Презентация Графы. Элементы графов. Виды графов и операции над ними онлайн

Содержание слайда: Графы. Элементы графов. Виды графов и операции над ними

Содержание слайда: Основные вопросы: Сведения из истории графов. Граф и его элементы. Пути и маршруты в графах Связные графы. Деревья Операции над графами.

Содержание слайда: Теория графов представляет собой раздел математики, имеющий широкие практические приложения. Теория графов представляет собой раздел математики, имеющий широкие практические приложения. Теория графов – область дискретной математики, особенностью которой является геометрический подход к изучению объектов.

Содержание слайда: История возникновения графов Впервые основы теории графов появились в работах Леонарда Эйлера (1707-1783; швейцарский, немецкий и российский математик) , в которых он описывал решение головоломок и математических развлекательных задач. Теория графов началась с решения Эйлером задачи о семи мостах Кёнигсберга.

Содержание слайда:

Содержание слайда: История возникновения графов Термин "граф" впервые появился в книге венгерского математика Д. Кенига в 1936 г., хотя начальные важнейшие теоремы о графах восходят к Л. Эйлеру.

Содержание слайда: В основе теории лежит понятие графа.

Содержание слайда: Состав графа Граф состоит из вершин, связанных линиями. Вершины графа обозначают латинскими буквами A, B, C, D или цифрами. Направленная линия (со стрелкой) называется дугой. Линия ненаправленная (без стрелки) называется ребром. Линия, выходящая из некоторой вершины и входящая в неё же, называется петлей.

Содержание слайда: Ориентированный граф - граф, вершины которого соединены дугами. С помощью таких графов могут быть представлены схемы односторонних отношений.

Содержание слайда: Взвешенный граф Это граф, рёбрам или дугам которого поставлены в соответствие числовые величины (они могут обозначать, например, расстояние между городами или стоимость перевозки). Вес графа равен сумме весов его рёбер.

Содержание слайда: Две вершины графа называются смежными, если существует инцидентное им ребро: на рисунке смежными являются вершины А и В, А и С. Две вершины графа называются смежными, если существует инцидентное им ребро: на рисунке смежными являются вершины А и В, А и С.

Содержание слайда: Если граф G имеет ребро , у которого начало и конец совпадают, то это ребро называется петлёй. На рисунке ребро q(С, С) – петля. Если граф G имеет ребро , у которого начало и конец совпадают, то это ребро называется петлёй. На рисунке ребро q(С, С) – петля.

Содержание слайда: Два ребра называются смежными, если они имеют общую вершину. Два ребра называются смежными, если они имеют общую вершину. На рисунке смежными являются, например, рёбра х1 и х2 с общей вершиной С.

Содержание слайда: Рёбра, которые начинаются в одной и той же вершине, заканчиваются также в одной и той же вершине, называются кратными, или параллельными. Рёбра, которые начинаются в одной и той же вершине, заканчиваются также в одной и той же вершине, называются кратными, или параллельными. Количество одинаковых пар вида называется кратностью ребра Число рёбер, инцидентных вершине А, называется степенью этой вершины и обозначается (от англ. degree – степень).

Содержание слайда: На рисунке кратными являются, например, рёбра х1(А, В), х2(А, В). Вершинам А и С инцидентны рёбра х3, х4, х5. Следовательно, ребро АС имеет кратность, равную 3, а ребро АВ – кратность, равную 2. На рисунке кратными являются, например, рёбра х1(А, В), х2(А, В). Вершинам А и С инцидентны рёбра х3, х4, х5. Следовательно, ребро АС имеет кратность, равную 3, а ребро АВ – кратность, равную 2.

Содержание слайда: На рисунке вершина А имеет степень, равную 1, вершина С – 4, вершина D – 2. Записывается это в виде: deg(A)=1, deg(C)=4, deg(D)=2. На рисунке вершина А имеет степень, равную 1, вершина С – 4, вершина D – 2. Записывается это в виде: deg(A)=1, deg(C)=4, deg(D)=2.

Содержание слайда: Вершина графа, имеющая степень, равную нулю, называется изолированной. Вершина графа, имеющая степень, равную нулю, называется изолированной. Граф, состоящий из изолированных вершин, называется нуль-графом. Вершина графа, имеющая степень, равную 1, называется висячей. Граф, не имеющий ребер (дуг), называется пустым. На рисунке вершина Е – изолированная: deg(E)=0.

Содержание слайда: На рисунке вершины А, В, Е, G, H – висячие.

Содержание слайда: Теорема 1. В графе сумма степеней всех его вершин – число чётное, равное удвоенному числу рёбер графа: Теорема 1. В графе сумма степеней всех его вершин – число чётное, равное удвоенному числу рёбер графа: Количество ребер в любом графе равно половине суммы степеней его вершин. где - число вершин; - число рёбер графа.

Содержание слайда: Вершина называется чётной (нечётной), если её степень – чётное (нечётное) число. Вершина называется чётной (нечётной), если её степень – чётное (нечётное) число. На рисунке deg(D)=2, deg(F)=3, значит у графа вершина D является чётной, а F – нечётной.

Содержание слайда: Задача. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими?

Содержание слайда: Теорема 2. Всякий (неориентированный) граф содержит четное число нечетных вершин. Теорема 2. Всякий (неориентированный) граф содержит четное число нечетных вершин. Следствие. Невозможно начертить граф с нечётным числом нечётных вершин. Граф G называется полным, если любые две его различные вершины соединены одним и только одним ребром.

Содержание слайда: Задача. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 человек имеют по 3 друга, 11 — по 4 друга, а 10 — по 5 друзей?

Содержание слайда: Дополнением графа называется граф с теми же вершинами V, что и граф G, и имеющий те и только те рёбра , которые необходимо добавить к графу G, чтобы он стал полным. На рисунке дополнением графа G1 до графа G является граф Дополнением графа называется граф с теми же вершинами V, что и граф G, и имеющий те и только те рёбра , которые необходимо добавить к графу G, чтобы он стал полным. На рисунке дополнением графа G1 до графа G является граф

Содержание слайда: Закономерность 1. Закономерность 1.

Содержание слайда: Число нечетных вершин любого графа четно. Число нечетных вершин любого графа четно.

Содержание слайда: Если все вершины графа четные, то можно не отрывая карандаш от бумаги («одним росчерком»), проводя по каждому ребру только один раз, начертить этот граф. Движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине. Если все вершины графа четные, то можно не отрывая карандаш от бумаги («одним росчерком»), проводя по каждому ребру только один раз, начертить этот граф. Движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине.

Содержание слайда:

Содержание слайда: Пути и маршруты в графах Путем в ориентированном графе называется последовательность дуг, в которой конечная вершина любой дуги, отличной от последней, является начальной вершиной следующей дуги. Вершина, от которой проложен маршрут, называется началом пути, вершина в конце маршрута — конец пути. Путь, в котором каждая вершина используется не более одного раза, называется простым путем. Длиной пути в графе называется количество дуг (ребер), составляющих этот путь.

Содержание слайда: В качестве примера рассмотрим орграф, представленный на рисунке. Одним из существующих путей, соединяющих вершины 1 и 3, является последовательность вершин 1, 2, 1, 4, 3. Единственным простым путем для той же пары вершин является последовательность 1, 4, 3. Пути из вершины 1 в вершину 5 для того же графа не существует. В качестве примера рассмотрим орграф, представленный на рисунке. Одним из существующих путей, соединяющих вершины 1 и 3, является последовательность вершин 1, 2, 1, 4, 3. Единственным простым путем для той же пары вершин является последовательность 1, 4, 3. Пути из вершины 1 в вершину 5 для того же графа не существует.

Содержание слайда: Неориентированный граф называется связным, если существует хотя бы один путь между каждой парой вершин. Неориентированный граф называется связным, если существует хотя бы один путь между каждой парой вершин. Орграф называется связным, если связен неориентированный граф, который получается из исходного ориентированного заменой всех дуг на ребра.

Содержание слайда: Путь называется замкнутым, если начальная и конечная вершины совпадают. Путь называется замкнутым, если начальная и конечная вершины совпадают. Замкнутый путь называется циклом, если все его вершины (кроме начальной и конечной) различны. Рассмотрим граф. Для него путь 2, 1, 6, 5, 4, 1, 2 является замкнутым; а путь 1, 6, 5, 4, 1 является циклом.

Содержание слайда: Последовательность попарно смежных вершин неориентированного графа, т.е. последовательность рёбер неориентированного графа, в которой вторая вершина предыдущего ребра совпадает с первой вершиной следующего, называется маршрутом. Последовательность попарно смежных вершин неориентированного графа, т.е. последовательность рёбер неориентированного графа, в которой вторая вершина предыдущего ребра совпадает с первой вершиной следующего, называется маршрутом. Число рёбер маршрута называется длиной маршрута. Если начальная вершина маршрута совпадает с конечной, то такой маршрут называется замкнутым или циклом.

Содержание слайда: На рисунке HCDFD – маршрут длиной 4. Обозначение: |HCDFD|=4. Маршрут принято задавать как последовательность рёбер, поскольку это удобно при наличии кратных рёбер. На рисунке HCDFD – маршрут длиной 4. Обозначение: |HCDFD|=4. Маршрут принято задавать как последовательность рёбер, поскольку это удобно при наличии кратных рёбер.

Содержание слайда: В графе на рисунке (t, s, p, r), (u, s, t, r) – циклы длиной 4, (r, t, q, s, u) – цикл длиной 5, (t, s, u, r, t, s, p, r) – 8-цикл, (p, u) – 2-цикл, петля (q) – 1-цикл. В графе на рисунке (t, s, p, r), (u, s, t, r) – циклы длиной 4, (r, t, q, s, u) – цикл длиной 5, (t, s, u, r, t, s, p, r) – 8-цикл, (p, u) – 2-цикл, петля (q) – 1-цикл.

Содержание слайда: Операции над графами Одноместные операции 1. Удаление ребра графа — при этом все вершины графа сохраняются 2. Добавление ребра графа между двумя существующими вершинами. 3. Удаление вершины (вместе с инцидентными ребрами). 4. Добавление вершины (которую можно соединить с некоторыми вершинами графа). 5. Стягивание ребра — отождествление пары вершин, т.е. удаление пары смежных вершин, и добавление новой вершины, смежной с теми вершинами, которые были смежны, хотя бы одной из удаленных вершин) 6. Подразбиение ребра с- удаление ребра и добавление новой вершины, которая соединяется ребром с каждой из вершин удаленного ребра.

Содержание слайда: Операции над графами Двуместные операции Объединением графов и называется граф , множество вершин которого , а множество рёбер . Пересечением графов и называется граф , для которого - множество рёбер, а - множество вершин. Кольцевой суммой двух графов называется граф , порождённый множеством вершин и множеством рёбер , т.е. множеством рёбер, содержащихся либо в , либо в , но не в .

Содержание слайда:

Содержание слайда: Применение графов С помощью графов упрощается решение математических задач, головоломок, задач на смекалку.

Содержание слайда: Применение графов Лабиринт - это граф. А исследовать его - это найти путь в этом графе.

Содержание слайда: Использует графы и дворянство. Использует графы и дворянство. На рисунке приведена часть генеалогического дерева знаменитого дворянского рода Л. Н. Толстого. Здесь его вершины – члены этого рода, а связывающие их отрезки – отношения родственности, ведущие от родителей к детям.

Содержание слайда: Применение графов Графами являются блок – схемы программ для ЭВМ.

Содержание слайда: Применение графов Типичными графами на географических картах являются изображения железных дорог.

Содержание слайда: Применение графов Типичными графами на картах города являются схемы движения городского транспорта.

Содержание слайда: Выводы Графы – это замечательные математические объекты, с помощью, которых можно решать математические, экономические и логические задачи. Также можно решать различные головоломки и упрощать условия задач по физике, химии, электронике, автоматике. Графы используются при составлении карт и генеалогических древ. В математике даже есть специальный раздел, который так и называется: «Теория графов».

Содержание слайда: