Презентация Дискретные случайные величины. Законы распределения. Числовые характеристики онлайн

Содержание слайда: Дискретные случайные величины. Законы распределения. Числовые характеристики Лекция 14

Содержание слайда: Случайные величины. Законы распределений. Случайной называют величину , которая принимает свое значение в опыте со случайным исходом. Случайная величина – это действительная функция, определенная на множестве элементарных событий : . Если случайная величина принимает только целочисленные значения то случайную величину называют дискретной (Д.С.В.). Закон распределения случайной величины – правило, которое ставит в соответствие значению случайной величины ее вероятность : Закон может быть задан таблицей, которую называют рядом распределения, графиком ( многоугольником распределения) или формулой. ;

Содержание слайда: Биномиальное распределение (схема Бернулли) Пусть опыт имеет 2 противоположных исхода =; (герб или решетка, попадание или промах, работа или отказ и т.д.). Опыт повторяется раз. При этом вероятности и не зависят от номера испытания. Пространство элементарных событий Ω содержит исходов – последовательностей по элементов. Вероятность каждого исхода, когда событие наблюдается раз, а событие наблюдается раз : . С учетом числа вариантов вероятность того, что при испытаниях событие наблюдается раз, а событие наблюдается раз : При этом выполняется

Содержание слайда: Дискретные случайные величины. Пример. Пример 1. Трехкратное подбрасывание симметричной монеты. Случайная величина = 0, 1, 2, 3 –число выпавших гербов: ; = Пример 2. В урне 2 белых и 3 черных шара. Наугад с возвращением достаем 3 шара. Случайная величина = 0, 1, 2, 3 –число белых шаров в выборке: ; =

Содержание слайда: Распределение Пуассона В условиях, когда число повторений опыта , вероятность события но биномиальное распределение переходит в распределение Пуассона (редкие события): = С учетом получаем ; ……. ; Кроме того, распределение Пуассона является моделью простейшего потока событий (последовательности событий, происходящих в случайные моменты времени). Вводится интенсивность потока μ - число событий в единицу времени. Параметр = μτ – среднее число событий за время τ.

Содержание слайда: Геометрическое распределение Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью . Опыты ведутся до первого появления события A. Случайная величина – число проведенных опытов. Ряд распределения: Пример. Вероятность наладить схему с одной попытки . Случайная величина – число попыток . Гипергеометрическое распределение (схема извлечения без возвращения) Имеется объектов, среди которых вида С и вида В. Случайным образом отбирается объектов. Случайная величина – число объектов вида С среди отобранных: . Пример. Среди 7 микросхем 3 неисправные. Наугад берут 4 схемы. Случайная величина – число исправных схем в выборке из

Содержание слайда: Числовые характеристики. Математическое ожидание Математическое ожидание (среднее по распределению) – это число, определяемое для дискретной случайной величины формулой Эта сумма может быть как конечной, так и рядом. существует, если ряд сходится. Геометрически математическое ожидание абсцисса координаты центра масс под графиком – многоугольником распределения. Для симметричных распределений совпадает с абсциссой центра симметрии. Основные свойства : 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой этой постоянной 2. Для независимых случайных величин 3. 4. Математическое ожидание суммы равно сумме математи- ческих ожиданий

Содержание слайда: Математическое ожидание. Примеры вычислений. Биномиальное распределение Для случая Для случая 2. Геометрическое распределение = 3. Распределение Пуассона. = λ - среднее число событий

Содержание слайда: Числовые характеристики. Дисперсия. 1 ( ) – отклонение от среднего – среднее отклонение 2 равно нулю. Дисперсия характеризует меру разброса значений случайной величины около математического ожидания и вводится как математическое ожидание квадрата отклонения от математического ожидания (усредненный квадрат отклонения от среднего): = = = = Свойства дисперсии: 1) 2) для независимых случайных величин ; 3) 4)