Презентация Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 35 слайдов. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:35 слайдов
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:360.52 kB
- Просмотров:96
- Скачиваний:3
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: Лекция
Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона.
№2 слайд
Содержание слайда: Понятие конечных разностей
Пусть задана функция y=f(x) на отрезке [x0,xn], который разбит на n одинаковых отрезков (случай равноотстоящих значений аргумента). x=h=const. Для каждого узла x0, x1=x0+h, ..., xn=x0+nh определены значения функции в виде:
f(x0)=y0, f(x1)=y1, ..., f(xn)=yn.
№3 слайд
Содержание слайда: Понятие конечных разностей
Конечные разности первого порядка
y0 = y1 – y0
y1 = y2 – y1
. . . . .
yn-1 = yn – yn-1.
Конечные разности второго порядка
2y0 = y1 – y0
2y1 = y2 – y1
. . . . . .
2yn-2 = yn-1 – yn-2
Аналогично определяются конечные разности высших порядков:
ky0 = k-1y1 – k-1y0
ky1 = k-1y2 – k-1y1
. . . . . .
kyi = k-1yi+1 – k-1yi , i = 0,1,...,n-k.
№4 слайд
Содержание слайда: Понятие конечных разностей
Конечные разности функций удобно располагать в таблицах, которые могут быть:
Диагональными;
Горизонтальными.
№5 слайд
Содержание слайда: Диагональная таблица
№6 слайд
Содержание слайда: Горизонтальная таблица
№7 слайд
Содержание слайда: Первая интерполяционная формула Ньютона
Пусть для функции y = f(x) заданы значения yi = f(xi) для равностоящих значений независимых переменных: xn = x0 +nh, где h - шаг интерполяции.
Необходимо найти полином Pn(x) степени не выше n, принимающий в точках (узлах) xi значения:
Pn (xi) = yi , i=0,...,n.
Запишем интерполирующий полином в виде:
№8 слайд
Содержание слайда: Задача построения многочлена сводится к определению коэффициентов аi из условий:
Pn(x0)=y0
Pn(x1)=y1
. . . .
Pn(xn)=yn
№9 слайд
Содержание слайда: Определение коэффициентов
Полагаем в интерполирующий полиноме x = x0 , тогда, т.к. второе, третье и другие слагаемые равны 0,
Pn(x0) = y0 = a0 a0=y0.
Найдем коэффициент а1.
При x = x1 получим:
№10 слайд
Содержание слайда: Определение коэффициентов
Для определения а2 составим конечную разность второго порядка.
При x = x2 получим:
№11 слайд
Содержание слайда: Построение многочлена
Аналогично можно найти другие коэффициенты. Общая формула имеет вид.
Подставляя эти выражения в формулу полинома, получаем:
где xi ,yi – узлы интерполяции; x – текущая переменная; h – разность между двумя узлами интерполяции
h – величина постоянная, т.е. узлы интерполяции равноотстоят друг от друга.
№12 слайд
Содержание слайда: Первая интерполяционная формула Ньютона
Этот многочлен называют интерполяционным полиномом Ньютона для интерполяции в начале таблицы (интерполирование «вперед») или первым полиномом Ньютона.
№13 слайд
Содержание слайда: Первая интерполяционная формула Ньютона
Для практического использования этот полином записывают в преобразованном виде, вводя обозначение t=(x – x0)/h, тогда
Эта формула применима для вычисления значений функции для значений аргументов, близких к началу интервала интерполирования.
№14 слайд
Содержание слайда: Пример
Дана таблица значений теплоёмкости вещества в зависимости от температуры Cр =f(T). Определить значение теплоёмкости в точке Т=450 К, n=3; h=100
Таблица 1
№15 слайд
Содержание слайда: Пример
Составим таблицу конечных разностей функции.
Таблица 2
Воспользуемся первой интерполяционной формулой, запишем интерполяционный многочлен при x=450 К.
№16 слайд
Содержание слайда: Пример
Таким образом, теплоемкость при температуре 450 К будет:
Сp(450)=71,31Дж/(моль К) .
Значение теплоемкости при Т=450 К получили такое же, что и рассчитанное по формуле Лагранжа.
№17 слайд
Содержание слайда: Вторая интерполяционная формула Ньютона
№18 слайд
Содержание слайда: Область применения
Второй интерполяционный полином Ньютона применяется для нахождения значений функций в точках, расположенных в конце интервала интерполирования.
Запишем интерполяционный многочлен в виде:
№19 слайд
Содержание слайда: Определение коэффициентов
Коэффициенты а0,а1,..., аn определяем из условия:
Pn (xi ) = yi i=0,...,n.
1.Полагаем в интерполяционном многочлене x = xn,, тогда
№20 слайд
Содержание слайда: Определение коэффициентов
2.Полагаем x=xn-1, тогда:
Pn(xn-1)=yn-1=yn+a1(xn-1 – xn) , h=xn – xn-1 ,
Следовательно:
3.Полагаем x=xn-2 , тогда
№21 слайд
Содержание слайда: Определение коэффициентов
Аналогично можно найти другие коэффициенты многочлена:
№22 слайд
Содержание слайда: Вторая интерполяционная формула Ньютона
Подставляя эти выражения в формулу (1), получим вторую интерполяционную формулу Ньютона или многочлен Ньютона для интерполирования «назад».
№23 слайд
Содержание слайда: Вторая интерполяционная формула Ньютона
Введем обозначения:
№24 слайд
Содержание слайда: Вторая интерполяционная формула Ньютона
Произведя замену , получим
Это вторая формула Ньютона для интерполирования «назад».
№25 слайд
Содержание слайда: Пример
Вычислить теплоемкость (табл.1) для температуры Т=550 К.
Воспользуемся второй формулой Ньютона и соответствующими конечными разностями (табл. 2)
№26 слайд
Содержание слайда: Пример
Следовательно, значение теплоемкости при температуре 550 К равно:
Ср(550)=97,01 Дж/(моль К).
№27 слайд
Содержание слайда: Аппроксимация функций
№28 слайд
Содержание слайда: Особенностью интерполяции являлось то, что интерполирующая функция строго проходит через узловые точки таблицы, т. е. рассчитанные значения совпадали с табличными: yi=f(xi).
Эта особенность обуславливалась тем, что количество коэффициентов в интерполирующей функции (m) было равно количеству табличных значений (n)
№29 слайд
Содержание слайда: Особенности аппроксимации
если для описания табличных данных будет выбрана функция с меньшим количеством коэффициентов (m<n), что часто встречается на практике, то уже нельзя подобрать коэффициенты функции так, чтобы функция проходила через каждую узловую точку.
№30 слайд
Содержание слайда: Особенности аппроксимации
В лучшем случае, она будет проходить каким – либо образом между ними и очень близко к ним (рис. 1).
Такой способ описания табличных данных называется аппроксимацией, а функция – аппроксимирующей.
№31 слайд
Содержание слайда: Условия применения аппроксимации
Когда количество табличных значений очень велико. В этом случае интерполирующая функция будет очень громоздкой. Удобнее выбрать более простую в применении функцию с небольшим количеством коэффициентов, хотя и менее точную.
№32 слайд
Содержание слайда: Условия применения аппроксимации
Когда вид функции заранее определен. Такая ситуация возникает, если требуется описать экспериментальные точки какой- либо теоретической зависимостью.
№33 слайд
Содержание слайда: Условия применения аппроксимации
Аппроксимирующая функция может сглаживать погрешности эксперимента, в отличие от интерполирующей функции.
Так, на рис.2 точками показаны табличные данные – результат некоторого эксперимента. Разброс данных объясняется погрешностью эксперимента.
№34 слайд
Содержание слайда: Условия применения аппроксимации
интерполирующая функция, проходя через каждую точку, будет повторять ошибки эксперимента, иметь множество экстремумов: минимумов и максимумов – и в целом неверно отображать характер зависимости Y от X. Этого недостатка лишена аппроксимирующая функция.
№35 слайд
Содержание слайда: Условия применения аппроксимации
Интерполирующей функцией невозможно описать табличные данные, в которых есть несколько точек с одинаковым значением аргумента.
Такая ситуация возможна, если один и тот же эксперимент проводится несколько раз при одних и тех же исходных данных. Однако это не является ограничением для использования аппроксимации, где не ставится условие прохождения графика функции через каждую точку.
Скачать все slide презентации Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона одним архивом:
