Презентация Векторы на плоскости. Понятие вектора. Равенство векторов онлайн

Содержание слайда: Презентация по геометрии ответы на вопросы по теме «векторы» Выполнила Рягузова Дарья ученица 9В класса

Содержание слайда: Векторы на плоскости Понятие вектора. Равенство векторов Векторные величины в отличие от скалярных имеют не только числовое значение, но и направление в пространстве. Сонаправленные вектора – коллинеарные векторы, имеющие одинаковые направления. А В С D Противоположно направленные вектора – коллинеарные векторы, имеющие разные направления. T E V L

Содержание слайда: Вектор – это направленный отрезок. Вектор обозначают двумя заглавными буквами (соответствующие началу и концу вектора) со стрелкой над ними или одной прописной буквой со стрелкой над ней. Вектор – это направленный отрезок. Вектор обозначают двумя заглавными буквами (соответствующие началу и концу вектора) со стрелкой над ними или одной прописной буквой со стрелкой над ней. Если векторы лежат на перпендикулярных прямых, то их называют ортогональными.

Содержание слайда: Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. A C B

Содержание слайда: Векторы называют равными, если они сонаправлены и их модули равны. Векторы называют равными, если они сонаправлены и их модули равны. A B R K Вектор АВ = вектору RK. Равные векторы можно совместить параллельным переносом, и, обратно, если векторы совмещаются параллельным переносом, то эти векторы равны. Модулем вектора АВ называют длину отрезка АВ. Нулевой вектор – вектор, начало и конец которого совпадают. Его обозначают нулём со стрелкой над ним. Любую точку плоскости можно рассматривать как нулевой вектор.

Содержание слайда: Сложение и вычитание векторов

Содержание слайда: Сложение векторов по правилу треугольника : пусть даны векторы и . Отметим на плоскости точку А и отложим от этой точки вектор АВ, равный вектору , а от точки В отложим вектор ВС, равный вектору . Полученный вектор AC называют суммой векторов и . А a B C b

Содержание слайда: Разность векторов Разность векторов Разностью векторов и называется вектор, который в сумме с вектором равен вектору . Разность векторов и обозначается так: – . = -. a c b

Содержание слайда: 5. Противоположные векторы – векторы, которые равны по модулю, но направлены в противоположные стороны. 5. Противоположные векторы – векторы, которые равны по модулю, но направлены в противоположные стороны. 6. Пусть прямые a и b пересекаются в точке О. отложим данный вектор с от точки О: вектор ОС= вектору с. Тогда с помощью прямых а и b построим параллелограмм ОАСВ так, чтобы отрезок ОС был его диагональю. По правилу параллелограмма сложения векторов имеем : вектор ОС= вектор ОА + вектор ОВ. Следовательно, векторы ОА и ОВ являются составляющими вектора с= вектору ОС, расположенных на прямых а и b соответственно. В этом случае вектор ОС не лежит на прямой а или b.

Содержание слайда: Умножение вектора на число 1. Если вектор является нулевым вектором, то при умножении этого вектора на число k, мы получим вектор сонаправленный вектору (при условии, что k>0) и равный по модулю числу k. А если k=0, то модуль вектора после умножения тоже станет равен нулю. 2. Чтобы умножить вектор (неравный нулю) на число k (неравное нулю), нужно умножить модуль вектора на модуль числа k. 3. Если k>0, то направление получившегося вектора будет совпадать с направлением вектора , а если число k<0, то получившийся вектор будет направлен в противоположную сторону. 4. Чтобы вектор был коллинеарен нулевому вектору b, необходимо и достаточно существования числа k такого, что вектор равен произведению числа k на вектор b. 5. Для того, чтобы точка С лежала на прямой АВ, необходимо и достаточно, чтобы существовало число k такое, что вектор АС равен произведению числа k на вектор АВ.

Содержание слайда: Угол между векторами, скалярное произведение векторов Углом между векторами АВ и АС называет угол ВАС – угол, образованный при откладывании этих векторов от одной точки. Обозначается: ( ,^ ) Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов это ЧИСЛО. Свойства скалярного произведения векторов : 1) Для любых векторов а и b верно равенство аb = bа 2) Для любых векторов а и b и любого действительного числа k верно равенство (kа)b=k(ab) 3) Для любых векторов a, b и с верно равенство (a + b)c=ac+bc Векторы являются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю.

Содержание слайда: Координаты вектора 1. Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам: Если нулевые векторы а и b не коллинеарны, то для любого вектора с найдутся числа х и y такие, что выполняется равенство c=ха+yb, причём коэффициенты разложения х и y определяются единственным образом. Доказательство: На плоскости отложим от точки О векторы а, b и с. Концы векторов соответственно обозначим через А, В, С. Тогда по теореме о разложении вектора на составляющие по двум пересекающимся прямым, вдоль прямых ОА и ОВ найдутся единственные векторы ОА’ и ОИ’ такие, что ОС=ОА’+OB’. Так как вектор ОА коллинеарен вектору ОА’ и вектор ОВ коллинеарен вектору ОВ’, то по теореме о коллинеарных векторах существуют единственные действительные числа х и y, что вектор ОА=хОА=ха и вектор ОВ=yOB=yb. Поэтому из равенства ОС=ОА+ОВ следует единственное представление вида с=ОС=ха+yb. Теорема доказана. Базисные векторы - выбранные на плоскости два неколлинеарных вектора, по которым производится разложение заданного вектора. Любые два неколлинеарных вектора можно приять в качестве базисных векторов и любой вектор этой плоскости однозначно разлагается по этим базисным векторам. В доказанной теореме векторы а и b – базисные векторы, а действительные числа х и y называются координатами вектора с в базисе векторов а и b.

Содержание слайда: Свойства координат вектора Свойства координат вектора: 1. У равных векторов соответствующие координаты равны: если = (х; у), = (u; v) и = , то х=u и y=v. Обратно, векторы, у которых соответствующие координаты равны между собой: если = ( х; у), = (u; v) и x= u, y= v, то = . 2. При сложении векторов складываются их соответствующие координаты: если =(х ; у), =(u;v), то + =(x + u; y + v). + =(x+y)+(u+v)=(x+u) + (y + v). 3. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это же число, если =(х; у) и λ- число, то λ • =(λ • х; λ • у). СЛЕДСТВИЕ. Координаты разности векторов равны разности соответствующих координат этих векторов : если = (х; у), = (u; v), то – = (x-u; y-v).

Содержание слайда: Признак коллинеарности векторов Признак коллинеарности векторов Чтобы вектор был коллинеарен ненулевому вектору , необходимо и достаточно существование числа α такого, что = α . СЛЕДСТВИЕ: для того, чтобы точка С лежала на прямой АВ, необходимо и достаточно, чтобы существовало число α такое, что = α .

Содержание слайда: Направляющий вектор прямой- это любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или на параллельной ей прямой. Направляющий вектор прямой- это любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или на параллельной ей прямой. Уравнение прямой , проходящий через две заданные точки (x1,y1) и (x2,y2), записывается так: Вектор нормали- это вектор, который перпендикулярен данной плоскости . Уравнение прямой по вектору нормали: а(х-х0)+в(у-у0)=0 Формула, по которой можно определить угол между прямыми : Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра опущенного из точки на прямую.

Содержание слайда: Выражение скалярного произведения через координаты векторов Скалярное произведение векторов   = (ax ; ay) и   = (bx ; by) можно найти, воспользовавшись следующей формулой:  ·   = ax · bx + ay · by. Если скалярное произведение векторов и равно нулю, т.е. =| |*| |*Cos=0, то угол между ними равен 90 градусам – векторы перпендикулярны. Потому что Cos90=0.

Содержание слайда: Спасибо за внимание! Спасибо за внимание!