Презентация Тройные интегралы. Вычисление объема тела онлайн

Содержание слайда: Тройные интегралы. Вычисление объема тела.

Содержание слайда: Понятие тройного интеграла вводиться аналогично понятию двойного интеграла. Понятие тройного интеграла вводиться аналогично понятию двойного интеграла. Пусть функция f(x,y,z)  определена в ограниченной замкнутой области T, которая принадлежит трехмерному пространству с определенной декартовой системой координат Oxyz.  Разобьем заданную область на n частей, которые не имеют общих внутренних точек и объемы которых равны соответственно. В каждой такой элементарной области возьмем произвольную точку Pi(xi,yi,zi) n составим интегральную сумму ∑f(xi,yi,zi)dVi i=1

Содержание слайда: Тройной интеграл в общем виде записывается следующим образом: Тройной интеграл в общем виде записывается следующим образом: f(x,y,z) – подынтегральная функция трех переменных. dxdydz – произведение дифференциалов. T – область интегрирования – пространственное тело ограниченное множеством поверхностей. Вычислить тройной интеграл – это значит найти ЧИСЛО: В соответствии с общим смыслом интегрирования, произведение dxdydz равно бесконечно малому объему dV элементарного тела. Тройной интеграл объединяет все эти бесконечно малые частички по области , в результате чего получается интегральное (суммарное) значение объёма тела:

Содержание слайда: Как решать тройной интеграл? Пример 1. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями Варианты ответа: 1) 2) 3) 4) С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 1)используем формулу  Сначала изобразим параллельную ортогональную проекцию тела на координатную плоскость XOY. 2) выясняем, чем тело ограничено с сверху, чем снизу и выполняем пространственный чертёж. z=y² параболический цилиндр расположенный над плоскостью XOY и проходящий через ось OX:

Содержание слайда: 3)Выбираем порядок обхода тела: Двигаемся по OZ 3)Выбираем порядок обхода тела: Двигаемся по OZ Двигаемся по OY => Двигаемся по OX Решение свелось к двойному интегралу, используем формулу: Ответ: 1)

Содержание слайда: Пример 2. Пример 2. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Выполнить чертёж. Варианты ответа: 1) 2) 3) 4) Решим систему  получены две прямые, лежащие в плоскости параллельные оси Изобразим проекцию тела на плоскость XOY: Искомое тело ограниченно плоскостью z=0 снизу и параболическим цилиндром z=1-x² сверху:

Содержание слайда: Составим порядок обхода тела: Двигаемся по OZ Составим порядок обхода тела: Двигаемся по OZ Двигаемся по OY Двигаемся по OX При интегрировании по «игрек» – «икс» считается константой, поэтому константу целесообразно сразу вынести за знак интеграла. Ответ: 2)

Содержание слайда: Пример 3. Пример 3. Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями  Выполнить чертёжи данного тела и его проекции на плоскость XOY. Варианты отета: 1) 2) 3) 4) Решение: придерживаемся того же порядка действий: в первую очередь рассматриваем уравнения, в которых отсутствует переменная «зет». Оно здесь одно. Проекция цилиндрической поверхности на плоскость представляет собой «одноимённую» окружность. Плоскости  ограничивают искомое тело снизу и сверху («высекают» его из цилиндра) и проецируются в круг Плоскость пересекает цилиндр под косым углом, в результате чего получается эллипс. Из уравнения вычислим значения функции («высоту») в напрашивающихся точках

Содержание слайда: Проекция тела на плоскость XOY представляет собой круг, и это весомый аргумент в пользу перехода к цилиндрической системе координат: Проекция тела на плоскость XOY представляет собой круг, и это весомый аргумент в пользу перехода к цилиндрической системе координат: Найдём уравнения поверхностей в цилиндрических координатах: порядок обхода тела: Ответ: 3)

Содержание слайда: Пример 4. Пример 4. С помощью тройного интеграла вычислить объём заданного тела: , где   – произвольное положительное число.  неравенство   задаёт шар с центром в начале координат радиуса  , а неравенство – «внутренность» кругового цилиндра с осью симметрии радиуса . Таким образом, искомое тело ограничено круговым цилиндром сбоку и симметричными относительно плоскости   сферическими сегментами сверху и снизу.  Варианты ответа: 1) 2) 3) 4) Порядок обхода:

Содержание слайда: Решаем методом подведения под знак дифференциала: Ответ: 4)