Презентация Представление аналитических функций рядами. Понятие вычета онлайн

Содержание слайда: Представление аналитических функций рядами. Понятие вычета . Лекция 9

Содержание слайда: Ряд Тейлора (разложение в ряд в окрестности точки аналитичности) ( - точка аналитичности функции ближайшая к особая точка ; Контур положительно ориентирован и охватывает точку С и точку Функция аналитична на контуре внутри контура по интегральной формуле Коши: d = = = Разложения в ряд для основных элементарных функций совпадают с их разложениями для функций действительного переменного. Пример:

Содержание слайда: Ряд Лорана (разложение в ряд в окрестности особой точки особая точка функции ближайшая к другая особая точка Область аналитичности – кольцо Для применения интегральной формулы Коши область аналитичности превращаем в односвязную, сделав разрез: = ; = + Главная часть Правильная часть Пример. Разложение в в окрестности особой точки имеет вид = = . Область сходимости:

Содержание слайда: Изолированные особые точки аналитической функции Точка называется изолированной особой точкой функции, если однозначная функция аналитична в открытом круге за исключением самой точки В такой области функция однозначно представляется рядом Лорана, что и является основой классификации точек: Устранимая особая точка - ряд Лорана содержит только правильную часть Пример: для = точка устранимая 2. Существенно особая точка – ряд Лорана содержит бесконечное число членов в главной части ( отрицательных степеней): + не существует Пример: для существенно особая 3. Полюс порядка – главная часть ряда Лорана содержит членов: + Пример: для точка – полюс = 2, а – полюс = 1

Содержание слайда: Вычет аналитической функции в изолированной особой точке Рассматриваем однозначную функцию , аналитичную в открытом круге за исключением самой точки Находим интеграл по контуру , который охватывает точку и не проходит через другие особые точки: Вычетом функции в точке называют коэффициент при разложения в ряд Лорана: ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫЧЕТА. 1) В устранимой особой точке = 0 ; 2) В существенно особой точке вычет находят как коэффициент разложения в ряд: = 3. В особой точке полюс порядка вычет можно найти как или по формулам: . или

Содержание слайда: Вычет аналитической функции в изолированной особой точке Пусть функция аналитична в окрестности бесконечно удаленной точки + правильная часть главная часть Классификация точки по числу членов в главной части ряда Лорана: - устранимая особая точка 2. + - полюс порядка 3. +- существенно особая ВЫЧЕТОМ функции азывают число при : . Пример: = = …

Содержание слайда: Основные теоремы о вычетах Пусть функция аналитична на всей комплексной плоскости за исключением конечного числа особых точек Тогда справедливо: 1. или - – число особых точек, охваченных контуром . Обе теоремы являются записью теоремы Коши для многосвязных областей через понятие вычета: 1) 2)

Содержание слайда: Вычисление контурных интегралов. Пример. Пример. Вычислим интеграл по различным контурам 1) Ни одна из особых точек не попадает в область, охваченную контуром, и по теореме Коши ; 2) . Все особые точки– простые полюсы попадают в область, охваченную контуром. Сумму вычетов во всех точках сразу в данном случае можно вычислить, используя вычет на бесконечности: = ; 3) Контур охватывает точки (простые полюсы). Сумму вычетов в комплексно сопряженных точках удобно вычислить по формуле = = =.

Содержание слайда: Вычисление несобственных интегралов. Примеры 1) ; 2) ; 4) ) ; Пример. = =