Презентация Поля и линейные пространства онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Поля и линейные пространства абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 56 слайдов. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:56 слайдов
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:290.19 kB
- Просмотров:134
- Скачиваний:2
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: Поля и линейные пространства
№2 слайд
Содержание слайда: Обозначения
Заглавные латинские буквы (A, …)- множества
Прописные латинские буквы (a,b…) – элементы множества
№3 слайд
Содержание слайда: Поле
Определение. Множество К называется полем, если в нем введены две бинарные операции: сложение и умножение
удовлетворяющие аксиомам:
№4 слайд
Содержание слайда:
№5 слайд
Содержание слайда:
№6 слайд
Содержание слайда: Простейшие свойства поля
Нулевой элемент единственный
Противоположный элемент единственный.
Единичный элемент единственный.
Обратный элемент единственный.
№7 слайд
Содержание слайда: Определение вычитания и деления в поле
Определение.
Замечание. Такое определение корректно, благодаря единственности противоположного и обратного элемента.
№8 слайд
Содержание слайда: Примеры полей
Множество R – вещественных чисел является полем
Множество Q - рациональных чисел является полем.
Множество F2 ={0,1} – из двух элементов является полем
№9 слайд
Содержание слайда: Линейное пространство.
Определение. Множество V называется линейным пространством над полем K, если в нем введены две бинарные операции: сложение и умножение на число из поля
удовлетворяющие аксиомам:
№10 слайд
Содержание слайда:
№11 слайд
Содержание слайда:
№12 слайд
Содержание слайда: Простейшие следствия из аксиом ЛП
Нулевой элемент единственный.
Противоположный вектор единственный.
Определение:
№13 слайд
Содержание слайда: Линейная комбинация векторов
V- ЛП
Определение. Выражение вида
называется линейной комбинацией векторов
№14 слайд
Содержание слайда: Линейная оболочка векторов
Определение. Пусть - система векторов. Множество всех линейных комбинаций данной системы векторов называют линейной оболочкой системы векторов:
№15 слайд
Содержание слайда: Выражение вектора через линейную комбинацию
Определение. Если некоторый вектор
представлен в виде
то говорят, что вектор линейно выражается через вектора
№16 слайд
Содержание слайда: Линейная зависимость
Определение. Система векторов называется
линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел
таких, что
№17 слайд
Содержание слайда: Линейная независимость
Определение. Система векторов
называется линейно независимой, если
тогда и только тогда, когда все числа
равны нулю.
№18 слайд
Содержание слайда: Алгебраические свойства систем линейных векторов.
Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
Если часть системы векторов (подсистема) линейно зависима, то и вся система векторов тоже линейно зависима.
Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда существует вектор, линейно выражающийся через остальные вектора
№19 слайд
Содержание слайда: Геометрические свойства систем векторов.
Система состоящая из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.
Система состоящая из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.
Система состоящая из трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда три вектора компланарны.
№20 слайд
Содержание слайда: Базис линейного пространства
V – ЛП
Определение. Система векторов
называется базисом ЛП V,
если эта система ЛНЗ и любой вектор из V линейно выражается через
Замечание. В ЛП V базис определяется не единственным образом (можно выбрать несколько базисов), но количество базисных векторов n остается неизменной величиной.
№21 слайд
Содержание слайда: Размерность линейного пространства
Определение. Количество векторов в базисе называется размерностью линейного пространства V.
Обозначение. dimV=n.
№22 слайд
Содержание слайда: Координаты вектора в базисе
Из определения базиса ЛП V следует, что любой вектор в этом ЛП линейно выражается через базисные векторы :
Определение. Координатами вектора x называются коэффициенты в разложении по базисным векторам:
№23 слайд
Содержание слайда: Координаты вектора в базисе
Замечание. Координаты вектора x зависят от выбора базиса. В разных базисах у одного и того же вектора x разные координаты.
№24 слайд
Содержание слайда: Подпространства линейного пространства
№25 слайд
Содержание слайда: Подпространства и подмножества
Определение. Подмножество W линейного пространства V называется линейным подпространством, если оно является линейным пространством относительно операций из V.
Обозначение.
Утверждение. (ноль принадлежит любому подпространству)
Утверждение. Для любого линейного пространства V подмножества {0} и V являются подпространствами.
№26 слайд
Содержание слайда: Примеры подпространств.
№27 слайд
Содержание слайда: Равносильное определение.
Утверждение. Множество W является линейным подпространством V тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно операций сложения и умножения на число:
№28 слайд
Содержание слайда: Подпространства матриц
Пусть
W1 – симметрические матрицы
W2 – кососимметрические матрицы
№29 слайд
Содержание слайда: Подпространства C[a,b]
Пусть V=C[a,b] – пространство непрерывных функций на отрезке [a,b]
№30 слайд
Содержание слайда: Пересечение и объединение подпространств
Пусть V – ЛП, W1, W2 – подпространства V
Определение.
Утверждение. Пересечение подпространств
является подпространством.
Замечание. Объединение подпространств
не является подпространством.
№31 слайд
Содержание слайда: Сумма подпространств
Определение.
Утверждение. Сумма двух подпространств является подпространством.
Замечание. Разложение произвольного вектора из W1+W2 по W1 и W2 возможно не единственным образом.
№32 слайд
Содержание слайда: Пример суммы подпространств
Пример. W1=XOY
W2=YOZ
W1+W2=R3
Поскольку для любого вектора возможно разложение:
№33 слайд
Содержание слайда: Прямая сумма подпространств
Определение. Пространство V называется прямой суммой подпространств W1 и W2, если V=W1+W2 и любой вектор x представим в виде x=w1+w2 единственным образом.
Обозначение.
Пример.
Поскольку разложение единственнно
№34 слайд
Содержание слайда: Теорема о размерности
Теорема. Пусть V=W1+W2. Тогда
Доказательство.
Пусть e1, e2….ek - базис W1∩W2 .
dim(W1∩W2 )=k
e1, e2….ek, a1, a2…. aℓ - базис W1, dimW1=k+ℓ
e1, e2….ek, b1, b2…. bm - базис W2, dimW2=k+m
Для доказательства теоремы достаточно проверить, что e1, e2….ek, a1, a2…. aℓ b1, b2…. bm - базис V
№35 слайд
Содержание слайда: Доказательство
Проверим, что e1, e2….ek, a1, a2…. aℓ b1, b2…. bm ЛНЗ система векторов
Левая часть последнего равенства принадлежит W1, правая часть принадлежит W2, следовательно и левая и правая части принадлежат W1∩W2, это значит, что правую часть можно выразить через базис пересечения.
№36 слайд
Содержание слайда: Доказательство
№37 слайд
Содержание слайда: Доказательство
№38 слайд
Содержание слайда: Доказательство
2. Проверим, что любой вектор из ЛП V линейно выражается через систему e1,…ek, a1,…aℓ, b1…bm.
□
№39 слайд
Содержание слайда: Теоремы о прямой сумме
Теорема 1. Пусть V=W1+W2. Тогда
Тогда и только тогда, когда ноль раскладывается единственным образом:
.
Теорема 2.
№40 слайд
Содержание слайда: Изменение координат вектора при замене базиса
№41 слайд
Содержание слайда: Матрица перехода
V – линейное пространство
e1, e2,e3…..en – первый базис (1)
e’1, e’2,e’3,…e’n – второй базис (2)
(количество векторов n=dimV, но сами вектора разные)
Выразим вектора второго базиса через вектора первого базиса:
№42 слайд
Содержание слайда:
№43 слайд
Содержание слайда:
№44 слайд
Содержание слайда:
№45 слайд
Содержание слайда: Изменение координат вектора
№46 слайд
Содержание слайда:
№47 слайд
Содержание слайда:
№48 слайд
Содержание слайда: Изоморфизм линейных пространств
№49 слайд
Содержание слайда: Определение изоморфизма
V1, V2 – два ЛП
Определение. Пространство V1 изоморфно V2, если существует взаимно-однозначное соответствие f: V1→V2 такое, что f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) и f(αx1)=αf(x1) для любых x1, x2 принадлежащих V1, α принадлежащих K.
Обозначение.
№50 слайд
Содержание слайда: Свойства изоморфизма
Рефлективность
Симметричность
Транзитивность
№51 слайд
Содержание слайда: Утверждение. Если V1 изоморфно V2, то f(0v1)=0v2 (при изоморфизме ноль переходит в ноль)
Доказательство.
№52 слайд
Содержание слайда: Теорема. V изоморфно W тогда и только тогда, когда dimV=dimW.
Доказательство.
№53 слайд
Содержание слайда:
№54 слайд
Содержание слайда:
№55 слайд
Содержание слайда: Утверждение. Любое линейное пространство размерности n изоморфно n-мерному координатному пространству Rn.
Доказательство.
Всякий вектор v=α1e1+…αnen принадлежащий ЛП V изоморфен вектору с координатами (α1,….αn)
(Выполнение свойств изоморфизма проверить самостоятельно)
№56 слайд
Содержание слайда: Спасибо за внимание!
Скачать все slide презентации Поля и линейные пространства одним архивом:
