Презентация Первый замечательный предел онлайн

Содержание слайда: Первый замечательный предел Презентация Поляковой Валерии, группа 15-60, ИПП Преподаватель: доц. Светлаков Алексей Николаевич

Содержание слайда: История развития Это понятие на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине 17 века английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1642 - 1727), а также математиками 18 века - швейцарским, немецким и русским математиком Леонардом Эйлером (1707 - 1783) и французским математиком, астрономом и механиком Жозефом Луи Лагранжем (1736 - 1813).

Содержание слайда: Это было связано с тем, что ученые того времени не ставили перед собой задачу построения теории пределов. Первые строгие определения предела последовательности дали в 1816 году чешский математик, философ, теолог Бернард Больцано (1781 - 1848) и французский математик Огустен Луи Коши (1789 - 1857) в 1821 году. Это было связано с тем, что ученые того времени не ставили перед собой задачу построения теории пределов. Первые строгие определения предела последовательности дали в 1816 году чешский математик, философ, теолог Бернард Больцано (1781 - 1848) и французский математик Огустен Луи Коши (1789 - 1857) в 1821 году.

Содержание слайда: Первый замечательный предел Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере

Содержание слайда: Доказательство Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1: Пусть x ϵ (0; π/2) . Отложим этот угол на единичной окружности (R=1). Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1; 0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Содержание слайда: Очевидно, что: (1) (где  — площадь сектора KOA) (из :|LA|=tgX

Содержание слайда: Подставляя в (1), получим: Подставляя в (1), получим: Так как при x0+SinX>0,x>0,tgX>0 Умножаем на SinX: Перейдём к пределу:

Содержание слайда: Найдём левый односторонний предел (так как функция четна, в этом нет необходимости, достаточно доказать это для правого предела): Найдём левый односторонний предел (так как функция четна, в этом нет необходимости, достаточно доказать это для правого предела): Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Содержание слайда: Следствия

Содержание слайда: Применение пределов на практике Теория пределов очень активно применяется в экономических расчетах, например, в доказательствах и расчетах, которые связаны с непрерывными процессами; в финансовых рентах. Пределы функции применяются для нахождения асимптот графика функции при ее исследовании.

Содержание слайда: Список литературы Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. ( В 3-х томах ) - М.: Дрофа, 2004.  Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа (в двух частях). — М.: Физматлит, 2005. Кричевец А.Н., Шикин Е.В., Дьячков А.Г. Математика для психологов. – М.: ФЛИНТА, 2013 Светлаков А.Н. – видеолекции с сайта http://mathdialogue.livejournal.com/

Содержание слайда: Спасибо за внимание!