Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
Тип файла:
ppt / pptx (powerpoint)
Всего слайдов:
19 слайдов
Для класса:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
Размер файла:
458.50 kB
Просмотров:
51
Скачиваний:
0
Автор:
неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд![Лекция - . . . . Свойства](/documents_6/671eca16df300b913fb08de0d63246b4/img0.jpg)
Содержание слайда: Лекция 2-18.
13.3.2. Свойства степенных рядов.
Рассмотрим степенной ряд
(*)
имеющий радиус сходимости Сумма ряда
есть функция определенная внутри интервала сходимости, а также на тех концах интервала, где ряд сходится.
№2 слайд![Лемма . Степенной ряд](/documents_6/671eca16df300b913fb08de0d63246b4/img1.jpg)
Содержание слайда: Лемма 1.
Степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке
Доказательство. Выберем
По теореме Абеля ряд сходится.
имеем
Последнее неравенство означает, что ряд (*) равномерно сходится в
№3 слайд![Лемма . Степенной ряд,](/documents_6/671eca16df300b913fb08de0d63246b4/img2.jpg)
Содержание слайда: Лемма 2.
Степенной ряд, составленный из производных ряда (*) имеет тот же радиус сходимости, что и ряд (*).
Доказательство. Допустим, что существует
Тогда Ряд производных имеет вид
(**)
№4 слайд![Если составить ряд из](/documents_6/671eca16df300b913fb08de0d63246b4/img3.jpg)
Содержание слайда: Если составить ряд из производных ряда (**), то у него тоже радиус сходимости равен
Т. е. все степенные ряды, полученные последовательным дифференцированием ряда (*) имеют одинаковый радиус сходимости и равномерно сходятся в любом интервале, принадлежащим области сходимости.
№5 слайд![Свойства степенных рядов.](/documents_6/671eca16df300b913fb08de0d63246b4/img4.jpg)
Содержание слайда: Свойства степенных рядов.
1) Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости ряда.
Пример. Функция непрерывна
всюду, за исключением точки Но она является суммой ряда только при
2) Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости
3) Степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз в интервале сходимости.
№6 слайд![. . Разложение функций в](/documents_6/671eca16df300b913fb08de0d63246b4/img5.jpg)
Содержание слайда: 13.4. Разложение функций в степенные ряды.
13.4.1 Ряд Тейлора.
Сумма степенного ряда непрерывна и бесконечное число раз дифференцируема в интервале сходимости. Рассмотрим обратный вопрос. Когда можно утверждать, что функция является суммой некоторого ряда?
№7 слайд![Пусть где - коэффициенты,](/documents_6/671eca16df300b913fb08de0d63246b4/img6.jpg)
Содержание слайда: Пусть где - коэффициенты,
которые нужно определить.
Тогда
Следовательно (**)
№8 слайд![Определение. Рядом Тейлора](/documents_6/671eca16df300b913fb08de0d63246b4/img7.jpg)
Содержание слайда: Определение.
Рядом Тейлора функции в окрестности точки называется степенной ряд (**) относительно разности
коэффициенты которого выражаются через значения функции и ее производных в точке .
- коэффициенты Тейлора функции
в точке .
№9 слайд![. . . Условие разложимости](/documents_6/671eca16df300b913fb08de0d63246b4/img8.jpg)
Содержание слайда: 13.4.2. Условие разложимости функций в ряд Тейлора.
При каких условиях ряд Тейлора для функции
сходится и его сумма равна ?
Обозначим - многочлен -й степени (частичная сумма ряда Тейлора)
Остаточный член ряда Сходимость
ряда к функции означает, что
или
№10 слайд![- ошибка аппроксимации](/documents_6/671eca16df300b913fb08de0d63246b4/img9.jpg)
Содержание слайда: - ошибка аппроксимации функции многочленом .
Пусть - многочлен -й степени. Продифференцируем раз. Последующие производные равны нулю. Получим формулу Тейлора для многочленов
№11 слайд![Пример. Разложить функцию по](/documents_6/671eca16df300b913fb08de0d63246b4/img10.jpg)
Содержание слайда: Пример.
Разложить функцию
по степеням
№12 слайд![. . . Остаточный член ряда](/documents_6/671eca16df300b913fb08de0d63246b4/img11.jpg)
Содержание слайда: 13.4.3. Остаточный член ряда Тейлора. Формула Тейлора.
Запишем функцию в виде
Докажем теорему о структуре , которая позволит устанавливать, стремится ли к нулю при , т. е. разлагается в ряд Тейлора или нет.
№13 слайд![Теорема. Если во всех точках](/documents_6/671eca16df300b913fb08de0d63246b4/img12.jpg)
Содержание слайда: Теорема.
Если во всех точках некоторого интервала, содержащего точку , имеет производную , то для всякой точки, принадлежащей интервалу, остаточный член равен
где
№14 слайд![Доказательство. Запишем](/documents_6/671eca16df300b913fb08de0d63246b4/img13.jpg)
Содержание слайда: Доказательство.
Запишем остаточный член в виде
Найдем такое, чтобы для всякого , принадлежащего интервалу, выполнялось
Зафиксируем
Тогда
№15 слайд![Докажем, что это выражение](/documents_6/671eca16df300b913fb08de0d63246b4/img14.jpg)
Содержание слайда: Докажем, что это выражение равно
При из теоремы Лагранжа
Для других построим вспомогательную функцию удовлетворяющую теореме Ролля. Пусть
При заменив его значением, получим
Найдем
№16 слайд![Только подчеркнутые члены не](/documents_6/671eca16df300b913fb08de0d63246b4/img15.jpg)
Содержание слайда: Только подчеркнутые члены не сокращаются.
Производная существует во всех точках интервала. Вынося общий множитель за скобки, получим
Подставим вместо значение при котором
Тогда т. е.
Т. к. - любая точка интервала, то теорема доказана.
№17 слайд![Формула Тейлора для функции в](/documents_6/671eca16df300b913fb08de0d63246b4/img16.jpg)
Содержание слайда: Формула Тейлора для функции в точке
При выводе формулы предполагалось, что имеет производные до -й, где какое-то число. Другие производные нас не интересовали.
№18 слайд![Частные случаи Это формула](/documents_6/671eca16df300b913fb08de0d63246b4/img17.jpg)
Содержание слайда: Частные случаи
1)
Это формула Лагранжа.
2)
или
Это линейная аппроксимация.
№19 слайд![Т. к. - неизвестна, то нужно](/documents_6/671eca16df300b913fb08de0d63246b4/img18.jpg)
Содержание слайда: Т. к. - неизвестна, то нужно только оценить.
Пусть в интервале, где формула Тейлора справедлива,
Тогда для всякого принадлежащего интервалу
Доказательство.