Презентация Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал онлайн

Содержание слайда: Глава 8. Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин 8.1. Доверительный интервал

Содержание слайда: Точечная оценка параметра (даже если она несмещенная и эффективная) не позволяет судить о том, как точно найденная оценка воспроизводит истинное значение параметра. Т.к. оценка является случайной величиной, то невозможно точно определить величину разности , характеризующую отклонение оценки параметра от его истинного значения. Точечная оценка параметра (даже если она несмещенная и эффективная) не позволяет судить о том, как точно найденная оценка воспроизводит истинное значение параметра. Т.к. оценка является случайной величиной, то невозможно точно определить величину разности , характеризующую отклонение оценки параметра от его истинного значения.

Содержание слайда: Однако, – случайная величина, следовательно можно найти некоторую область реализации оценки , которая с вероятностью, близкой к 1, Р=1 –  содержит истинное значение параметра . Эту область можно определить соотношением Однако, – случайная величина, следовательно можно найти некоторую область реализации оценки , которая с вероятностью, близкой к 1, Р=1 –  содержит истинное значение параметра . Эту область можно определить соотношением , где величина t/2 говорит о том, что вероятность того, что абсолютная величина превысит t/2 , равна .

Содержание слайда: Типичные значения величины : 0,05; 0,01; 0,001. Типичные значения величины : 0,05; 0,01; 0,001. Иногда эту величину выражают в процентах и называют процентным уровнем значимости. Заменим неравенство равносильным ему двойным неравенством ,

Содержание слайда: тогда тогда . Положительная величина t/2 характеризует точность оценки , вероятность Р=1– – надежность, а интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью, называют доверительным интервалом.

Содержание слайда: 8.2. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения

Содержание слайда: Рассмотрим оценку математического ожидания mx нормально распределенной случайной величины Х с известной дисперсией 2. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то выборочное среднее будет также распределено по нормальному закону с математическим ожиданием mx и дисперсией 2/n:

Содержание слайда: Введем случайную величину которая имеет нормированное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Содержание слайда: Тогда вероятность Р=1 –  того, что СВ t не отклонится от своего математического ожидания на величину, больше чем t/2 находится по формуле: Тогда вероятность Р=1 –  того, что СВ t не отклонится от своего математического ожидания на величину, больше чем t/2 находится по формуле: Р{– t/2 t/2}=Ф*(t/2) – Ф*(– t/2)=1 – .

Содержание слайда: Принимая во внимание, что функция распределения Ф*(t) связана с функцией Лапласа Ф(t) соотношениями: Принимая во внимание, что функция распределения Ф*(t) связана с функцией Лапласа Ф(t) соотношениями: Ф(t)=0,5+ Ф*(t), Ф(t)=0,5 – Ф*(t), поэтому Р{– t/2 t/2}=2Ф(t/2)=1 –  . Поскольку функция Ф(t) непрерывна и возрастает на интервале [0,) от 0 до 0,5, то для любого числа , удовлетворяющего неравенству 0<1 – <1, существует единственное число t/2 такое, что Ф(t/2)=0,5(1 – ).

Содержание слайда: Для заданной вероятности Р = 1 –  по таблице значений функции Лапласа Ф(t) можно найти соответствующее значение t/2 . Для заданной вероятности Р = 1 –  по таблице значений функции Лапласа Ф(t) можно найти соответствующее значение t/2 . С надежностью Р=1 –  можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр mx с точностью

Содержание слайда: Таким образом, доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее определенной, близкой к 1, вероятностью утверждать, что он содержит не известное нам истинное значение параметра mx: Таким образом, доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее определенной, близкой к 1, вероятностью утверждать, что он содержит не известное нам истинное значение параметра mx: Из этого соотношения видно что, чем точнее при данном значении  мы хотим оценить среднее значение, тем больше n экспериментов необходимо провести.

Содержание слайда: С увеличением надежности (уменьшением ) доверительный интервал расширяется, т.е. точность уменьшается. Если задать точность  и вероятность , то можно найти минимальный объем выборки n который обеспечит заданную точность : С увеличением надежности (уменьшением ) доверительный интервал расширяется, т.е. точность уменьшается. Если задать точность  и вероятность , то можно найти минимальный объем выборки n который обеспечит заданную точность :

Содержание слайда: Поскольку концы интервала представляют собой случайные величины, то их называют также доверительными границами. Если величина Х распреде-лена не по нормальному закону распреде-ления, то поскольку величина представ-ляет собой сумму независимых, одинаково распределенных случайных величин, согласно предельной теореме при достаточно больших n (n  30) ее закон распределения близок к нормальному. Поскольку концы интервала представляют собой случайные величины, то их называют также доверительными границами. Если величина Х распреде-лена не по нормальному закону распреде-ления, то поскольку величина представ-ляет собой сумму независимых, одинаково распределенных случайных величин, согласно предельной теореме при достаточно больших n (n  30) ее закон распределения близок к нормальному.

Содержание слайда: Теперь рассмотрим оценку математического ожидания mx нормально распределенной случайной величины Х с неизвестной дисперсией 2. Для оценивания дисперсии 2 используем оценку .

Содержание слайда: Величина при этих условиях имеет t-распределение (распределение Стьюдента) с k=n–1.

Содержание слайда: Для нахождения доверительного интервала значения mx: Для нахождения доверительного интервала значения mx: задаемся надежностью Р=1– по таблице t-распределения для уровня значимости /2 (соответствующего односторонней критической области); из условия P{t<t/2}=1 –  определяем значение t/2 и строим доверительный интервал

Содержание слайда: 8.3. Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения Рассмотрим построение доверительного интервала дисперсии нормально распределенной случайной величины Х при неизвестном математическом ожидании.

Содержание слайда: Для этого используем соотношение: Для этого используем соотношение: Из указанного отношения можно определить величину имеющую k = n – 1 степеней свободы.

Содержание слайда: Таким образом, если математическое ожидание неизвестно, то случайная величина 2 распределена по закону 2 с Таким образом, если математическое ожидание неизвестно, то случайная величина 2 распределена по закону 2 с k = n – 1 степенями свободы. Так как случайная величина 2 неотрицательна, а плотность распределения p(2) несим-метричная (см.рис.), то доверительный интервал будем определять из условия или

Содержание слайда:

Содержание слайда: откуда получаем откуда получаем Следовательно, интервал

Содержание слайда: есть доверительный интервал для дисперсии 2 с надежностью Р=1 – , а интервал есть доверительный интервал для дисперсии 2 с надежностью Р=1 – , а интервал представляет собой доверительный интервал для стандартного отклонения  с надежностью Р=1 – . Значения определяем из таблиц 2 распределения из условия .

Содержание слайда:

Содержание слайда: Глава 9. Проверка статистических гипотез

Содержание слайда: 9.1. Постановка задачи. Основные понятия и определения 9.1. Постановка задачи. Основные понятия и определения Всякое предположение о законе распределения или параметрах закона распределения СВ Х будем называть статистической гипотезой (СГ). Задачу установления истинности гипотез по выборке наблюдений будем называть проверкой статистических гипотез.

Содержание слайда: СГ являются, например, предположения: СГ являются, например, предположения: 1. Закон распределения наблюдаемой СВ является нормальным; 2. МО наблюдаемой нормально распределенной СВ равно заданному числу; 3. Дисперсия и МО наблюдаемой нормально распределенной СВ принимают заданные значения. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н0. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н1, которая противоречит нулевой.

Содержание слайда: Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение, сложной – гипотезу, состоящую из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение, сложной – гипотезу, состоящую из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Основная задача теории проверки гипотез состоит в разработке методов построения наиболее подходящих критических и допустимых областей, обеспечивающих наилучшее различение гипотез. При проверке гипотез возникают ошибки двух родов: – ошибка 1 рода – отклонение истинной гипотезы; – ошибка 2 рода – принятие ложной гипотезы.

Содержание слайда: Замечание. Какая из ошибок является на практике более опасной, зависит от конкретной задачи. Замечание. Какая из ошибок является на практике более опасной, зависит от конкретной задачи. Например, если проверяется правильность выбора метода лечения больного, то ошибка первого рода означает отказ от правильной методики, что может замедлить лечение, а ошибка второго рода (применение неправильной методики) чревата ухудшением состояния больного и является более опасной.

Содержание слайда: С расширением области ошибка 1 рода растет, а ошибка 2 рода падает. С расширением области ошибка 1 рода растет, а ошибка 2 рода падает. Условные вероятности  и  вероятности ошибок первого и второго рода соответственно. Основной прием проверки статистических гипотез заключается в том, что по имеющейся выборке вычисляется значение некоторой случайной величины, имеющей известный закон распределения.

Содержание слайда: Статистическим критерием называется случайная величина К с известным законом распределения, служащая для проверки нулевой гипотезы. Статистическим критерием называется случайная величина К с известным законом распределения, служащая для проверки нулевой гипотезы. Критической областью называют область значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают, областью принятия гипотезы – область значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Содержание слайда: Процесс проверки гипотезы состоит из следующих этапов: Процесс проверки гипотезы состоит из следующих этапов: 1) выбирается статистический критерий К; 2) вычисляется его наблюдаемое значение Кнабл по имеющейся выборке; 3) поскольку закон распределения К известен, определяется (по известному уровню значимости α) критическое значение kкр, разделяющее критическую область и область принятия гипотезы (например, если р(К > kкр) = α, то справа от

Содержание слайда: kкр располагается критическая область, а слева – область принятия гипотезы); kкр располагается критическая область, а слева – область принятия гипотезы); 4) если вычисленное значение Кнабл попадает в область принятия гипотезы, то нулевая гипотеза принимается, если в критическую область – нулевая гипотеза отвергается. Различают разные виды критических областей: – правостороннюю критическую область, определяемую неравенством K > kкр ( kкр > 0);

Содержание слайда: – левостороннюю критическую область, определяемую неравенством K < kкр (kкр < 0); – левостороннюю критическую область, определяемую неравенством K < kкр (kкр < 0); – двустороннюю критическую область, определяемую неравенствами K < k1, K > k2 (k2 > k1). Параметр  называют уровнем значимости или размером критерия проверки гипотезы Hi (размером критической области ).

Содержание слайда: Параметр 1 –  равный условной вероятности отклонения гипотезы Hi , когда она ошибочна, называют мощностью критерия ее проверки. Параметр 1 –  равный условной вероятности отклонения гипотезы Hi , когда она ошибочна, называют мощностью критерия ее проверки. Вероятности  и  связаны между собой через область критическую область . С возрастанием  параметр  уменьшается, и наоборот, уменьшению  соответствует возрастание .