Презентация Предельные теоремы теории вероятностей. Основные понятия математической статистики. онлайн

Содержание слайда: Предельные теоремы теории вероятностей. Основные понятия математической статистики. Лекция 16

Содержание слайда: Числовые характеристики суммы независимых случайных величин Пусть взаимно независимые, одинаково распределенные случайные величины с параметрами: Случайная величина , которую называют средним арифметическим, имеет характеристики: ; Каждое слагаемое нормированной и центрированой случайной величины имеет характеристики: Поскольку

Содержание слайда: Характеристическая функция суммы независимых случайных величин Характеристическая функция каждого слагаемого: Характеристическая функция суммы : При получаем неопределенность , которую раскрываем, используя основное логарифмическое тождество и разложение в ряд логарифмической функции : . В результате сформулируем центральную предельную теорему.

Содержание слайда: Центральная предельная теорема Если случайные величины независимы и одинаково распределены, а также имеют конечные математическое ожидание и дисперсию: =; , то для любого действительного закон распределения нормированного и центрированного среднего арифметического случайных величин при стремится к нормальному закону распределения с параметрами и : Таким образом, нормальное распределение является предельной формой распределения суммы большого числа случайных величин, из которых ни одна не доминирует над другой.

Содержание слайда: Теоремы Муавра - Лапласа Рассматриваем биномиальное распределение (схема Бернулли): вероятность того, что при испытаниях событие появится раз: ; При достаточно больших значениях биномиальное распределение приближенно заменяют нормальным распределением : Вероятность того, что при испытаниях событие появится раз: ; (Локальная теорема Муавра –Лапласа) Вероятность того, что при истытаниях число событий условию (Интегральная теорема Муавра-Лапласа)  

Содержание слайда: Закон больших чисел в форме Бернулли Найдем вероятность того, что относительная частота события отличается от его вероятности не более, чем на С учётом того, что используем интегральную теорему Муавра-Лапласа получаем: Относительная частота события в независимых испытаниях при стремится к вероятности одного испытания

Содержание слайда: Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. f(x) - 0 x Дисперсия совпадает со вторым начальным моментом: : площадь под графиком равна 1 и она больше, чем площадь под “ хвостами ” распределений. Для случайной величины отклонение среднего от неравенство Чебышева:

Содержание слайда: Математическая статистика позволяет получать обоснованные выводы о видах распределения, параметрах и других свойствах случайных величин по совокупности наблюдений над ними – выборке. Пусть случайная величина распределена по закону и наблюдается в эксперименте а опыт повторяется раз в одних и тех же условиях. В результате получаем последовательность наблюдений значений случайной величины или случайно отобранных объектов , которую называют выборкой из генеральной совокупности с законом распределения - объем выборки Далее все выводы делаются на основе выборки.

Содержание слайда: Основные задачи математической статистики 1. Сбор статистического материала (получение выборки) 2. Результаты наблюдений, записанные в порядке регистрации неудобны для анализа. Поэтому вторая задача статистического описания - получение такого представления выборки, которое позволяет выявить характерные особенности распределения ( группировка данных по интервалам, определение частот элементов выборки, построение полигона частот, гистограммы, эмпирической функции распределения ) 3. Получение числовых характеристик выборки и оценка параметров распределения. 4. На основе полученных оценок и характерных особенностей распределения выборки выдвигается гипотеза (предположение) о виде распределения генеральной совокупности или строится другая вероятностная модель описания данных 5. Выполняется проверка статистической значимости (оценка погрешности) и адекватности (соответствия модели экспериментальным данным) построенной вероятностной модели.