Презентация Математическое моделирование. Основные положения онлайн

Содержание слайда: Математическое моделирование Основные положения Погрешности измерений

Содержание слайда: Основные положения Наука — сфера человеческой деятельности, направленной на выработку и систематизацию достоверных знаний о действительности [1]. Цель научного исследования — выявление новых закономерностей того или иного процесса (получение неизвестных до этого зависимостей между величинами, характеризующие исследуемый процесс), в конечном итоге - получение новых знаний о действительности.

Содержание слайда: Основные положения Как получить достоверные знания? - пассивно-созерцательная теория Дидро [2] (главное это ощущения); идеализм Гегеля (истина существует сама по себе - высший разум, космос); агностицизм Д. Юма и И. Канта (замена знания верой ); скептицизм (наши чувства нас обманывают и доверять им нельзя. Рассказывают шутливую историю о Пирроне. Когда он умер, на его могиле, якобы, его оппоненты поставили эпитафию: «Умер ли ты, Пиррон? -"Не знаю!"» Известная фраза Рене Декарта - Cogito, ergo sum (я мыслю, значит я существую)

Содержание слайда: Основные положения Настоящая революция в методологии научных исследований произошла лишь тогда, когда роль критерия истинности знания безоговорочно была отдана практике. Можно выделить три основных этапа познания: — сбор эмпирической информации об объекте исследования; — систематизация и анализ информации, разработка теории; — проверка теории на практике. Достоверными могут считаться лишь знания, которые подтверждаются практикой.

Содержание слайда: Эксперимент Эксперимент может проводиться с целью: — определить, какие величины и насколько влияют на исследуемый объект (процесс) — такой эксперимент называется отсеивающим; — установить зависимости между входными и выходными величинами, характеризующими исследуемый объект (процесс) — такие зависимости называются эмпирическими; — проверить (подтвердить или опровергнуть) результаты теоретических исследований — установить адекватность (соответствие) теоретических положений и моделей действительности; — выполнить оптимизацию исследуемого объекта (процесса), т.е. найти такие значения параметров, при которых объект функционирует наилучшим образом.

Содержание слайда: Эксперимент Теория эксперимента — наука, занимающаяся вопросами правильной организации экспериментальных исследований — включает три основных направления: 1. Моделирование и подобие — определяет, как должен проводиться эксперимент, какие величины, характеризующие исследуемый объект или процесс, должны измеряться при экспериментальных исследованиях, и как обрабатывать результаты исследований, чтобы полученные закономерности были справедливы как для данного объекта (процесса), так и для группы ему подобных. 2. Планирование эксперимента — совокупность методов и процедур, применение которых при организации и проведении эксперимента позволяет получить искомые зависимости с минимальными временными и материальными затратами. 3. Статистическая обработка экспериментальных данных — совокупность методик, позволяющих получить достоверные результаты на основе данных, содержащих погрешности.

Содержание слайда: Эксперимент Исследование машины или процесса начинается с разработки физической модели, а затем, на ее основании, строится математическая модель. Производится решение математической модели и анализ полученных результатов. Проверяется адекватность, т.е. соответствие этой модели действительной картине процесса. Физическая модель процесса или системы представляет собой ее абстрагированное символическое описание. Для примера рассмотрим на рис. 1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК (тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела).

Содержание слайда: Эксперимент Математическая модель процесса представляет собой аналитическое описание связей между отдельными элементами физической модели. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити  При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести Fτ = –mg sin φ (рис. 1).

Содержание слайда: Эксперимент Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l, то его угловое смещение будет равно φ = x / l. Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:  В случае малых колебаний, когда приближенно   можно заменить на  , математический маятник является гармоническим осциллятором, т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 15–20°; при этом величина  отличается от  не более чем на 2 %.  Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.

Содержание слайда: Эксперимент Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде  Таким образом, тангенциальное ускорение aτ маятника пропорционально его смещению x, взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты: 

Содержание слайда: Эксперимент Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника. Следовательно, T Для проверки адекватности модели, можно провести натурный эксперимент замера периода колебаний и сравнить известное значение постоянной ускорения свободного падения с полученными данными.

Содержание слайда: Практическое занятие №1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ОШИБКИ ФУНКЦИИ Для выполнения работы используются: 1. Измерительная линейка с пределом измерений до 1000 мм, с допустимой инструментальной погрешностью 0,2 мм. 2. Электронный секундомер с ценой деления 0,01 с. Инструментальная погрешность секундомера мала и ее можно не учитывать при измерениях.

Содержание слайда: Практическое занятие №1 маятник №1 Примем длину нити маятника около 500 мм. Отклонив маятник на угол 15-20 градусов от положения равновесия, отпустим его и, по прошествии нескольких колебаний, в момент прохождения маятником крайнего положения включим секундомер. Остановим его при прохождении того же крайнего положения. Указанные измерения провести n = 50 раз, данные занести в таблицу 1. Вычисления производить в электронной таблице Microsoft Office Excel.

Содержание слайда: Практическое занятие №1 маятник №1 Таблица 1 Результаты 50 измерений

Содержание слайда: Практическое занятие №1 маятник №2 Уменьшите длину маятника до 450 мм. Провести измерения один раз. Таблица 2 Результаты 1 измерения

Содержание слайда: Практическое занятие №1 маятник №3 Уменьшите длину маятника до 400 мм. Провести измерения пять раз. Таблица 3 Результаты 5 измерений

Содержание слайда: Практическое занятие №1 маятник №4 Уменьшите длину маятника до 350 мм. Провести измерения пятнадцать раз. Таблица 4 Результаты 15 измерений

Содержание слайда: Погрешности результатов измерений Результаты опытов обычно не являются точными. По различным причинам результаты любых двух параллельных опытов отличаются друг от друга, за исключением случайных совпадений. Под точностью эксперимента понимают близость полученных результатов к истинному значению искомой величины. Точность эксперимента тем выше, чем меньше его погрешность. Абсолютная погрешность – это разность  между результатом эксперимента x и истинным значением искомой величины х*:

Содержание слайда: Погрешности результатов измерений Относительная погрешность Следует заметить, что истинное значение величины, определяемой в результате эксперимента, всегда остается неизвестным, поэтому и погрешности эксперимента могут быть оценены лишь приближенно. При проведении эксперимента его погрешности принято условно разделять на систематические, случайные и грубые (промахи).

Содержание слайда: Погрешности результатов измерений Систематической называется погрешность, которая при повторных экспериментах остается постоянной или изменяется закономерно. Наличие систематических погрешностей может быть обнаружено путем анализа условий измерения одного и того же значения измеряемой величины разными методами или приборами. Систематические погрешности нельзя уменьшить увеличением числа параллельных опытов. Должны устраняться вызывающие их причины. Общим методом выявления причин систематических погрешностей является калибровка (поверка), которая представляет собой поверку прибора во всем диапазоне измеряемой величины с помощью известного эталона.

Содержание слайда: Погрешности результатов измерений Случайной называется погрешность, обусловленная действием ряда причин, меняющихся случайным образом от эксперимента к эксперименту. Значение этой погрешности не может быть определено в каждом эксперименте и на нее невозможно оказать влияние. К случайным относятся непостоянные погрешности, причины возникновения которых неизвестны. Таким образом, случайные погрешности представляют собой беспорядочные флуктуации показаний прибора относительно истинного значения измеряемой величины. Для исследования случайных погрешностей, возникающих при проведении эксперимента, широко используются математическая статистика и теория вероятностей.

Содержание слайда: Погрешности результатов измерений Рис. Пример данных, иллюстрирующий различие между случайной и систематической погрешностями: 1 – измерения характеризуются наличием случайной погрешности; 2 – измерения характеризуются наличием систематической погрешности.

Содержание слайда: Погрешности результатов измерений инструментальные (приборные или аппаратурные) погрешности средств измерений называются такие, которые принадлежат данному средству измерений, они могут быть определены при его испытаниях и занесены в его паспорт. Принято различать основную погрешность средств измерений, т.е. погрешность в условиях, принятых за нормальные, и дополнительную погрешность, вызванную отклонением влияющих параметров за пределы области нормальных значений (вибрации, влажности среды, инерцией и т.п.);

Содержание слайда: Погрешности результатов измерений методические погрешности – это погрешности, которые не могут быть приписаны данному прибору, не смогут быть указаны в его паспорте, т.е. связаны не с самим прибором, а с методикой проведения измерений. Очень часто причиной возникновения методической погрешности является то, что организуя измерения, измеряют или вынуждены измерять не ту величину, которую в принципе требуется измерять, а некоторую другую, близкую, но не равную ей. Отличительной особенностью методических погрешностей является то, что они могут быть определены лишь путем создания математической модели исследуемого объекта и не смогут быть найдены сколь угодно тщательным исследованием лишь самого измерительного прибора.

Содержание слайда: Погрешности результатов измерений субъективные погрешности, обусловленные особенностями исследователя. Следует иметь ввиду, что полностью исключить систематические погрешности невозможно, так как методы и средства, с помощью которых обнаруживаются и оцениваются систематические погрешности, сами имеют свои погрешности. Грубые погрешности (промахи) возникают вследствие непредвиденного изменения условий эксперимента, качества измерений, поломок прибора, неправильной записи в рабочих журналах, механических ударах прибора, неправильном отчете показаний прибора, отключении источника питания и т.п. Результат, содержащий грубую ошибку, резко отличается по величине от остальных измерений. Такие результаты должны быть исключены из рассмотрения до математической обработки результатов эксперимента.

Содержание слайда: Законы распределения вероятностей случайных величин Случайные величины бывают дискретными и непрерывными. Дискретные величины способны принимать лишь ограниченное число значений, известных заранее, например количество успешных опытов или каких-либо объектов, выражаемое целым числом, лежащем в заданном интервале. Непрерывные величины могут принимать любое значение в некотором интервале. В большинстве случаев результаты опытов являются непрерывными случайными величинами. Предположим, какая-либо случайная величина измеряется бесконечное число раз. Полученное в результате множество, которое содержит в себе любые значения величины, которые можно получить при реальном эксперименте, называется гипотетической генеральной совокупностью.

Содержание слайда: Законы распределения вероятностей случайных величин Исследователь при постановке опытов делает конечное, обычно небольшое, количество измерений. Их можно рассматривать как случайную выборку из гипотетической генеральной совокупности. Задача обработки сводится к определению по данным выборки показателей, оценивающих параметры генеральной совокупности. Для правильного решения этой задачи необходимо знать закон распределения вероятностей случайной величины — зависимость, связывающую значения случайной величины и вероятность появления этих значений.

Содержание слайда: Законы распределения вероятностей случайных величин Для дискретных случайных величин закон распределения вероятностей может быть задан: 1. В табличной форме: где xi – значения случайной величины X (заглавными литерами принято обозначать сами случайные величины, а прописными — их значения); Pi – вероятность, с которой случайная величина примет соответствующее значение.

Содержание слайда: Законы распределения вероятностей случайных величин 2. В графической форме — в виде полигона распределения вероятностей или гистограммы. Отличие заключается в том, что в полигоне по оси ординат откладывается вероятность Pi, а в гистограмме — плотность распределения вероятностей — отношение вероятности к величине интервала Δx между значениями: pi =Pi /Δx Тогда вероятность Pi = piΔx есть площадь соответствующего столбца. 3. В аналитической форме — в виде некоторой функции, отражающей зависимость вероятности от значения случайной величины.

Содержание слайда: Полигон и гистограмма

Содержание слайда: Практическое занятие №1 Построить полигон распределения времени колебаний для маятника № 1. Для этого в таблице Excel скопировать столбец с ti и сделать его сортировку по-возрастанию. Определить границы полигона по наименьшему и наибольшему значению периода колебаний, округляя их до 0,5 с. Сформировать новый столбец с шагом 0,5 с и в соседние столбцы записать середины интервалов и количество попаданий текущего периода колебаний в каждый интервал (пример табл.).

Содержание слайда: Практическое занятие №1 Таблица Построение полигона распределения времени колебаний маятника В случае, когда ti совпадает с границами интервалов, распределить их поровну между ними.

Содержание слайда: Практическое занятие №1 Построить точечную ломаную диаграмму - полигон

Содержание слайда: Список литературы Бойко Н. Г. Основы научных исследований. Курс лекций //Н. Г. Бойко, О. В. Федоров - Донецк : ДонНТУ, 2007. – 76 с. Философия о познаваемости мира, человека и его бытия. Код доступа: http://poisk-istini.com/literatura/osnovy-filosofii-strjukovskij/filosofiya-o-poznavaemosti-mira-cheloveka-i-ego-bitiya Открытый колледж. Физика. Код доступа: https://physics.ru/