Презентация Введение. Основные понятия теории вероятностей. Элементы комбинаторики онлайн

Содержание слайда: Элементы теории вероятностей и математической статистики Лекция 1. Введение. Основные понятия теории вероятностей. Элементы комбинаторики

Содержание слайда: Основные формулы комбинаторики комбинаторика – наука, изучающая комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов некоторого конечного множества

Содержание слайда: Предмет теории вероятностей Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах. Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать результат отличает случайное явление от других. Случайность и хаос — не одно и то же.

Содержание слайда: Случайное событие: факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида: а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта; б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может; в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

Содержание слайда: Перестановки Перестановки – это комбинации, составленные из всех n элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Рn = n! Пример. Сколько различных списков (отличающихся порядком фамилий) можно составить из 7 различных фамилий? Решение. Р7 = 7! = 2·3·4·5·6·7 = 5040.

Содержание слайда: Размещения Размещения – комбинации из m элементов множества, содержащего n различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений Количество размещений из n по m, обозначаемое Anm , равно убывающему факториалу Anm=n! / (n-m)! Пример. Сколько возможно различных вариантов пьедестала почета (первое, второе, третье места), если в соревнованиях принимают участие 10 человек? Решение. A310 = 10*9*8 = 10! / 7! = 720

Содержание слайда: Сочетания Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов). Число сочетаний Пример. В отборочных соревнованиях принимают участие 10 человек, из которых в финал выходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов? Решение. В отличие от предыдущего примера, здесь не важен порядок финалистов, следовательно, ищем число сочетаний из 10 по 3:

Содержание слайда: Операции над событиями: Сумма событий Суммой (объединением) событий A и B называется событие, состоящее в том, что произошло либо A, либо B, либо оба события одновременно.

Содержание слайда: Произведение событий Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событий называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.

Содержание слайда: Разность (дополнение) событий Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в том, что А произошло, а В – нет.

Содержание слайда: Виды событий: События А и В называются совместными, если они могут произойти оба в результате одного опыта. В противном случае события называются несовместными. События А1, А2,…,Ап образуют полную группу, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из событий этой группы События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них является более возможным, чем другое

Содержание слайда: Схема случаев Если все события, которые могут произойти в результате данного опыта, а) попарно несовместны; б) равновозможны; в) образуют полную группу, то говорят, что имеет место схема случаев.

Содержание слайда: Классическое определение вероятности Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта, благоприятных этому событию, к числу возможных исходов:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Аксиомы теории вероятностей Аксиома 1. Каждому случайному событию A соответствует определенное число Р(А), называемое его вероятностью и удовлетворяющее условию 0 ≤ P(A) ≤ 1 Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице. Аксиома 3 (аксиома сложения вероятностей). Пусть A и В — несовместные события. Тогда вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей: P(A+B)=P(A)+P(B) Аксиома 3 допускает обобщение на случай нескольких событий, а именно: если события A1, A2, ..., An, попарно несовместны, то P(A1+ A2+ ...+ An) = P(A1) + P(A2) + …+ P(An)

Содержание слайда: Свойства вероятности Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Доказательство. Так как достоверное событие всегда происходит в результате опыта, то все исходы этого опыта являются для него благоприятными, то есть т = п, следовательно, Р(А) = 1. Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Доказательство. Для невозможного события ни один исход опыта не является благоприятным, поэтому т = 0 и р(А) = 0. Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Доказательство. Случайное событие происходит при некоторых исходах опыта, но не при всех, следовательно, 0 < m < n, и из (1.1) следует, что 0 < p(A) < 1.

Содержание слайда: Относительная частота. Статистическое определение вероятности. относительная частоты W(A) события A - отношение числа опытов, в которых наблюдалось событие А, к общему количеству проведенных испытаний: где N – общее число опытов, М – число появлений события А. Статистической вероятностью события считают его относительную частоту или число, близкое к ней.

Содержание слайда: Теорема сложения вероятностей. Вероятность р(А + В) суммы событий А и В равна Р (А + В ) = р (А) + р (В) – р (АВ). Доказательство.

Содержание слайда: Следствие 1. Теорему сложения вероятностей можно распространить на случай суммы любого числа событий. Например, для суммы трех событий А, В и С : Р(А + В + С) = р(А) + р(В) + р(С) – р(АВ) – р(АС) – р(ВС) + р(АВС)

Содержание слайда: Следствие 2. Если события А и В несовместны, то mАВ = 0, и, следовательно, вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей: Р(А + В) = р(А) + р(В).

Содержание слайда: Определение Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу. Если одно из них назвать А, то второе принято обозначать Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: р(А) + р( ) = 1.

Содержание слайда: Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло: р (АВ) = р (А) · р (В/А).

Содержание слайда: Независимые события Определение: Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности В, то есть р (В/А) = р (В). Замечание. Если событие В не зависит от А, то и А не зависит от В. Свойство независимости событий взаимно. Теорема умножения для независимых событий имеет вид: р (АВ) = р (А) · р (В)

Содержание слайда: Вероятность появления хотя бы одного события Теорема Вероятность появления хотя бы одного из попарно независимых событий А1, А2,…, Ап равна р (А) = 1 – q1q2…qn , где qi – вероятность события , противоположного событию Аi .

Содержание слайда: