Презентация Операции с множествами. Основные понятия графов. Комбинаторика онлайн

Содержание слайда: Операции с множествами. Основные понятия графов. Комбинаторика.

Содержание слайда: Основные вопросы Элементы и множества. Операции над множествами и их свойства. Графы. Элементы графов. Виды графов и операции над ними. Обоснование основных понятий комбинаторики: факториал, перестановки, размещения, сочетания.

Содержание слайда: Элементы и множества. Операции над множествами и их свойства.

Содержание слайда:

Содержание слайда: Понятия теории множеств Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918).Следуя Кантору, понятие "множество" можно определить так: Множество - совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.

Содержание слайда: С понятием множества мы соприкасаемся прежде всего тогда, когда по какой-либо причине объединяем по некоторому признаку в одну группу какие-то объекты и далее рассматриваем эту группу или совокупность как единое целое. С понятием множества мы соприкасаемся прежде всего тогда, когда по какой-либо причине объединяем по некоторому признаку в одну группу какие-то объекты и далее рассматриваем эту группу или совокупность как единое целое. Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами: А, В, С, D . Объекты, которые образуют множество, называют элементами множества и для обозначения элементов используют, как правило, малые буквы латинского алфавита.

Содержание слайда: Примеры множеств: множество учащихся в данной аудитории; множество людей, живущих на нашей планете в данный момент времени; множество точек данной геометрической фигуры; множество чётных чисел; множество корней уравнения х2-5х+6=0; множество действительных корней уравнения х2+9=0;

Содержание слайда: Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x  Х ( — принадлежит). Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x  Х ( — принадлежит). В противном случае, если a не принадлежит множеству А, будем использовать обозначение : Если множество А является частью множества В, то записывают А В ( — содержится).

Содержание слайда:

Содержание слайда: Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.

Содержание слайда:

Содержание слайда: Способы задания множеств Множество может быть задано перечислением всех его элементов или списком. В этом случае элементы множества записывают внутри фигурных скобок, например: A={студент А., рабочий Л., школьник М.}. 2. Множество может быть задано описанием свойств его элементов. Чаще всего при этом используют запись, которую читают следующим образом: «A есть множество элементов b таких, что для них выполняется свойство B». Например, а – четное натуральное число. 3. Множество может быть задано указанием характеристического свойства его элементов , то есть такого свойства, которым обладают все элементы данного множества, и только они:

Содержание слайда: Примеры

Содержание слайда: Примеры

Содержание слайда: Виды множеств:

Содержание слайда: Если элементы множества можно сосчитать, то множество является КОНЕЧНЫМ Пример Множество гласных букв в слове “математика” состоит из трёх элементов – это буквы “а”, “е”, “и”, причем, гласная считается только один раз, т.е. элементы множества при перечислении не повторяются.

Содержание слайда: Если элементы множества сосчитать невозможно, то множество БЕСКОНЕЧНОЕ Пример Множество натуральных чисел бесконечно. Пример Множество точек отрезка [0;1] бесконечно. Пример Множество атомов во Вселенной

Содержание слайда: Множество, не содержащее ни одного элемента, называется ПУСТЫМ. Символически оно обозначается знаком  Пример Множество действительных корней уравнения x2 +1=0. Пример Множество людей, проживающих на Солнце.

Содержание слайда: Мощность множества Число элементов конечного множества называют мощностью этого множества и обозначают символом m (A) или |A|. Количество элементов в конечном множестве естественно характеризовать их числом. В этом смысле множество чисел {-2, 0, 3,8} и множество букв {с, х, ф, а} эквивалентны, так как они содержат одинаковое число элементов.

Содержание слайда: Пример . Определите мощность какого из множеств A = {1, 3, 5, 7, 9} или B = {2, 4, 6, 8} больше. Решение. Понятие мощности конечных множеств позволяет сравнивать их по количеству элементов. Так, если A = {1, 3, 5, 7, 9}, а B = {2, 4, 6, 8}, то m (A) = 5, а m (B) = 4 и потому m (A) > m (B).

Содержание слайда: Отношения между множествами Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или диаграммами Эйлера – Венна). Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур)

Содержание слайда: При графическом изображении множеств удобно использовать диаграммы Венна, на которых универсальное множество обычно представляют в виде прямоугольника, а остальные множества в виде овалов, заключенных внутри этого прямоугольника При графическом изображении множеств удобно использовать диаграммы Венна, на которых универсальное множество обычно представляют в виде прямоугольника, а остальные множества в виде овалов, заключенных внутри этого прямоугольника

Содержание слайда: Множество A называется подмножеством множества B, если любой элемент множества A принадлежит множеству B. Множество A называется подмножеством множества B, если любой элемент множества A принадлежит множеству B. Эта зависимость между множествами называется  включением. При этом пишут AB, где  есть знак вложения подмножества.

Содержание слайда: Свойства множеств Любое множество является подмножеством самого себя (рефлексивность): A B. Для любых множеств А,В,С справедливо свойство транзитивности: если и , то . Для всякого множества А пустое множество  является его подмножеством:  А

Содержание слайда: Два множества А и В называются  равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества  А  является элементом множества  В  и наоборот, каждый элемент множества  В  является элементом множества  А . Два множества А и В называются  равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества  А  является элементом множества  В  и наоборот, каждый элемент множества  В  является элементом множества  А .

Содержание слайда: Количество подмножеств Если мощность множества n, то у этого множества 2n подмножеств. А={1,2} Подмножества А: {}, {1}, {2}, {1,2}.

Содержание слайда: В={1,3,5} В={1,3,5}

Содержание слайда: Операции над множествами Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Содержание слайда: Например, если А={a,b,c}, B={b,c,f,e}, Например, если А={a,b,c}, B={b,c,f,e},

Содержание слайда: Операции над множествами

Содержание слайда:

Содержание слайда: объединение Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6},

Содержание слайда: Операции над множествами

Содержание слайда: Операции над множествами Разностью множеств А и В называется множество А- В, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

Содержание слайда: разность Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5},

Содержание слайда: Операции над множествами

Содержание слайда: Операции над множествами

Содержание слайда: Операции над множествами Если А - множество параллелограммов, В- множество трапеций, С - множество ромбов, D - множество прямоугольников, E - множество квадратов, то универсальным множеством U служит множество всех четырехугольников. Если А - множество треугольников, В- множество четырехугольников и так далее, то в качестве универсального множества U можно выбрать множество всех многоугольников.

Содержание слайда: Задача. Даны множества Найти: объединение, пересечение, разность.

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Задача. Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский — 27 учащихся, а два языка — 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?

Содержание слайда: Задача. Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей Задача. Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

Содержание слайда: Графы. Элементы графов. Виды графов и операции над ними

Содержание слайда: Теория графов представляет собой раздел математики, имеющий широкие практические приложения. Теория графов представляет собой раздел математики, имеющий широкие практические приложения. Теория графов – область дискретной математики, особенностью которой является геометрический подход к изучению объектов.

Содержание слайда: История возникновения графов Термин "граф" впервые появился в книге венгерского математика Д. Кенига в 1936 г., хотя начальные важнейшие теоремы о графах восходят к Л. Эйлеру.

Содержание слайда: В основе теории лежит понятие графа.

Содержание слайда: Состав графа Граф состоит из вершин, связанных линиями. Вершины графа обозначают латинскими буквами A, B, C, D или цифрами. Направленная линия (со стрелкой) называется дугой. Линия ненаправленная (без стрелки) называется ребром. Линия, выходящая из некоторой вершины и входящая в неё же, называется петлей.

Содержание слайда: Ориентированный граф - граф, вершины которого соединены дугами. С помощью таких графов могут быть представлены схемы односторонних отношений.

Содержание слайда: Взвешенный граф Это граф, рёбрам или дугам которого поставлены в соответствие числовые величины (они могут обозначать, например, расстояние между городами или стоимость перевозки). Вес графа равен сумме весов его рёбер.

Содержание слайда: Две вершины графа называются смежными, если существует инцидентное им ребро: на рисунке смежными являются вершины А и В, А и С. Две вершины графа называются смежными, если существует инцидентное им ребро: на рисунке смежными являются вершины А и В, А и С.

Содержание слайда: Если граф G имеет ребро , у которого начало и конец совпадают, то это ребро называется петлёй. На рисунке ребро q(С, С) – петля. Если граф G имеет ребро , у которого начало и конец совпадают, то это ребро называется петлёй. На рисунке ребро q(С, С) – петля.

Содержание слайда: Два ребра называются смежными, если они имеют общую вершину. Два ребра называются смежными, если они имеют общую вершину. На рисунке смежными являются, например, рёбра х1 и х2 с общей вершиной С.

Содержание слайда: Рёбра, которые начинаются в одной и той же вершине, заканчиваются также в одной и той же вершине, называются кратными, или параллельными. Рёбра, которые начинаются в одной и той же вершине, заканчиваются также в одной и той же вершине, называются кратными, или параллельными. Количество одинаковых пар вида называется кратностью ребра Число рёбер, инцидентных вершине А, называется степенью этой вершины и обозначается (от англ. degree – степень).

Содержание слайда: На рисунке кратными являются, например, рёбра х1(А, В), х2(А, В). Вершинам А и С инцидентны рёбра х3, х4, х5. Следовательно, ребро АС имеет кратность, равную 3, а ребро АВ – кратность, равную 2. На рисунке кратными являются, например, рёбра х1(А, В), х2(А, В). Вершинам А и С инцидентны рёбра х3, х4, х5. Следовательно, ребро АС имеет кратность, равную 3, а ребро АВ – кратность, равную 2.

Содержание слайда: На рисунке вершина А имеет степень, равную 1, вершина С – 4, вершина D – 2. Записывается это в виде: deg(A)=1, deg(C)=4, deg(D)=2. На рисунке вершина А имеет степень, равную 1, вершина С – 4, вершина D – 2. Записывается это в виде: deg(A)=1, deg(C)=4, deg(D)=2.

Содержание слайда: Вершина графа, имеющая степень, равную нулю, называется изолированной. Вершина графа, имеющая степень, равную нулю, называется изолированной. Граф, состоящий из изолированных вершин, называется нуль-графом. Вершина графа, имеющая степень, равную 1, называется висячей. Граф, не имеющий ребер (дуг), называется пустым. На рисунке вершина Е – изолированная: deg(E)=0.

Содержание слайда: На рисунке вершины А, В, Е, G, H – висячие.

Содержание слайда: Теорема 1. В графе сумма степеней всех его вершин – число чётное, равное удвоенному числу рёбер графа: где - число вершин; - число рёбер графа.

Содержание слайда: Вершина называется чётной (нечётной), если её степень – чётное (нечётное) число. Вершина называется чётной (нечётной), если её степень – чётное (нечётное) число. На рисунке deg(D)=2, deg(F)=3, значит у графа вершина D является чётной, а F – нечётной.

Содержание слайда: Теорема 2. Число нечётных вершин любого графа – чётно. Теорема 2. Число нечётных вершин любого графа – чётно. Следствие. Невозможно начертить граф с нечётным числом нечётных вершин. Граф G называется полным, если любые две его различные вершины соединены одним и только одним ребром.

Содержание слайда: Дополнением графа называется граф с теми же вершинами V, что и граф G, и имеющий те и только те рёбра , которые необходимо добавить к графу G, чтобы он стал полным. Дополнением графа называется граф с теми же вершинами V, что и граф G, и имеющий те и только те рёбра , которые необходимо добавить к графу G, чтобы он стал полным. На рисунке дополнением графа G1 до графа G является граф

Содержание слайда: Пути и маршруты в графах Путем в ориентированном графе называется последовательность дуг, в которой конечная вершина любой дуги, отличной от последней, является начальной вершиной следующей дуги. Вершина, от которой проложен маршрут, называется началом пути, вершина в конце маршрута — конец пути. Путь, в котором каждая вершина используется не более одного раза, называется простым путем. Длиной пути в графе называется количество дуг (ребер), составляющих этот путь.

Содержание слайда: В качестве примера рассмотрим орграф, представленный на рисунке. Одним из существующих путей, соединяющих вершины 1 и 3, является последовательность вершин 1, 2, 1, 4, 3. Единственным простым путем для той же пары вершин является последовательность 1, 4, 3. Пути из вершины 1 в вершину 5 для того же графа не существует. В качестве примера рассмотрим орграф, представленный на рисунке. Одним из существующих путей, соединяющих вершины 1 и 3, является последовательность вершин 1, 2, 1, 4, 3. Единственным простым путем для той же пары вершин является последовательность 1, 4, 3. Пути из вершины 1 в вершину 5 для того же графа не существует.

Содержание слайда: Неориентированный граф называется связным, если существует хотя бы один путь между каждой парой вершин. Неориентированный граф называется связным, если существует хотя бы один путь между каждой парой вершин. Орграф называется связным, если связен неориентированный граф, который получается из исходного ориентированного заменой всех дуг на ребра.

Содержание слайда: Путь называется замкнутым, если начальная и конечная вершины совпадают. Путь называется замкнутым, если начальная и конечная вершины совпадают. Замкнутый путь называется циклом, если все его вершины (кроме начальной и конечной) различны. Рассмотрим граф. Для него путь 2, 1, 6, 5, 4, 1, 2 является замкнутым; а путь 1, 6, 5, 4, 1 является циклом.

Содержание слайда: Последовательность попарно смежных вершин неориентированного графа, т.е. последовательность рёбер неориентированного графа, в которой вторая вершина предыдущего ребра совпадает с первой вершиной следующего, называется маршрутом. Последовательность попарно смежных вершин неориентированного графа, т.е. последовательность рёбер неориентированного графа, в которой вторая вершина предыдущего ребра совпадает с первой вершиной следующего, называется маршрутом. Число рёбер маршрута называется длиной маршрута. Если начальная вершина маршрута совпадает с конечной, то такой маршрут называется замкнутым или циклом.

Содержание слайда: На рисунке HCDFD – маршрут длиной 4. Обозначение: |HCDFD|=4. Маршрут принято задавать как последовательность рёбер, поскольку это удобно при наличии кратных рёбер. На рисунке HCDFD – маршрут длиной 4. Обозначение: |HCDFD|=4. Маршрут принято задавать как последовательность рёбер, поскольку это удобно при наличии кратных рёбер.

Содержание слайда: В графе на рисунке (t, s, p, r), (u, s, t, r) – циклы длиной 4, (r, t, q, s, u) – цикл длиной 5, (t, s, u, r, t, s, p, r) – 8-цикл, (p, u) – 2-цикл, петля (q) – 1-цикл. В графе на рисунке (t, s, p, r), (u, s, t, r) – циклы длиной 4, (r, t, q, s, u) – цикл длиной 5, (t, s, u, r, t, s, p, r) – 8-цикл, (p, u) – 2-цикл, петля (q) – 1-цикл.

Содержание слайда: Операции над графами Объединением графов и называется граф , множество вершин которого , а множество рёбер . Пересечением графов и называется граф , для которого - множество рёбер, а - множество вершин. Кольцевой суммой двух графов называется граф ,порождённый множеством вершин и множеством рёбер , т.е. множеством рёбер, содержащихся либо в , либо в , но не в .

Содержание слайда:

Содержание слайда: Обоснование основных понятий комбинаторики: факториал, перестановки, размещения, сочетания.

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Перестановки

Содержание слайда:

Содержание слайда: Перестановки

Содержание слайда: Перестановки с повторениями

Содержание слайда: Пример 5. Слова и фразы с переставленными буквами называют анаграммами. Сколько анаграмм можно составить из слова «макака»? Пример 5. Слова и фразы с переставленными буквами называют анаграммами. Сколько анаграмм можно составить из слова «макака»? Решение.

Содержание слайда: Размещения

Содержание слайда: Размещения Решение: Требуется выделить упорядоченные трехэлементные подмножества множества, содержащего 40 элементов, т.е. найти число размещений без повторений из 40 элементов по 3.

Содержание слайда:

Содержание слайда: Размещения с повторениями Размещения с повторениями – соединения, содержащие n элементов, выбираемых из элементов m различных видов ( ) и отличающиеся одно от другого либо составом, либо порядком элементов. Их количество в предположении неограниченности количества элементов каждого вида равно

Содержание слайда: Размещения с повторениями Пример 9. В библиотеку, в которой есть много одинаковых учебников по десяти предметам, пришло 5 школьников, каждый из которых хочет взять учебник. Библиотекарь записывает в журнал по порядку названия (без номера) взятых учебников без имен учеников, которые их взяли. Сколько разных списков в журнале могло появиться?

Содержание слайда:

Содержание слайда: Сочетания

Содержание слайда: Сочетания с повторениями Сочетаниями с повторениями из m по n называют соединения, состоящие из n элементов, выбранных из элементов m разных видов, и отличающиеся одно от другого хотя бы одним элементом. Число сочетаний из m по n обозначают

Содержание слайда: Сочетания с повторениями

Содержание слайда: Пример 11. Сколько костей находится в обычной игре "домино"? Пример 11. Сколько костей находится в обычной игре "домино"? Решение: Кости домино можно рассматривать как сочетания с повторениями по две из семи цифр множества (0,1,2,3,4,5,6).  Число всех таких сочетаний равно

Содержание слайда: