотез Статистическая гипотеза – это предположение относительно параметров или вида распределения (проверяемая гипотеза называется нулевой): Пример 1. (альтернативная гипотеза) Пример 2. случайная величина распределена по нормальному закону : случайная величина не распределена по нормальному закону Критерий - правило, согласно которому принимается решение принять или отвергнуть нулевую гипотезу. Перед проверкой задается малая вероятность – уровень значимости, которая определяет размер критической области статистики критерия . Если выборочное значение статистики критерия попадает в критическую область , гипотеза отклоняется , то есть – вероятность совершить ошибку , отвергнув правильную гипотезу. О достоверности выводов, полученных при заданном уровне значимости: высокий уровень значимости данные согласуются с значимость возможна, но есть сомнения в истинности имеют место сильные доводы против основная гипотеза наверняка ложная

Содержание слайда: Выборочный коэффициент корреляции. Оценка Для системы случайных величин вводится характеристика – ковариация (корреляционный момент): Для независимых ковариация . Коэффициент корреляции - безразмерный коэффициент, который определяет степень линейной корреляционной зависимости между случайными величинами. Свойства : 1) если , то 3) если то случайные величины называют некоррелированными. Независимые случайные величины являются некоррелированными. Оценкой коэффициента корреляции является выборочный коэффициент корреляции = Excel функции статистические корреляция

Содержание слайда: Регрессионные модели Пусть коэффициент корреляции между двумя случайными величинами значимо отличается от нуля и близок к единице. Выдвигаем гипотезу: случайные величины связаны линейной корреляцинной зависимостью Это уравнение называют уравнением линейной регрессии. Регрессия – оптимальная зависимость, которая обеспечивает аппроксимацию опытных данных с наибольшей точностью, то есть с минимальной случайной ошибкой Наилучшие оценки для коэффициентов регрессии получают по методу наименьших квадратов : = - Excel точечная диаграмма линия тренда с указанием уравнения и качества аппроксимации - коэффициент детерминации (правой кнопкой на точку). На заключительной стадии обязательно проверяют статистическую значимость (можно доказать , что в доверительный интервал для коэффициента не содержит и адекватность модели ( случайные ошибки наблюдений – остатки распределены с нулевым средним = 0 ). Excel «Анализ данных» Регрессия