Презентация Свойства степенных рядов. (Лекция 2. 18) онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Свойства степенных рядов. (Лекция 2. 18) абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 19 слайдов. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:19 слайдов
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:458.50 kB
- Просмотров:51
- Скачиваний:0
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: Лекция 2-18.
13.3.2. Свойства степенных рядов.
Рассмотрим степенной ряд
(*)
имеющий радиус сходимости Сумма ряда
есть функция определенная внутри интервала сходимости, а также на тех концах интервала, где ряд сходится.
№2 слайд
Содержание слайда: Лемма 1.
Степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке
Доказательство. Выберем
По теореме Абеля ряд сходится.
имеем
Последнее неравенство означает, что ряд (*) равномерно сходится в
№3 слайд
Содержание слайда: Лемма 2.
Степенной ряд, составленный из производных ряда (*) имеет тот же радиус сходимости, что и ряд (*).
Доказательство. Допустим, что существует
Тогда Ряд производных имеет вид
(**)
№4 слайд
Содержание слайда: Если составить ряд из производных ряда (**), то у него тоже радиус сходимости равен
Т. е. все степенные ряды, полученные последовательным дифференцированием ряда (*) имеют одинаковый радиус сходимости и равномерно сходятся в любом интервале, принадлежащим области сходимости.
№5 слайд
Содержание слайда: Свойства степенных рядов.
1) Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости ряда.
Пример. Функция непрерывна
всюду, за исключением точки Но она является суммой ряда только при
2) Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости
3) Степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз в интервале сходимости.
№6 слайд
Содержание слайда: 13.4. Разложение функций в степенные ряды.
13.4.1 Ряд Тейлора.
Сумма степенного ряда непрерывна и бесконечное число раз дифференцируема в интервале сходимости. Рассмотрим обратный вопрос. Когда можно утверждать, что функция является суммой некоторого ряда?
№7 слайд
Содержание слайда: Пусть где - коэффициенты,
которые нужно определить.
Тогда
Следовательно (**)
№8 слайд
Содержание слайда: Определение.
Рядом Тейлора функции в окрестности точки называется степенной ряд (**) относительно разности
коэффициенты которого выражаются через значения функции и ее производных в точке .
- коэффициенты Тейлора функции
в точке .
№9 слайд
Содержание слайда: 13.4.2. Условие разложимости функций в ряд Тейлора.
При каких условиях ряд Тейлора для функции
сходится и его сумма равна ?
Обозначим - многочлен -й степени (частичная сумма ряда Тейлора)
Остаточный член ряда Сходимость
ряда к функции означает, что
или
№10 слайд
Содержание слайда: - ошибка аппроксимации функции многочленом .
Пусть - многочлен -й степени. Продифференцируем раз. Последующие производные равны нулю. Получим формулу Тейлора для многочленов
№11 слайд
Содержание слайда: Пример.
Разложить функцию
по степеням
№12 слайд
Содержание слайда: 13.4.3. Остаточный член ряда Тейлора. Формула Тейлора.
Запишем функцию в виде
Докажем теорему о структуре , которая позволит устанавливать, стремится ли к нулю при , т. е. разлагается в ряд Тейлора или нет.
№13 слайд
Содержание слайда: Теорема.
Если во всех точках некоторого интервала, содержащего точку , имеет производную , то для всякой точки, принадлежащей интервалу, остаточный член равен
где
№14 слайд
Содержание слайда: Доказательство.
Запишем остаточный член в виде
Найдем такое, чтобы для всякого , принадлежащего интервалу, выполнялось
Зафиксируем
Тогда
№15 слайд
Содержание слайда: Докажем, что это выражение равно
При из теоремы Лагранжа
Для других построим вспомогательную функцию удовлетворяющую теореме Ролля. Пусть
При заменив его значением, получим
Найдем
№16 слайд
Содержание слайда: Только подчеркнутые члены не сокращаются.
Производная существует во всех точках интервала. Вынося общий множитель за скобки, получим
Подставим вместо значение при котором
Тогда т. е.
Т. к. - любая точка интервала, то теорема доказана.
№17 слайд
Содержание слайда: Формула Тейлора для функции в точке
При выводе формулы предполагалось, что имеет производные до -й, где какое-то число. Другие производные нас не интересовали.
№18 слайд
Содержание слайда: Частные случаи
1)
Это формула Лагранжа.
2)
или
Это линейная аппроксимация.
№19 слайд
Содержание слайда: Т. к. - неизвестна, то нужно только оценить.
Пусть в интервале, где формула Тейлора справедлива,
Тогда для всякого принадлежащего интервалу
Доказательство.
Скачать все slide презентации Свойства степенных рядов. (Лекция 2. 18) одним архивом:
