Презентация Частные производные различных порядков. Производная сложной функции. (Семинар 23) онлайн

Содержание слайда: Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции. Производная от функции заданной неявно. Частные производные различных порядков Производная сложной функции Семинар 23

Содержание слайда: Предположим, что в уравнении z=F(u,v) (1) u,v - функции независимых переменных x,y: (2). В этом случае z есть сложная функция от аргументов x,y. Предположим, что в уравнении z=F(u,v) (1) u,v - функции независимых переменных x,y: (2). В этом случае z есть сложная функция от аргументов x,y. Если в общем случае z можно выразить через x,y непосредственно, а именно: (3), то частные производные находятся непосредственно. Предположим, что имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам. Необходимо вычислить исходя из уравнений (1),(2), не пользуясь уравнением (3). Даем аргументу x приращение , оставляя y неизменной, тогда u,v получают приращения . Но если u,v получают приращения , то и функция z=F(u,v) получит приращение , определяемое следующей формулой: Разделим обе части равенства на : Если (в силу непрерывности функций u,v), то . Переходя к пределу при получим . Следовательно (4) аналогично (4’)

Содержание слайда: Полная производная. Полная производная. Если задана функция z=F(x,y,u,v), где y,u,v - в свою очередь зависят от одного аргумента x , то по сути z - функция от одного аргумента. Тогда можно рассмотреть вопрос о нахождении Эта производная вычисляется по формуле Но так как y,u,v – функции только одного переменного x, то частные производные обращаются в обыкновенные, и кроме того , поэтому . Это формула для вычисления полной производной

Содержание слайда: Полный дифференциал сложной функции. Полный дифференциал сложной функции. Найдем полный дифференциал сложной функции, определенной равенствами (1),(2). Формула полного дифференциала (*) Подставляя выражения , определенные равенствами (4),(4’) получим Выполнив преобразование в правой части, получим (5) Но так как (6), то равенство (5) с учетом равенства (6) можно переписать так: (7) или (7’)

Содержание слайда: Производная от функции заданной неявно Производная от функции заданной неявно Начнем рассмотрение этого вопроса с неявной функции одного переменного. Пусть некоторая функция определена уравнением F(x,y)=0 Теорема. Пусть непрерывная функция y от x задана уравнением (1), где - непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку (x,y), координаты которой удовлетворяют уравнению (1); кроме того, в этой точке . Тогда функция y от x имеет производную (2) Для имеют место формулы и . Предполагается, что Аналогичным образом определяются неявные функции любого числа переменных и находятся их частные производные.

Содержание слайда: Частные производные различных порядков Частные производные различных порядков Рассмотрим функцию z=f(x,y). - функции переменных x,y, от которых можно снова находить частные производные. Частных производных второго порядка от функций двух переменных четыре, так как каждую из функций можно дифференцировать как по x, так и по y. Обозначение: - последовательное дифференцирование по x. - последовательное дифференцирование по x, затем по y. - последовательное дифференцирование по y, затем по x. - последовательное дифференцирование по y. Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по x, так и по y. Получаем частные производные третьего порядка. Их будет восемь . В общем случае частная производная n- го порядка есть первая производная от производной (n-1) порядка. Формула - соответствует производной n-го порядка. Функция z сначала p раз дифференцируется по x, затем n-p раз по y. Для функции любого числа переменных частные производные высших порядков определяются аналогично.

Содержание слайда: Примеры с решениями Примеры с решениями 1. Найти производные сложных функций 1) Решение Используя формулы (4),(4’) получаем 2) . Найти Решение. Имеем . Выразив x,y через t, получаем 2. Найти полный дифференциал сложной функции Решение Имеем Последнее выражение можно переписать в виде

Содержание слайда: 3. Найти производные функций, заданных неявно 3. Найти производные функций, заданных неявно 1) . Дифференцируя эту функцию как явную (после разрешения уравнения относительно z) получили бы тот же результат 2) Решение 4. Найти производные различных порядков 1) . Найти Решение 2) . Найти Решение 3) . Найти Решение

Содержание слайда: Примеры для самостоятельного решения: Примеры для самостоятельного решения: 1. Найти производные сложных функций 1)Найти ; 2) Найти 3) Найти 2. Найти производные от функций заданных неявно 1) Функция z переменных x,y задана уравнением . Найти 2) Найти , если xcosy+ycosz+zcosx=1 3) Функция z переменных x,y задана уравнением . Найти для системы значений x=-1,y=0,z=1 3. Найти производные различных порядков 1) Найти производные второго порядка для функций 2) Найти 3) Найти 4) Найти