Презентация Теория рядов. Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов онлайн

Содержание слайда: ТЕОРИЯ РЯДОВ

Содержание слайда: Теория рядов широко используется в теоретических исследованиях различных вопросах естествознания и в приближенных вычислениях. С помощью рядов вычисляются значения различных функций (логарифмических, тригонометрических, показательных и др.), вычисляются значения интегралов, решаются дифференциальные уравнения и т.п. Теория рядов широко используется в теоретических исследованиях различных вопросах естествознания и в приближенных вычислениях. С помощью рядов вычисляются значения различных функций (логарифмических, тригонометрических, показательных и др.), вычисляются значения интегралов, решаются дифференциальные уравнения и т.п.

Содержание слайда: В частности, программы приближенного вычисления значений элементарных функций и решения многих стандартных задач, заложенные в память компьютеров и микрокалькуляторов, основаны на применении теории рядов. В частности, программы приближенного вычисления значений элементарных функций и решения многих стандартных задач, заложенные в память компьютеров и микрокалькуляторов, основаны на применении теории рядов.

Содержание слайда: 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ.

Содержание слайда: 1.1. Понятие о рядах Выражение вида

Содержание слайда: Сумма n первых членов ряда Сумма n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда и обозначается через

Содержание слайда: При изменении n меняется и Sn; при этом возможны два случая: При изменении n меняется и Sn; при этом возможны два случая:

Содержание слайда: Пример 1 (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия):

Содержание слайда:

Содержание слайда: Ряд

Содержание слайда: Пример 2 (бесконечно возрастающая геометрическая прогрессия):

Содержание слайда: Ряд геометрической прогрессии

Содержание слайда: Пример 3 (гармонический ряд):

Содержание слайда: Пример 4

Содержание слайда: Пример 5

Содержание слайда: Свойства конечных сумм , такие как ассоциативность (произвольная группировка членов), коммутативность (произвольная перестановка членов), для рядов вообще говоря не имеют места. Свойства конечных сумм , такие как ассоциативность (произвольная группировка членов), коммутативность (произвольная перестановка членов), для рядов вообще говоря не имеют места. Однако, если ряд с положительными членами сходится, то его члены м.б. сгруппированы произвольным образом- полученный ряд также сходится и имеет ту же сумму, что и данный.

Содержание слайда: Свойства рядов 10. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд

Содержание слайда: 10. Если ряд расходится и с≠0, 10. Если ряд расходится и с≠0, то ряд

Содержание слайда: Пример 7

Содержание слайда: 20. Если ряды 20. Если ряды

Содержание слайда: Пример 8

Содержание слайда: Решение

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: 30. Если в ряде 30. Если в ряде добавить или отбросить конечное число членов, то полученный ряд сходится или расходится одновременно с данным. В случае сходимости рассматриваемых рядов их суммы отличаются на сумму добавленных или отброшенных членов.

Содержание слайда: Пример 9

Содержание слайда: Сумма Сумма называется n-ым остатком ряда

Содержание слайда: Если ряд сходится, то Если ряд сходится, то

Содержание слайда: Четкое определение сходимости ряда, основанное на понятии предела последовательности частичных сумм, появилось лишь в начале XIX века. Тогда же началось систематическое изучение рядов. Четкое определение сходимости ряда, основанное на понятии предела последовательности частичных сумм, появилось лишь в начале XIX века. Тогда же началось систематическое изучение рядов.

Содержание слайда: 1.2. Необходимый признак сходимости ряда Если ряд

Содержание слайда: Пример 10

Содержание слайда: Пример 11

Содержание слайда: Пример 12

Содержание слайда: Доказательство:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Рассмотренный признак является только необходимым, но не является достаточным. Рассмотренный признак является только необходимым, но не является достаточным. Иными словами: нарушение этого условия гарантирует расходимость ряда, но его выполнение не гарантирует сходимости!