Презентация Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 70 слайдов. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:70 слайдов
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:607.50 kB
- Просмотров:120
- Скачиваний:1
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: Теория вероятностей и математическая статистика
Числовые характеристики
двумерных и многомерных случайных величин
№2 слайд
Содержание слайда: Характеристики двумерной случайной величины
Характеристики двумерной случайной величины (ξ, η) – это характеристики одномерных величин ξ и η, и характеристики связи между ними. Дальше мы будем рассматривать именно статистическую связь, которая называется корреляцией. Вначале рассмотрим линейную связь и ее характеристики – ковариацию, коэффициент корреляции, уравнение линейной регрессии, остаточную дисперсию.
№3 слайд
Содержание слайда: Ковариация
Определение. Ковариацией случайной величины (ξ, η) называется центральный смешанный момент второго порядка
Kξ,η = cov(ξ, η) = M[(ξ – Mξ)∙(η – Mη)].
Ковариация есть мера линейной зависимости между ξ, η.
№4 слайд
Содержание слайда: Ковариация
Величины ξ,η называются
некоррелированными при cov(ξ, η) = 0,
положительно коррелированными при cov(ξ, η) > 0,
отрицательно коррелированными при cov(ξ, η) < 0.
Для вычисления ковариации часто используют формулу
cov(ξ, η) = M(ξ∙η) – M ξ∙M η.
№5 слайд
Содержание слайда: Коэффициент корреляции
Определение. Коэффициентом корреляции между случайными
величинами ξ, η называется число
№6 слайд
Содержание слайда: Свойства коэффициента корреляции
1. │ρξη│≤ 1.
2. Если ξ,η независимы, то ρξη= 0.
Если │ρξη│=1, то ξ, η линейно зависимы,
то есть существуют такие a и b, что
ξ = aη + b.
№7 слайд
Содержание слайда: Смысл коэффициента корреляции
Коэффициент корреляции есть мера линейной зависимости между ξ, η.
Его модуль указывает на силу линейной связи
(чем ближе к 1, тем сильнее),
а знак указывает на направление связи.
№8 слайд
Содержание слайда: Пример: ρ = +0,9
№9 слайд
Содержание слайда: Пример : ρ = +0,2
№10 слайд
Содержание слайда: Пример: ρ = – 0,6
№11 слайд
Содержание слайда: Линейная зависимость
Проблема: найти функцию, описывающую линейную зависимость (уравнение прямой).
№12 слайд
Содержание слайда: Уравнение линейной регрессии
Определение. Уравнением линейной регрессии η на ξ называется уравнение
ηˆ = aξ + b, параметры которого минимизируют остаточную дисперсию
S2ост= M (η – ηˆ)2 = M(η – (aξ + b))2.
Смысл. Уравнение линейной регрессии η на ξ
выражает линейную зависимость η от ξ.
№13 слайд
Содержание слайда: Надо найти минимум остаточной дисперсии
S2ост= M (η – ηˆ)2
№14 слайд
Содержание слайда: Нахождение коэффициентов уравнения линейной регрессии
S2ост = M[η – (aξ+b)]2 =
M[(η – Mη) – a(ξ – Mξ) + (Mη – aMξ – b)]2 =
M(η – Mη)2 + a2M(ξ – M ξ)2 + M[(Mη – aMξ – b)]2 –
2aM[(η – Mη)(ξ – Mξ)] + 2M[(η – Mη)(Mη – aMξ – b)] – 2aM[(ξ – Mξ)(Mη – aMξ – b)].
№15 слайд
Содержание слайда: (Mη – aMξ – b) – постоянная величина, ее можно вынести за знак матожидания.
M(η – Mη) = Mη – M[Mη] = Mη – Mη = 0,
M(ξ – M ξ) = 0
Подставляя, получаем:
S2ост = M(η – Mη)2 + a2M(ξ – M ξ)2 +
+ (Mη – aMξ – b)2 – 2aM[(η – Mη)(ξ – Mξ)].
№16 слайд
Содержание слайда: Поскольку M(η – Mη)2 = Dη = σ2η,
M(ξ – M ξ)2 = Dξ = σ2ξ,
M[(ξ – Mξ)∙(η – Mη)] = cov(ξ,η) = ρσξση, то
S2ост = σ2η+ a2σ2ξ + (Mη – aMξ – b)2 – 2a ρσξση.
№17 слайд
Содержание слайда: S2ост – функция переменных a и b, надо найти min S2ост , то есть найти значения
a и b, при которых достигается минимум.
Найдем производные от S2ост по a и b.
№18 слайд
Содержание слайда: S2ост = σ2η+ a2σ2ξ + (Mη – aMξ – b)2 – 2a ρσξση.
(S2ост)'b= –2(Mη – aMξ – b) = 0
(S2ост)'a = 2aσ2ξ – 2Mξ (Mη – aMξ – b) –
–2ρσξση = 0
Из первого уравнения находим:
b = Mη – aMξ.
Подставляя во второе, получаем:
a = ρ∙ση/σξ.
№19 слайд
Содержание слайда: Подставим
a = ρ∙ση/σξ, b = Mη – aMξ
В уравнение ηˆ= aξ+b.
Получим:
ηˆ= ρ∙ση/σξ∙ ξ + Mη – ρ∙ση/σξ ∙ Mξ, или
№20 слайд
Содержание слайда: Замечание
Коэффициент уравнения линейной регрессии ρ∙ση/σξ можно записать в виде:
ρ∙ση/σξ = cov(ξ,η)/σ2ξ.
Тогда уравнение линейной регрессии примет вид:
№21 слайд
Содержание слайда: Остаточная дисперсия
Найдем значение S2ост = M(η – ηˆ)2 = M(η – (aξ+b))2. Для этого подставим полученные значения a и b.
S2ост = M(η – (aξ + b))2 = M(η – (aξ + b))2=
M[η – Mη – ρ∙ση/σξ(ξ – M ξ)]2 = M(η –Mη)2 +
(ρ∙ση/σξ)2 M(ξ – M ξ)]2 –2 ρ∙ση/σξ M[(ξ – Mξ)∙
(η – Mη)] = σ2η+ (ρ∙ση/σξ)2σ2ξ –
2 ρ∙ση/σξ ∙ ρσξση =
№22 слайд
Содержание слайда: Остаточная дисперсия
σ2η + (ρ∙ση)2 – 2 ρ2∙ση2 = σ2η – ρ2∙ση2 =
= σ2η (1 – ρ2).
Смысл: остаточная дисперсия выражает ошибку приближения при замене η на ηˆ= aξ+b.
№23 слайд
Содержание слайда: Пример
Дискретная двумерная случайная величина (X,Y) задана таблицей распределения:
№24 слайд
Содержание слайда: Пример
Найдем одномерные законы распределения:
№25 слайд
Содержание слайда: Пример
Вычислим числовые характеристики.
MX = 0∙0,5 + 1∙0,2 + 2∙0,3 = 0,8.
DX = 02∙0,5 + 12∙0,2 + 22∙0,3 – 0,82 = 0,76.
MY = ( –1)∙0,3 + 0∙0,4 + 3∙0,3 = 0,6.
DY = ( –1)2∙0,3 + 02∙0,4 + 32∙0,3 – 0,62 = 2,64.
M(XY) = ( –1)∙2∙0,2 = – 0,4.
№26 слайд
Содержание слайда: Пример
Найдем ковариацию:
cov(ξ, η) = M(ξ∙η) – M ξ∙ M η.
В наших обозначениях
cov(X, Y) = M(X∙Y) – MX∙ MY.
cov(X,Y) = – 0,4 – 0,8∙0,6 = – 0,88.
Величины X,Y отрицательно коррелированы.
№27 слайд
Содержание слайда: Коэффициент корреляции
№28 слайд
Содержание слайда: Уравнение линейной регрессии
Запишем уравнение линейной регрессии Y на X.
Подставим MX = 0,8, DX = 0,76, MY = 0,6. cov(X,Y) = – 0,88.
Yˆ – 0,6 = – 0,88/0,76∙(X – 0,8).
№29 слайд
Содержание слайда: Остаточная дисперсия
Yˆ – 0,6 = – 1,16(X – 0,8).
Yˆ= – 1,16X +1,53.
Найдем остаточную дисперсию:
S2ост.= σ2Y (1 – ρ2).
S2ост.= 2,64∙(1 –0,642) ≈ 1,56.
№30 слайд
Содержание слайда: График линейной регрессии
Yˆ= – 1,16X + 1,53.
№31 слайд
Содержание слайда: Нелинейная зависимость
Проблема: найти функцию, описывающую нелинейную зависимость.
№32 слайд
Содержание слайда: Условные распределения
Пусть (ξ, η) – двумерная случайная величина. Рассмотрим распределение η при условии, что ξ = x. Оно называется условным.
№33 слайд
Содержание слайда: Условные распределения η при разных значениях ξ.
№34 слайд
Содержание слайда: Способы нахождения условных распределений в дискретном случае
Рассмотрим пример. Пусть дискретная двумерная случайная величина (X, Y) задана таблицей:
№35 слайд
Содержание слайда: Пример
Найдем условный закон распределения Y/X = 0:
№36 слайд
Содержание слайда: Действительно,
P(Y = –1/X = 0) = P(Y = –1, X = 0)/P(X = 0) т.к. по формуле условной вероятности,
P(A/B) = P(AB)/P(B).
P(Y = –1,X = 0) =0,1
P(X =0) = 0,5.
Отсюда P(Y= –1/X = 0) = 0,1: 0,5 = 1/5.
Аналогично P(Y = 0/X=0) = 0,1: 0,5 = 1/5,
P(Y = 3/X = 0) = 0,3: 0,5 =3/5.
№37 слайд
Содержание слайда: Найдем другие условные законы.
Условный закон распределения Y/X = 1:
№38 слайд
Содержание слайда: Такой закон распределения записывается в виде ряда распределения
№39 слайд
Содержание слайда: Условный закон распределения Y/X=2:
№40 слайд
Содержание слайда: Условное математическое ожидание
Определение. Условным математическим ожиданием случайной
величины η при условии, что ξ = x,
называется математическое ожидание, найденное с помощью условного закона распределения.
Обозначение: M(η/ξ = x).
№41 слайд
Содержание слайда: Замечание
Условное математическое ожидание обладает свойствами математического ожидания .
№42 слайд
Содержание слайда: Условное математическое ожидание
№43 слайд
Содержание слайда: Вспомним предыдущий пример.
Найдем условное матожидание Y/X=0:
M(Y/X=0)= (–1)∙1/5 + 0∙1/5 + 3∙3/5 = 8/5
№44 слайд
Содержание слайда: Аналогично, условные матожидания
M(Y/X=1) = 0∙1 =0,
M(Y/X=2) = (–1)∙2/3 + 0∙1/3 = –2/3.
№45 слайд
Содержание слайда: Регрессия
Определение. Регрессией η на ξ называется случайная величина r(ξ), равная при каждом x условному математическому ожиданию случайной величины η при условии, что ξ = x. Определение. Линией регрессии называется линия y = r(x), где
r(x) = M(η/ξ = x).
№46 слайд
Содержание слайда: Пример
В условиях предыдущего примера регрессия Y на X равна:
№47 слайд
Содержание слайда: Другой способ записи регрессии
№48 слайд
Содержание слайда:
№49 слайд
Содержание слайда: Корреляционное отношение
Определение. Корреляционным отношением η на ξ называется числовая характеристика, равная
№50 слайд
Содержание слайда: Свойства корреляционного отношения
1. 0 ≤ θ2η,ξ ≤ 1.
2. θ2η,ξ ≥ ρ2.
3. θ2η,ξ = ρ2 ↔ r(ξ) = aξ+b (т.е., линейная зав–ть).
4. θ2η,ξ = 0 ↔ r(ξ) = Mη (r(ξ)=const, нет связи).
5. θ2η,ξ = 1 ↔ η = r(ξ) (т.е., функц–я зав–ть).
№51 слайд
Содержание слайда: Смысл: корреляционное отношение измеряет силу зависимости η от ξ
№52 слайд
Содержание слайда: Пример.
Чтобы найти θ2YX, надо сначала найти MY и DY.
Мы их недавно находили с помощью одномерного закона.
№53 слайд
Содержание слайда: MY = ( –1)∙0,3 + 0∙0,4 + 3∙0,3 = 0,6.
MY = ( –1)∙0,3 + 0∙0,4 + 3∙0,3 = 0,6.
DY = ( –1)2∙0,3 + 02∙0,4 + 32∙0,3 – 0,62 = 2,64.
№54 слайд
Содержание слайда: Смысл полученного числа: корреляционное отношение измеряет силу зависимости Y от X.
Чем ближе к 1, тем связь сильнее, чем ближе к 0, тем слабее.
Напоминание: корреляционное отношение принимает значения от 0 до 1.
Если надо найти θ2XY, а не θ2YX , то в формуле надо поменять местами X и Y.
№55 слайд
Содержание слайда: Условные распределения
Определение. Условной функцией распределения случайной величины
η при условии, что ξ = x, называется
Fη/ξ = x = P(η < y/ξ = x).
№56 слайд
Содержание слайда: Условная плотность
Определение. Если условная функция распределения случайной величины η при условии, что ξ = x, непрерывна, то производная от нее называется условной плотностью распределения случайной величины η при условии, что ξ = x.
№57 слайд
Содержание слайда: Обозначается условная плотность
fη/ξ = x(y)
(плотность распределения η в точке y при условии, что ξ = x).
№58 слайд
Содержание слайда: Нахождение условной функции распределения
Условная функция распределения случайной величины η при условии, что ξ = x
№59 слайд
Содержание слайда: Нахождение условной плотности распределения
Условная плотность распределения сл. в. η при условии, что ξ = x
№60 слайд
Содержание слайда: Поскольку
№61 слайд
Содержание слайда: Числовые характеристики многомерных случайных величин
Определение. Ковариационной матрицей случайных величин ξ1, ξ2 , …, ξn называется матрица K размерности n x n с элементами aij, равными ковариациям cov(ξi, ξj) = kij.
K= (kij)n x n = (cov(ξi, ξj)) n x n
№62 слайд
Содержание слайда: Ковариационная матрица К
№63 слайд
Содержание слайда: Корреляционная матрица R
Наряду с ковариационной матрицей рассматривают и матрицу R, составленную из коэффициентов корреляции ρij = ρ(ξi, ξj).
№64 слайд
Содержание слайда: Уравнение множественной линейной регрессии
Рассмотрим случайные величины
ξ0 ξ1, ξ2 , …, ξn
с математическими ожиданиями Mξi = ai,
с дисперсиями Dξi = σ2i,
i = 0,1,…, n,
и c корреляционной матрицей R размерности (n+1) х (n+1).
№65 слайд
Содержание слайда: Определение. Уравнением линейной регрессии ξ0 на ξ1, ξ2 , …, ξn называется уравнение
№66 слайд
Содержание слайда: Здесь bi (i =1,…, n) – параметры, минимизирующие остаточную дисперсию
№67 слайд
Содержание слайда: Минимизируя остаточную дисперсию, получаем, что
№68 слайд
Содержание слайда: Остаточная дисперсия
Здесь и далее через Rij обозначено алгебраическое дополнение элемента aij матрицы R, а через |R| – определитель матрицы R.
Остаточная дисперсия равна
№69 слайд
Содержание слайда: Частный коэффициент корреляции
Частный коэффициент корреляции используется как мера линейной зависимости между двумя какими –либо случайными величинами за вычетом влияния остальных случайных величин.
№70 слайд
Содержание слайда: Множественный (сводный) коэффициент корреляции
Выражает зависимость между ξ0 и всей совокупностью ξ1, ξ2 , … , ξn .
Скачать все slide презентации Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин одним архивом:
