Презентация Численное интегрирование и его погрешности. Методы прямоугольников и трапеций. Метод Симпсона. Правило Рунге. (Лекция 5) онлайн

Содержание слайда: Лекция 5 Постановка задачи численного интегрирования Методы прямоугольников Метод трапеций Метод Симпсона Погрешности численного интегрирования. Правило Рунге

Содержание слайда: Определенный интеграл Из курса математического анализа известно, что, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема, то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b существует и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

Содержание слайда: Методы интегрирования

Содержание слайда:

Содержание слайда: Приближенное вычисление площади криволинейной трапеции Для приближенного вычисления этой площади отрезок [a;b] разбивается на n частей, внутри которых подинтегральная функция f(x) заменяется с некоторой степенью точности более простыми функциями gi(x), которые могут быть проинтегрированы аналитически. Тогда

Содержание слайда: Замена подинтегральной функции интерполяционными полиномами

Содержание слайда: Методы численного интегрирования Для получения простых формул используют полиномы нулевой, первой и второй степени и, соответственно, получают следующие методы и формулы численного интегрирования: методы прямоугольников; метод трапеций; метод Симпсона. Очевидно, что во всех случаях замена функции f(x) интерполирующим полиномом приводит к образованию погрешности вычисления значения интеграла. Увеличение числа отрезков разбиения n (уменьшение длины шага интегрирования h) ведет к уменьшению погрешности.

Содержание слайда: Методы прямоугольников В методах прямоугольников подинтегральная функция f(x) заменяется в пределах каждого элементарного отрезка [xi;xi+1] интерполяционным полиномом нулевой степени, то есть постоянной величиной. При этом значение элементарного интеграла равно площади прямоугольника, а интеграл на отрезке [a;b] – сумме этих площадей. Если в качестве значения подинтегральной функции берется ее значение в левом конце отрезка, то получается формула левых прямоугольников. При использовании значения подинтегральной функции в правом конце отрезка получается формула правых прямоугольников. При одном и том же числе отрезков разбиения n большую точность дает метод средних прямоугольников, в котором используется значение подинтегральной функции в середине отрезка. Поскольку объем вычислений во всех трех случаях одинаков, то более предпочтительым оказывается метод средних прямоугольников, который часто называют просто методом прямоугольников.

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Схема алгоритма метода прямоугольников

Содержание слайда: Метод трапеций В методе трапеций подинтегральная функция f(x) на каждом элементарном отрезке [xi;xi+1] заменяется интерполяционным полиномом первой степени. При этом значение элементарного интеграла равно площади прямоугольной трапеции с высотой h и основаниями f(xi) и f(xi+1), а интеграл на отрезке [a;b] – сумме этих площадей.

Содержание слайда: Метод трапеций

Содержание слайда: Вывод формулы трапеций

Содержание слайда: Схема алгоритма метода трапеций

Содержание слайда: Метод Симпсона

Содержание слайда: Метод Симпсона

Содержание слайда: Вывод формулы Симпсона

Содержание слайда: Вывод формулы Симпсона

Содержание слайда: Схема алгоритма метода Симпсона

Содержание слайда: Погрешности численного интегрирования Замена подинтегральной функции интерполяционным полиномом приводит к погрешности вычисления определенного интеграла R = |S – S*|, где S* – точное значение интеграла. Имеются следующие оценки этой погрешности для рассмотренных нами методов и случаев аналитического или табличного задания подинтегральной функции:

Содержание слайда: Оценки погрешности численного интегрирования

Содержание слайда: Сравнение погрешностей методов Из приведенных формул видно, что уменьшение шага интегрирования h приводит к уменьшению погрешности. Метод Симпсона при шаге h дает примерно ту же точность, что и методы прямоугольников и трапеций при шаге h/2, а при одинаковой точности метод Симпсона требует примерно вдвое меньше вычислений.

Содержание слайда: Метод двойного просчета (правило Рунге)

Содержание слайда: Схема алгоритма метода двойного просчета