Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
Тип файла:
ppt / pptx (powerpoint)
Всего слайдов:
9 слайдов
Для класса:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
Размер файла:
1.40 MB
Просмотров:
40
Скачиваний:
0
Автор:
неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд![Представление аналитических](/documents_5/f86bdd366151deaa950059368b2eb322/img0.jpg)
Содержание слайда: Представление аналитических функций рядами. Понятие вычета .
Лекция 9
№2 слайд![Ряд Тейлора разложение в ряд](/documents_5/f86bdd366151deaa950059368b2eb322/img1.jpg)
Содержание слайда: Ряд Тейлора (разложение в ряд в окрестности точки аналитичности)
(
- точка аналитичности функции
ближайшая к особая точка ;
Контур положительно ориентирован и охватывает точку
С и точку Функция аналитична на контуре внутри
контура по интегральной формуле Коши:
d = = =
Разложения в ряд для основных элементарных функций совпадают с их разложениями для функций действительного переменного.
Пример:
№3 слайд![Ряд Лорана разложение в ряд в](/documents_5/f86bdd366151deaa950059368b2eb322/img2.jpg)
Содержание слайда: Ряд Лорана (разложение в ряд в окрестности особой точки
особая точка функции
ближайшая к другая особая точка
Область аналитичности – кольцо
Для применения интегральной формулы Коши область
аналитичности превращаем в односвязную, сделав разрез:
=
;
= +
Главная часть Правильная часть
Пример. Разложение в в окрестности особой точки имеет вид =
= . Область сходимости:
№4 слайд![Изолированные особые точки](/documents_5/f86bdd366151deaa950059368b2eb322/img3.jpg)
Содержание слайда: Изолированные особые точки аналитической функции
Точка называется изолированной особой точкой функции, если однозначная функция аналитична в открытом круге за исключением самой точки В такой области функция однозначно представляется рядом Лорана, что и является основой классификации точек:
Устранимая особая точка - ряд Лорана содержит только правильную часть
Пример: для = точка устранимая
2. Существенно особая точка – ряд Лорана содержит бесконечное число членов в главной части ( отрицательных степеней):
+ не существует
Пример: для существенно особая
3. Полюс порядка – главная часть ряда Лорана содержит членов:
+
Пример: для точка – полюс = 2, а – полюс = 1
№5 слайд![Вычет аналитической функции в](/documents_5/f86bdd366151deaa950059368b2eb322/img4.jpg)
Содержание слайда: Вычет аналитической функции в изолированной особой точке
Рассматриваем однозначную функцию , аналитичную в открытом круге за исключением самой точки
Находим интеграл по контуру , который охватывает точку и не проходит через другие особые точки:
Вычетом функции в точке называют коэффициент при разложения в ряд Лорана:
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫЧЕТА. 1) В устранимой особой точке = 0 ;
2) В существенно особой точке вычет находят как коэффициент разложения в ряд:
=
3. В особой точке полюс порядка вычет можно найти как или по формулам: .
или
№6 слайд![Вычет аналитической функции в](/documents_5/f86bdd366151deaa950059368b2eb322/img5.jpg)
Содержание слайда: Вычет аналитической функции в изолированной особой точке
Пусть функция аналитична в окрестности
бесконечно удаленной точки
+
правильная часть главная часть
Классификация точки по числу членов в главной части ряда Лорана:
- устранимая особая точка
2. + - полюс порядка
3. +- существенно особая
ВЫЧЕТОМ функции азывают число при :
. Пример: =
= …
№7 слайд![Основные теоремы о вычетах](/documents_5/f86bdd366151deaa950059368b2eb322/img6.jpg)
Содержание слайда: Основные теоремы о вычетах
Пусть функция аналитична на всей комплексной
плоскости за исключением конечного числа особых
точек Тогда справедливо:
1.
или
- – число особых точек, охваченных
контуром .
Обе теоремы являются записью теоремы Коши для многосвязных областей через понятие вычета:
1) 2)
№8 слайд![Вычисление контурных](/documents_5/f86bdd366151deaa950059368b2eb322/img7.jpg)
Содержание слайда: Вычисление контурных интегралов. Пример.
Пример. Вычислим интеграл по различным контурам
1) Ни одна из особых точек не попадает в область, охваченную контуром, и по теореме Коши ;
2) . Все особые точки– простые полюсы попадают в область, охваченную контуром. Сумму вычетов во всех точках сразу в данном случае можно вычислить, используя вычет на бесконечности:
= ;
3) Контур охватывает точки (простые полюсы).
Сумму вычетов в комплексно сопряженных точках удобно вычислить по формуле
= = =.
№9 слайд![Вычисление несобственных](/documents_5/f86bdd366151deaa950059368b2eb322/img8.jpg)
Содержание слайда: Вычисление несобственных интегралов. Примеры
1) ;
2)
;
4) ) ;
Пример.
= =