Презентация Методы аппроксимации функций онлайн

Содержание слайда: Методы аппроксимации функций

Содержание слайда: 1.Метод наименьших квадратов 1.1Аппроксимация линейной зависимостью Метод наименьших квадратов (МНК) минимизирует среднеквадратичные невязки в узлах сетки. Рассмотрим МНК на примере построения линейной аппроксимационной зависимости для табличной функции. Результирующая функция должна удовлетворять зависимости: y(x)=a⋅x+b (1) Подставляя табличную функцию в зависимость (1) имеем систему (n + 1) уравнений с двумя неизвестными: a⋅x0+b=y0 a⋅x1+b=y1 a⋅x2+b=y2 ⋯⋯⋯⋯⋯ a⋅xn+b=yn (2)

Содержание слайда: Введем невязку в узлах сетки как квадрат разностей левой и правой частей системы (2): ri=(a⋅xi+b−yi)2 (3) Тогда задаче нахождения коэффициентов a и b ставится в соответствие задача минимизации суммы невязок (3): (4) Введем невязку в узлах сетки как квадрат разностей левой и правой частей системы (2): ri=(a⋅xi+b−yi)2 (3) Тогда задаче нахождения коэффициентов a и b ставится в соответствие задача минимизации суммы невязок (3): (4) Дифференцируя функцию (4) по независимым переменным a и b, получаем систему из двух уравнений:(5) Приводя к стандартному для СЛАУ виду, имеем: (6) Или в матричной форме: Y=B⋅X (7) Где: (8) Решением системы (7) будет вектор: B=(XT⋅X)-1⋅XT⋅Y

Содержание слайда: 1.2 Аппроксимация нелинейной зависимостью. Если принять более общий случай, когда конкретный вид аппроксимирующей функции не задан, т.е.: y(x)=f(x) (9) Условие минимизации среднеквадратичной невязки запишется в виде: (10) Рассмотрим случай когда искомая функция представляет линейную комбинацию базисных функций: f(x)=c0⋅(x)+c1⋅(x)+...+cm⋅(x) (11) Набор базисных функций {(x)}im =0 задан изначально, и задача сводится к определению коэффициентов {сi}im =0. Аналогично предыдущему пункту, условие минимума функции нескольких переменных сводится к условию гладкого экстремума, что для задачи (10-11)приводит к системе уравнений: (12)

Содержание слайда: Переходя к скалярным произведениям имеем: Переходя к скалярным произведениям имеем: (13) Форма записи (13) удобна тем, что ее можно использовать как для аппроксимации как сеточной, так и непрерывной функции. Для сеточной функции скалярные произведения вычисляются по формуле: (14) Для непрерывной функции, аппроксимируемой на интервале x∈[a,b]: (15) Из свойств скалярных произведений вытекает одно важное следствие – если система базисных функций {(x)}im =0 ортогональна, т.е. удовлетворяет условию: ()=0,k≠j (16)

Содержание слайда: Все коэффициенты зависимости (11) можно найти в явном виде: Все коэффициенты зависимости (11) можно найти в явном виде: (17) Такие коэффициенты называются коэффициентами Фурье, а комбинация базисных функций (11) – обобщенным многочленом Фурье.

Содержание слайда: 2.Линейная аппроксимация Рассмотрим в качестве эмпирической формулы линейную функцию: (x, a, b)=xa + b Сумма квадратов отклонений запишется следующим образом: Для нахождения а и b необходимо найти минимум функции S(a,b). Необходимое условие существования минимума для функции S: Упростим полученную систему:

Содержание слайда: Введем обозначения: Введем обозначения: Получим систему уравнений для нахождения параметров а и b: (18) из которой находим: ,

Содержание слайда: Пример. Пусть, изучая неизвестную функциональную зависимость между x и y, в результате серии экспериментов, была получена таблица значений (табл. 1). Необходимо найти приближенную функциональную зависимость и определить значения параметров аппроксимирующей функции. Пример. Пусть, изучая неизвестную функциональную зависимость между x и y, в результате серии экспериментов, была получена таблица значений (табл. 1). Необходимо найти приближенную функциональную зависимость и определить значения параметров аппроксимирующей функции. Данные эксперимента Таблица 1. Для определения вида зависимости нанесем экспериментальные точки на график (рис. 1).

Содержание слайда: Далее, используя метод наименьших квадратов, найдем значения коэффициентов аппроксимирующей функции: a и b. Для этого вычислим: Далее, используя метод наименьших квадратов, найдем значения коэффициентов аппроксимирующей функции: a и b. Для этого вычислим: Система уравнений (18) для нахождения параметров а и b будет иметь вид: Решая систему, получим значения коэффициентов: а = 1,4543 и b=5,2911. Проверим правильность выбора линейной модели. Для этого вычислим значения аппроксимирующей функции f = 1,4543х + 5,2911 и внесем полученные значения в табл. 2.

Содержание слайда: Результаты вычислений Результаты вычислений Таблица2 Из таблицы видно, что значения аппроксимирующей функции приблизительно совпадают с Y для всех точек X. Следовательно, дела- ем вывод: исследуемая функциональная зависимость может быть приближенно описана линейной моделью f = 1,4543х + 5,2911. Определим меру отклонения S: Вычисленное значение S (небольшое ), что еще раз подтверждает правильность выбора модели

Содержание слайда: 3. КВАДРАТИЧНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ Рассмотрим в качестве эмпирической формулы квадратичную функцию: (x, a0, a1,a2)=a2x2+a1x+a0 Сумма квадратов отклонений запишется следующим образом: S=S( a0, a1,a2)= Приравниваем к нулю частные производные S по неизвестным параметрам:

Содержание слайда: Введем обозначения: Введем обозначения: Получим систему уравнений для нахождения параметров a0, a1, a2: Используя правило Крамера, находим: , где