Презентация Матрицы. Определители и их свойства (лекция 1) онлайн

Содержание слайда: лекция № 1 для студентов 1 курса обучающихся по специальности 030401 – Клиническая психология (очная форма обучения), к.п.н., доцент Шилина Наталья Георгиевна Красноярск, 2015 Тема: Введение. Матрицы. Определители и их свойства.

Содержание слайда: План лекции: Введение. Понятие матрицы. Операции с матрицами. Определители, их свойства. Обратная матрица. Характеристическое уравнение матриц.

Содержание слайда: Введение Широкое использование математических методов в современном мире требует от будущего психолога умения применять их при работе с информацией и количественной обработке результатов исследований. Преподавание математики имеет большое значение в формировании научного мировоззрения и развитии научного мышления студентов.

Содержание слайда: Введение В современной науке возникли новые направления, такие, например, как математическая лингвистика, математическая биология, математическая экономика и т.п. Главная причина такого явления заключается в том, что математика предлагает общие, но вместе с тем очень четкие логические модели для изучения окружающей действительности на основе своего особого языка – языка чисел и символов.

Содержание слайда: Введение Объектами исследования математики служат логические модели, построенные для описания процессов, происходящих в обществе, природе, технике, живых организмах. Математические модели дают возможность прогнозировать явления с количественной точки зрения, находить не обнаруженные ранее закономерности, определять условия, при которых возможно решение теоретических и практических задач.

Содержание слайда: Введение Применение математических методов расширяет возможности каждого специалиста. Существенную роль играет раздел математической статистики, которая учит правильно обрабатывать информацию, оценить достоверность полученных данных, сделать прогноз на основании имеющихся наблюдений.

Содержание слайда: Введение Любой психолог, как и математик, должен уметь рассуждать логически, применять на практике дедуктивный и индуктивный методы. Поэтому математика так важна для специалистов-медиков. Занимаясь математикой, будущий специалист формирует свое профессиональное мышление.

Содержание слайда: Матрица это система элементов aij расположенных в виде прямоугольной таблицы. Элементы могут быть числами, функциями или иными величинами, над которыми можно производить алгебраические операции Матрица это система элементов aij расположенных в виде прямоугольной таблицы. Элементы могут быть числами, функциями или иными величинами, над которыми можно производить алгебраические операции

Содержание слайда: Матрица Если матрица имеет m строк и n столбцов, то говорят о (m × n)-матрице.

Содержание слайда: Матрица Первый индекс элемента матрицы указывает номер строки, а второй – номер столбца

Содержание слайда: Главной диагональю матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний. При m=n матрица называется квадратной, а число n — её порядком. Квадратная матрица А называется диагональной, если все ее элементы, кроме находящихся на главной диагонали, равны нулю. Главной диагональю матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний. При m=n матрица называется квадратной, а число n — её порядком. Квадратная матрица А называется диагональной, если все ее элементы, кроме находящихся на главной диагонали, равны нулю.

Содержание слайда: Единичная матрица – частный случай диагональной матрицы, в которой все элементы, находящиеся на главной диагонали, равны 1.

Содержание слайда: Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей или нуль-матрицей. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей или нуль-матрицей.

Содержание слайда: Матрица, состоящая из одной строки, называется строкой (строковой), из одного столбца — столбцом. Матрица, состоящая из одной строки, называется строкой (строковой), из одного столбца — столбцом. Если все ai = a, получают скалярную матрицу.

Содержание слайда: Транспонирование матрицы Переставив в матрице строки со столбцами,получают транспонированную матрицу A’, или AT.

Содержание слайда: Транспонирование матрицы

Содержание слайда: Наряду с конечными матрицами могут быть матрицы с бесконечным числом строк или столбцов Наряду с конечными матрицами могут быть матрицы с бесконечным числом строк или столбцов

Содержание слайда: Действия над матрицами Умножение матрицы на число. Произведением прямоугольной (m × n)-матрицы А на число называют матрицу, элементы которой получены из элементов aij умножением на число k:

Содержание слайда: Например:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Умножение матриц определяется только для прямоугольных матриц таких, что число столбцов первого множителя равно числу строк второго. Произведением (m × р) - матрицы А на (р × n) - матрицу В будет (m × n)-матрица С с элементами Умножение матриц определяется только для прямоугольных матриц таких, что число столбцов первого множителя равно числу строк второго. Произведением (m × р) - матрицы А на (р × n) - матрицу В будет (m × n)-матрица С с элементами cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + aipbpj, i =1, ..., m,  j = 1, ..., n.

Содержание слайда: Найти произведение матриц:

Содержание слайда: Введённые действия над матрицами обладают свойствами, близкими к свойствам действий над числами. Исключением является отсутствие коммутативного закона при умножении матриц: равенство AB = BA может не выполняться. Введённые действия над матрицами обладают свойствами, близкими к свойствам действий над числами. Исключением является отсутствие коммутативного закона при умножении матриц: равенство AB = BA может не выполняться. Матрицы А и В называются коммутирующими (перестановочными), если AB = BA. Кроме того, произведение двух матриц может равняться нулевой матрице, хотя каждый сомножитель отличен от нулевой.

Содержание слайда: Найти произведение матриц:

Содержание слайда: Свойства действия умножения матриц 1.(AB)C = A(BC) - ассоциативность умножения 2.(kA)B = A(kB) = k(AB) 3. 4.

Содержание слайда: Определители Пусть дана квадратная матрица второго порядка

Содержание слайда: Определитель обозначается символом detA, Δ; Определитель обозначается символом detA, Δ; числа - a11,a12,a21a22 называются элементами определителя; a11,a22 – образуют главную диагональ, а a12,a21 – побочную. Следовательно чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов второй диагонали.

Содержание слайда: Свойства определителей Определитель матрицы не меняется, если строки и столбцы меняются местами (транспонирование)

Содержание слайда: Свойства определителей Сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) на их алгебраические дополнения равна определителю матрицы. Определитель равен 0, если все элементы какой либо его строки (столбца) равны 0

Содержание слайда: Свойства определителей Если в определители поменять местами две его любые строки (два любых столбца), то определитель изменит знак на противоположный. Определитель, содержащий две одинаковых строки (два одинаковых столбца), равен нулю.

Содержание слайда: Свойства определителей Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя. Определитель не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число.

Содержание слайда: Минор Минор Мij элемента аij - определитель полученный в результате вычеркивания i–й строки и j- го столбца матрицы Матрица миноров имеет такой размер, как и матрица А Например:

Содержание слайда: Пример Дана матрица Матрица миноров имеет вид Находим минор для первого элемента. Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров. По аналогии находим другие миноры

Содержание слайда: Алгебраическое дополнение Минор Мij умноженный на называется алгебраическим дополнением Аij элемента аij

Содержание слайда: Для рассмотренного примера

Содержание слайда: Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом: Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом: Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Содержание слайда: Обратная матрица Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц. Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A-1 и удовлетворяющая условию

Содержание слайда: Найти определитель матрицы ІAІ. Найти определитель матрицы ІAІ. Найти алгебраические дополнения Aij всех элементов матрицы A и составить матрицу A′ , элементами которой являются числа Aij. Найти матрицу, транспонированную полученной матрице AT, и умножить её на

Содержание слайда: Пример: найти обратную матрицу

Содержание слайда: Тест Порядок прямоугольной матрицы, имеющей m строк и n столбцов равен 1. (m x n) 2. (m+n) 3. (m) 4. (n)

Содержание слайда: РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с.81-89. Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, 2007. Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, 2009.

Содержание слайда: БЛАГОДАРЮ ЗА ВНИМАНИЕ