Презентация Теорема Гаусса 2 онлайн

Содержание слайда:

Содержание слайда: Тема 3. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА 3.1. Силовые линии электростатического поля 3.2. Поток вектора напряженности 3.3. Теорема Остроградского-Гаусса 3.4. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса 3.5. Вычисление электростатических полей с помощью теоремы Остроградского - Гаусса 3.5.1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости 3.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей 3.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити) 3.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью заряда, но разным знаком 3.5.5. Поле заряженного пустотелого шара(сферы) 3.5.6. Поле объемного заряженного шара 3.6. Уравнения Пуассона и Лапласа.

Содержание слайда: 3.1. Силовые линии электростатического поля Теорема Остроградского-Гаусса, которую мы докажем и обсудим позже, устанавливает связь между электрическими зарядами и электрическим полем. Она представляет собой более общую формулировку закона Кулона.

Содержание слайда: Остроградский Михаил Васильевич (1801 – 1862) Остроградский Михаил Васильевич (1801 – 1862) отечественный математик и механик. Учился в Харьковском ун-те (1816 – 1820), совершенствовал знания в Париже (1822 – 1827). Основные работы в области математического анализа, математической физики, теоретической механики. Решил ряд важных задач гидродинамики, теории теплоты, упругости, баллистики, электростатики, в частности задачу распространения волн на поверхности жидкости (1826 г.). Получил дифференциальное уравнение распространения тепла в твердых телах и жидкостях. Известен теоремой Остроградского-Гаусса в электростатике (1828 г.).

Содержание слайда: Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855) немецкий математик, астроном и физик. Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855) немецкий математик, астроном и физик. Исследования посвящены многим разделам физики. В 1832 г. создал абсолютную систему мер (СГС), введя три основных единицы: единицу времени – 1 с, единицу длины – 1 мм, единицу массы – 1 мг. В 1833 г. совместно с В. Вебером построил первый в Германии электромагнитный телеграф. Еще в 1845 г. пришел к мысли о конечной скорости распростране­ния электромагнитных взаимодействий. Изу­чал земной магнетизм, изобрел в 1837 г. униполярный магнитометр, в 1838 г. – бифилярный. В 1829 г. Сформулировал принцип наименьшего принуждения (принцип Гаусса). Один из первых высказал в 1818 г. предположение о возможности существования неевклидовой геометрии.

Содержание слайда: силовые линии – это линии, касательная к которым в любой точке поля совпадает с направлением вектора напряженности силовые линии – это линии, касательная к которым в любой точке поля совпадает с направлением вектора напряженности

Содержание слайда: Однородным называется электростатическое поле, во всех точках которого напряженность одинакова по величине и направлению, т.е. Однородное электростатическое поле изображается параллельными силовыми линиями на равном расстоянии друг от друга Однородным называется электростатическое поле, во всех точках которого напряженность одинакова по величине и направлению, т.е. Однородное электростатическое поле изображается параллельными силовыми линиями на равном расстоянии друг от друга

Содержание слайда:

Содержание слайда: Для системы зарядов, как видим, силовые линии направлены от положительного заряда к отрицательному Для системы зарядов, как видим, силовые линии направлены от положительного заряда к отрицательному

Содержание слайда:

Содержание слайда: Густота силовых линий должна быть такой, чтобы единичную площадку, нормальную к вектору напряженности пересекало такое их число, которое равно модулю вектора напряженности , т.е. Густота силовых линий должна быть такой, чтобы единичную площадку, нормальную к вектору напряженности пересекало такое их число, которое равно модулю вектора напряженности , т.е.

Содержание слайда: если на рисунке выделить площадку то напряженность изображенного поля будет равна если на рисунке выделить площадку то напряженность изображенного поля будет равна

Содержание слайда: 3.2. Поток вектора напряженности Полное число силовых линий, проходящих через поверхность S называется потоком вектора напряженности Ф через эту поверхность В векторной форме можно записать – скалярное произведение двух векторов, где вектор .

Содержание слайда: Таким образом, поток вектора есть скаляр, который в зависимости от величины угла α может быть как положительным, так и отрицательным. Таким образом, поток вектора есть скаляр, который в зависимости от величины угла α может быть как положительным, так и отрицательным.

Содержание слайда:

Содержание слайда: 3.3. Теорема Остроградского-Гаусса Итак, по определению, поток вектора напряженности электрического поля равен числу линий напряженности, пересекающих поверхность S.

Содержание слайда: поток вектора напряженности через произвольную элементарную площадку dS будет равен: поток вектора напряженности через произвольную элементарную площадку dS будет равен: Т.е. в однородном поле В произвольном электрическом поле

Содержание слайда: Подсчитаем поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S, окружающую точечный заряд q . Окружим заряд q сферой S1. Подсчитаем поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S, окружающую точечный заряд q . Окружим заряд q сферой S1.

Содержание слайда: Центр сферы совпадает с центром заряда. Радиус сферы S1 равен R1. Центр сферы совпадает с центром заряда. Радиус сферы S1 равен R1. В каждой точке поверхности S1 проекция Е на направление внешней нормали одинакова и равна

Содержание слайда:

Содержание слайда: Подсчитаем поток через сферу S2, имеющую радиус R2:

Содержание слайда: Из непрерывности линии следует, что поток и через любую произвольную поверхность S будет равен этой же величине: Из непрерывности линии следует, что поток и через любую произвольную поверхность S будет равен этой же величине: – теорема Гаусса для одного заряда.

Содержание слайда: Для любого числа произвольно расположенных зарядов, находящихся внутри поверхности: Для любого числа произвольно расположенных зарядов, находящихся внутри поверхности: – теорема Гаусса для нескольких зарядов: Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности, деленной на ε0.

Содержание слайда:

Содержание слайда: Таким образом, для точечного заряда q, полный поток через любую замкнутую поверхность S будет равен: Таким образом, для точечного заряда q, полный поток через любую замкнутую поверхность S будет равен: – если заряд расположен внутри замкнутой поверхности; – если заряд расположен вне замкнутой поверхности; этот результат не зависит от формы поверхности, и знак потока совпадает со знаком заряда.

Содержание слайда: Электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью различной в разных местах пространства: Электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью различной в разных местах пространства: Здесь dV – физически бесконечно малый объем, под которым следует понимать такой объем, который с одной стороны достаточно мал, чтобы в пределах его плотность заряда считать одинаковой, а с другой – достаточно велик, чтобы не могла проявиться дискретность заряда, т.е. то, что любой заряд кратен целому числу элементарных зарядов электрона или протона .

Содержание слайда: Суммарный заряд объема dV будет равен: Суммарный заряд объема dV будет равен: Тогда из теоремы Гаусса можно получить: – это ещё одна форма записи теоремы Остроградского-Гаусса, если заряд неравномерно распределен по объему.

Содержание слайда: 3.4. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса Пусть заряд распределен в пространстве V, с объемной плотностью . Тогда

Содержание слайда: Теперь устремим , стягивая его к интересующей нас точке. Очевидно, что при этом будет стремиться к ρ в данной точке, т.е. Теперь устремим , стягивая его к интересующей нас точке. Очевидно, что при этом будет стремиться к ρ в данной точке, т.е. Величину, являющуюся пределом отношения к V, при , называют дивергенцией поля Е

Содержание слайда: Дивергенция поля Е Дивергенция поля Е . (3.1) Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля. Из этого определения следует, что дивергенция является скалярной функцией координат. В декартовой системе координат

Содержание слайда: Итак, Итак, (3.2) Это теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме. Написание многих формул упрощается, если ввести векторный дифференциальный оператор (Набла) где i, j, k – орты осей (единичные векторы).

Содержание слайда: Сам по себе оператор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании с векторной или скалярной функцией, на которую символично умножается: Сам по себе оператор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании с векторной или скалярной функцией, на которую символично умножается: дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса.

Содержание слайда: В тех точках поля, где – источники поля В тех точках поля, где – источники поля (положительные заряды), где – стоки (отрицательные заряды). Линии напряженности выходят из источников и заканчиваются в стоках.

Содержание слайда: 3.5. Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского-Гаусса 1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

Содержание слайда: Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости Тогда

Содержание слайда: Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен: Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен: Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского-Гаусса получим: откуда видно, что напряженность поля плоскости S : (3.3)

Содержание слайда: 3.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ

Содержание слайда: Результирующее поле, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей. Результирующее поле, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей. Тогда внутри плоскостей Вне плоскостей напряженность поля Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).

Содержание слайда:

Содержание слайда: 3.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити) Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью где dq – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра

Содержание слайда:

Содержание слайда: Для оснований цилиндров Для оснований цилиндров для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r. Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен

Содержание слайда: При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса Тогда Если , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет.

Содержание слайда: График распределения напряженности электростатического поля цилиндра График распределения напряженности электростатического поля цилиндра

Содержание слайда: 3.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком

Содержание слайда:

Содержание слайда: Таким образом для коаксиальных цилиндров имеем: Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор).

Содержание слайда: 3.5.5. Поле заряженного пустотелого шара (сферы)

Содержание слайда: Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис). Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис).

Содержание слайда: Если то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогда Если то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогда откуда поле вне сферы: Внутри сферы, при поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов:

Содержание слайда:

Содержание слайда: 3.5.6. Поле объемного заряженного шара Для поля вне шара радиусом R получается тот же результат, что и для пустотелой сферы, т.е. справедлива формула:

Содержание слайда: Внутри шара при сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный Внутри шара при сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный где ρ – объемная плотность заряда: объем шара: Тогда, по теореме Остроградского-Гаусса:

Содержание слайда: Т.е. внутри шара Т.е. внутри шара Т.е., внутри шара имеем

Содержание слайда: Таким образом, имеем: поле объемного заряженного шара

Содержание слайда: 3.8. Уравнения Пуассона (1812 г) и Лапласа (1782 г). Теорема Гаусса в дифференциальной форме и дифференциальное соотношение позволяют получить следующее: - уравнение Пуассона , где лапласиан или оператор Лапласа

Содержание слайда: Если между проводниками нет зарядов, т.е. , то уравнение Пуассона переходит в более простое и называется - уравнением Лапласа. Если между проводниками нет зарядов, т.е. , то уравнение Пуассона переходит в более простое и называется - уравнением Лапласа. Решения уравнений Пуассона и Лапласа единственны при данных граничных условиях.

Содержание слайда: Пример. (Иродов 3.49) В некоторой области пространства потенциал зависит только от координаты x как Найти распределение объемного заряда отсюда

Содержание слайда: