Презентация Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 22 слайда. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:22 слайда
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:368.50 kB
- Просмотров:76
- Скачиваний:0
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: Лекция 4.
4. Системы дифференциальных уравнений.
4.1. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений.
Существуют процессы, где одной функции недостаточно для описания процесса. Далее
- независимая переменная;
(или если функций не больше трех) - неизвестные функции.
Определение. Системой дифференциальных уравнений называют совокупность уравнений, в каждое из которых входят независимые переменные, искомые функции и их производные.
№2 слайд
Содержание слайда: Примеры.
1) 2)
Решением системы дифференциальных уравнений называют совокупность функций которая при подстановке в уравнения превращает их в тождества.
Определение. Нормальной
системой дифференциальных
уравнений называется система
уравнений вида
№3 слайд
Содержание слайда: Многие системы дифференциальных уравнений можно привести к нормальной системе.
Пример.
Некоторые системы дифференциальных уравнений нельзя привести к нормальной системе. Их рассматривать не будем.
Пример.
№4 слайд
Содержание слайда: Система дифференциальных уравнений, содержащая производные высших порядков, может быть приведена к нормальной системе.
Пример.
Введем дополнительные функции
Тогда
Одно дифференциальное уравнение - го порядка может быть сведено к нормальной системе дифференциальных уравнений.
Пример.
№5 слайд
Содержание слайда: Нормальная система дифференциальных уравнений, обычно, может быть заменена одним дифференциальным уравнением, порядок которого равен числу уравнений системы.
Пример
№6 слайд
Содержание слайда: Обратный случай, когда система дифференциальных уравнений не может быть сведена к одному дифференциальному уравнению.
Пример
Первое уравнение не зависит от остальных.
№7 слайд
Содержание слайда: Теорема.
Общее решение нормальной системы дифференциальных уравнений
имеет вид
где - произвольные постоянные.
могут входить не во все уравнения.
Задание начальных условий
дает частное решение системы дифференциальных
уравнений
№8 слайд
Содержание слайда: Теорема.
Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений непрерывны вместе со своими частными производными в окрестности значений то в достаточно малом интервале существует единственная система функций
являющаяся решением системы и удовлетворяющая начальным условиям.
№9 слайд
Содержание слайда: 4.2. Системы линейных дифференциальных уравнений.
Однородная система линейных дифференциальных уравнений
где - непрерывные функции.
1) Если известно частное решение системы линейных дифференциальных уравнений то тоже является решением системы, где - произвольная постоянная.
№10 слайд
Содержание слайда: 2) Если известны два частных решения системы линейных дифференциальных уравнений и
то тоже является решением системы.
3) Если известны частных решений системы
…; то
(*)
тоже является решением системы линейных дифференциальных уравнений.
Совокупность n линейно независимых решений образует фундаментальную систему решений.
Решение (*) является общим решением однородной системы линейных дифференциальных уравнений.
№11 слайд
Содержание слайда: Общее решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений
есть сумма общего решения однородной системы и частного решения неоднородной системы.
№12 слайд
Содержание слайда: При заданных начальных условиях
можно получить частное решение системы линейных дифференциальных уравнений. Для этого необходимо подставить начальные условия в общее решение системы (*). Получим алгебраическую систему уравнений
Решая систему, получим частное решение системы линейных дифференциальных уравнений. Для того, чтобы система алгебраических уравнений имела единственное решение, необходимо, чтобы определитель
№13 слайд
Содержание слайда: 4.3. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим однородную систему линейных дифференциальных уравнений
Систему можно свести к одному дифференциальному уравнению - го порядка. Будем искать частные решения в виде
где - неопределенные постоянные.
№14 слайд
Содержание слайда: Дифференцируя, получим
Отсюда
Чтобы система однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, определитель системы равнялся нулю
Раскрыв определитель, получим характеристическое уравнение.
№15 слайд
Содержание слайда: Предположим, что корни действительные и простые. Рассмотрим решение на примере системы трех уравнений. Пусть корень равен
Определитель системы равен нулю. Примем, что если - простой корень, то, по крайней мере, один из миноров 2-го порядка не равен нулю. Тогда одно из уравнений следует из остальных. Решение системы зависит от одной произвольной постоянной.
Пусть первые два уравнения линейно независимы. Тогда одно из решений будет
Все остальные решения получаются умножением чисел
на одну и ту же произвольную постоянную.
№16 слайд
Содержание слайда: Поступая так со всеми корнями характеристического уравнения, найдем три системы функций, каждая из которых является решением системы линейных дифференциальных уравнений
Общее решение системы линейных дифференциальных уравнений имеет вид
№17 слайд
Содержание слайда: Примеры
№18 слайд
Содержание слайда:
№19 слайд
Содержание слайда:
№20 слайд
Содержание слайда:
№21 слайд
Содержание слайда:
№22 слайд
Содержание слайда:
Скачать все slide презентации Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений одним архивом:
