Презентация Распределения дискретных и непрерывных случайных величин и их числовые характеристики. онлайн

Содержание слайда: ФГБОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА_2сем Часть 4. Распределения дискретных и непрерывных случайных величин и их числовые характеристики. Бодряков Владимир Юрьевич, д.ф.-м.н., проф. E-mail: Bodryakov_VYu@e1.ru Екатеринбург – 2013-2014

Содержание слайда: Литература и интернет - ресурсы Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учебное пособие. М.: Академия, 2003. – 448 с. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. – М.: Высшее образование, 2006. – 479 с. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. – М.: Высшее образование, 2006. – 404 с. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Фазис, 1998. – 144 с. http://e-lib.uspu.ru www.exponenta.ru

Содержание слайда: Введение. Дискретные и непрерывные случайные величины Определение: Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает значение  единственное, заранее неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Случайные величины (с.в.) принято обозначать большими буквами латинского алфавита (X, Y, Z, …), а значения, ими принимаемые – малыми (x, y, z, …). Например, если с.в. величина X принимает три значения, их обозначают x1, x2, x3. Определение: Дискретной называют случайную величину (д.с.в.), которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений д.с.в. может быть конечным или счетным. Определение: Непрерывной называют случайную величину (н.с.в.), которая принимает непрерывный ряд значений из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений н.с.в. бесконечно и несчетно.

Содержание слайда: §1. Распределения дискретных случайных величин и их числовые характеристики Определение: Законом распределения дискретной случайной величины (д.с.в.) называют соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями. Такое соответствие может быть задано таблично, аналитически (в виде формулы), графически. Определение: Дискретным рядом распределения д.с.в. называется таблица, в которой перечислены (как правило, упорядоченно) все возможные значения д.с.в. и соответствующие им вероятности: Прим. Значения д.с.в. не повторяются: xi  xj при i  j. Д.с.в. X принимает с необходимостью одно из множества значений {x1, x2, …, xn}. События X = x1, X = x2, …, X = xn образуют полную группу. Поэтому с необходимостью: p1 + p2 + … + pn = 1.

Содержание слайда: §1. … продолжение Определение: Многоугольником (полигоном) распределения с.в. называют закон распределения, представленный в графическом виде. Пример 3. В магазине в течение часа продано 12 пар обуви размеров 38, 39, 40, 38, 41, 42, 43, 43, 42, 43, 45, 44. Выписать дискретный ряд распределения д.с.в. X – размер проданной пары обуви; построить полигон распределения. Решение: Упорядочим перечень проданных размеров по возрастанию: X = {38, 38, 39, 40, 41, 42, 42, 43, 43, 43, 44, 45} и сведем в таблицу и рис.

Содержание слайда: §1. … продолжение Определение: Модой распределения называют значение xi, соответствующее максимуму закона (ряда) распределения. Определение: Если (явно выделяющаяся) мода одна  распределение называют унимодальным; если моды две – бимодальным и т.д. Рис. Распределение выпускников школ РФ 2008, 2009 гг. по баллам ЕГЭ по математике. Сплошная вертикальная прямая – среднее значение; пунктир – порог прохождения. На рис. представлены распределения выпускников школ РФ по математике 2008, 2009 гг. Распределение 2008 г. бимодально; распределение 2009 гг. унимодально, хотя имеются признаки выделения второй моды. Моды в обоих случаях приходятся на  42 б.

Содержание слайда: §1. … продолжение. Биномиальное распределение Определение: Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли (0  k  n, q = 1 – p): Pn(k) = Cnkpkqnk. В табличном виде ряд биномиального распределения есть: Рис. Биномиальное распределение для p = 0,7; q = 0,3: (а) число испытаний n = 6; (б) n = 12.

Содержание слайда: §1. … продолжение. Распределение Пуассона Определение: Распределением Пуассона называют распределение вероятностей, определяемое формулой Пуассона (np =  = Const): Pn(k) = (k/k!)e, k = 0, 1, 2, … В табличном виде ряд распределения Пуассона есть: Рис. Распределение Пуассона для p = 0,02; q = 0,98: (а) число испытаний n = 100; (б) n = 200.

Содержание слайда: §1. … продолжение. Геометрическое распределение Определение: Геометрическим распределением называют распределение вероятностей, определяемое формулой: P(k) = pqk1, k = 1, 2, … В табличном виде ряд геометрического распределения есть: Рис. Геометрическое распределение для: (а) p = 0,7; q = 0,3; (б) p = 0,3; q = 0,7.

Содержание слайда: §1. … продолжение. Числовые характеристики распределения дискретной случайной величины Определение: Числовыми характеристиками (распределения) случайной величины называется набор чисел, обобщенно характеризующих закон распределения этой с.в. (мода, математическое ожидание, дисперсия, СКО и др.) Определение: Математическим ожиданием дискретной случайной величины (д.с.в.) X называют сумму произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности: M(X) = i xipi = x1p1 + x2p2 + …. + xnpn. Пример 4. Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости. Решение: Закон распределения д.с.в. X – число выпавших очков при бросании игральной кости является равномерным: Математическое ожидание д.с.в. X равно: M(X) = i xipi = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 3,5. Ответ: M(X) = 3,5.

Содержание слайда: §1. … продолжение. Числовые характеристики распределения дискретной случайной величины Пример 5. Найти математическое ожидание суммы очков, выпадающих при бросании пары игральных костей. Решение: Закон распределения д.с.в. X – сумма выпавших очков при бросании пары игральных костей является треугольным (см. табл. и рис.): Математическое ожидание д.с.в. X равно: M(X) = i xipi = (1/36)(21 + 32 + 43 + … + 103 + 112 + 121) = 7. Ответ: M(X) = 7.

Содержание слайда: §1. … продолжение. Свойства математического ожидания Вероятностно-статистический смысл математического ожидания. Пусть произведено n испытаний, в которых д.с.в. X приняла m1 раз значение x1, m2 раз значение x2, …, mk раз значение xk; при этом: m1 + m2 + … + mk = n. Определение: Средним арифметическим Xср д.с.в. X называют величину: Xср = {x1m1 + x2m2 + … + xkmk}, или Xср = x1w1 + x2w2 + … + xkwk, где относительные частоты есть w1 = m1/n; w2 = m2/n; …; wk = mk/n. При большом числе испытаний (n  ) относительные частоты стремятся к соответствующим вероятностям (закон больших чисел): w1  p1; w2  p2; …; wk  pk. Поэтому при больших n: Xср  x1p1 + x2p2 + … + xkpk = M(X). Утверждение. Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше n) среднему арифметическому наблюдаемых значений д.с.в. В этом и состоит вероятностно – статистический смысл математического ожидания.

Содержание слайда: §1. … продолжение. Свойства математического ожидания Свойство 1. Математическое ожидание (М.О.) постоянной величины равно самой этой постоянной: M(C) = C. Док-во: СРС. Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак М.О.: M(CX) = CM(X). Док-во: СРС. Свойство 3. М.О. произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY) = M(X)M(Y). Док-во: СРС. Свойство 4. М.О. суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M(X + Y) = M(X) + M(Y). Док-во: СРС.

Содержание слайда: §1. … продолжение. Свойства дисперсии и среднеквадратического отклонения (СКО) Определение: Отклонением называют разность между с.в. X и ее математическим ожиданием M(X) : X = X  M(X). Для отклонения X закон распределения имеет вид: Прим. Величину X = X  M(X) также называют центрированной величиной. Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю: M(X) = M(X  M(X)). Док-во: СРС. Определение: Дисперсией (рассеянием) D(X) случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания: D(X) = M(X2) = M((X  M(X))2).

Содержание слайда: §1. … продолжение. Свойства дисперсии и среднеквадратического отклонения (СКО) Для квадрата отклонения X2 закон распределения имеет вид: Дисперсия D(X) с.в. может быть найдена по формуле: D(X) = M((X  M(X))2) = = p1(x1  M(X))2 + p2(x2  M(X))2 + … + pn(xn  M(X))2. Теорема (формула вычисления дисперсии). Дисперсия равна разности между М.О. квадрата с.в. X и квадратом ее математического ожидания: D(X) = M(X2)  (M(X))2 = M(X2)  M2(X). Док-во: Для доказательства достаточно выписать цепочку равенств, следующую из свойств математического ожидания: D(X) = M((X  M(X))2) = M(X2 2XM(X) + M2(X)) = M(X2)  M2(X), ч.т.д.

Содержание слайда: §1. … продолжение. Свойства дисперсии и среднеквадратического отклонения (СКО) Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(C) = 0. Док-во: СРС. Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D(CX) = C2D(X). Док-во: Достаточно применить формулу вычисления дисперсии: D(CX) = M((СX)2)  (M(СX))2 = M(С2X2)  (СM(X))2 = = С2M(X2)  С2(M(X))2 = С2[M(X2)  M2(X)] = C2D(X), ч.т.д. Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X + Y) = D(X) + D(Y). Док-во: По определению дисперсии: D(X + Y) = M((X + Y)2)(M(X + Y))2 = M(X2 +2XY + Y2)(M(X) + M(Y))2 = = M(X2)+2M(XY ) + M(Y2)  M2(X) + 2M(X)M(Y) + M2(Y) = D(X) + D(Y), ч.т.д.

Содержание слайда: §1. … продолжение. Свойства дисперсии и среднеквадратического отклонения (СКО) Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X  Y) = D(X) + D(Y). Док-во: По доказанным свойствам дисперсии: D(X  Y) = D(X + (1)Y) = D(X)+ D((1)Y)) = D(X)+ D((1)Y)) = = D(X)+ (1)2 D(Y)) = D(X) + D(Y), ч.т.д. Замечание: Дисперсия как мера разброса значений с.в. X не слишком удобна, т.к. имеет размерность квадрата с.в. С этой точки зрения более удобна величина, называемая средним квадратичным (квадратическим) отклонением (СКО); в западной терминологии СКО называют также стандартным отклонением. Определение: Средним квадратичным отклонением (СКО) случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии этой с.в.: (X) = D(X). Замечание: Свойства СКО (X) непосредственно вытекают из соответствующих свойств дисперсии D(X) случайной величины X.

Содержание слайда: §1. … продолжение. Свойства дисперсии и среднеквадратического отклонения (СКО) Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов СКО этих величин: (X1 + X2 + …+ Xn) = {2(X1) + 2(X2) + … + 2(Xn)}. Док-во: По доказанным свойствам дисперсии: (X1 + X2 + …+ Xn) = D(X1 + X2 + …+ Xn) = = {D(X1) + D(X2) +…+ D(Xn)} = {2(X1) + 2(X2) +…+ 2(Xn)}, ч.т.д. Теорема. Пусть имеется система из n независимых д.с.в. X1, X2, …, Xn, которые имеют одинаковые распределения, т.е. равные М.О., дисперсии и СКО: a(X1) = a(X2) = … = a(Xn) = a; D(X1) = D(X2) = … = D(Xn) = 2; (X1) = (X2) = … = (Xn) = . Тогда М.О., дисперсия и СКО среднего арифметического этих с.в., соответственно, равны: M(Xср) = M[(X1 + X2 + … + Xn)] = a; D(Xср) = D[(X1 + X2 + … + Xn)] =  2; (Xср) = [(X1 + X2 + … + Xn)] = /n. Док-во: СРС.

Содержание слайда: §2. Распределения непрерывных случайных величин и их числовые характеристики Определение: (Интегральной) функцией распределения называют функцию F(X), определяющая вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значения, меньшее x, т.е. F(X) = P(X  x). Определение: Непрерывной называют случайную величину (н.с.в.) функция распределения которой является непрерывной, кусочно-гладкой функцией с кусочно-непрерывной производной. Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат промежутку [0; 1], т.е. F(x) изменяется в диапазоне 0  F(x)  1. Док-во: СРС. Свойство 2. Функции распределения является F(x) неубывающей: F(x1)  F(x2) при x1  x2. Док-во: СРС. Следствие 1. Вероятность того, что с.в. X примет значения X  [a; b]: P(a  X < b) = F(b)  F(a). Следствие 2. Вероятность того, что с.в. X примет конкретное фиксированное значение X = a равна нулю.

Содержание слайда: §2. Продолжение … Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат промежутку (a; b), тo F(x) = 0 при x  a и F(x) = 1 при x  b. Док-во: СРС. Определение: Графиком функции распределения называется представленная на координатной плоскости x-0-F(x) зависимость F(x) (в качестве примера см. рис.): Рис. Функция распределения: (а) F(x) = ½ + (1/)arctg(x); (б) F(x) = ½ + ¼x, x  [2; 2]. Прим. График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид; в этом случае так же, как и для н.с.в., 0  F(x)  1.

Содержание слайда: §2. Продолжение … Определение. Плотностью функции распределения (ПФР) вероятностей (дифференциальной функцией распределения) функцию f(x)  первую производную интегральной функции F(x): f(x) = F(x). Следствие. По плотности распределения f(x) путем интегрирования можно восстановить функцию распределения F(x): x F(x) =  f(x)dx.  Прим. Для дискретной случайной величины понятие плотности функции распределения f(x) не определено. Теорема. Вероятность того, что н.с.в. X примет значения X  [a; b) может быть найдена интегрированием от a до b: b P(a  X < b) =  f(x)dx. a Прим. Геометрически это соответствует нахождению площади под графиком ПФР f(x) на промежутке [a; b).

Содержание слайда: §2. Продолжение … Определение: График ПФР f(x) называют кривой распределения (вероятностей). Сформулируем свойства плотности функции распределения f(x). Свойство 1. Плотность функции распределения f(x) неотрицательная функция. Док-во: Функция распределения F(x) – неубывающая функция. Поэтому ее производная F(x) неотрицательна, ч.т.д. Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения f(x) в пределах от  до + равен единице (условие нормировки): +  f(x)dx = 1.  Свойство 3 (вероятностный смысл плотности распределения). Вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (x; x + dx), равна произведению плотности вероятности f(x) в точке x на ширину этого интервала dx: dP(X) = F(x + dx)  F(x) = f(x)dx.

Содержание слайда: §2. Продолжение …

Содержание слайда: §2. Продолжение … Пример 6. Продолжение решения … Вероятность того, что с.в. примет значения из интервала (¼; ½) найдем с помощью (интегральной) функции распределения F(x): P(¼ < x < ½) = F(½)  F(¼) = (½)2[3  2½]  (¼)2[3  2 ¼] = 11/32. Графики функций f(x), F(x) представлены на рис. Рис. Плотность функции распределения: (а) f(x) = 6x(x  1) при x  [0; 1). Функция распределения (б) F(x) = x2[3  2x] при x  [0; 1). Ответ: Плотность распределения f(x) = 6x(x  1) при x  [0; 1), f(x) = 0 при x  [0; 1). Функция распределения F(x) = x2[3  2x] при x  [0; 1); F(x) = 0 при x  0; F(x) = 1 при x  1. Вероятность P(¼ < x < ½) = 11/32.

Содержание слайда: §2. Продолжение … Обобщим данные выше определения числовых характеристик распределения случайной величины на случай н.с.в. Определение: Математическим ожиданием M(X) непрерывной случайной величины X, называют величину интеграла: + M(X) =  xf(x)dx.  Определение: Дисперсией D(X) н.с.в. X, называют величину: + D(X) =  [x  M(X)]2f(x)dx.  Определение: Средним квадратичным (стандартным) отклонением (СКО) (X) н.с.в. X, называют квадратный корень из дисперсии: (X) = D(X). Замечание: Если фактическим диапазоном изменения ПФР f(X) является промежуток (a; b), т.е. f(x) отлично от тождественного нуля при x  (a; b), то несобственные интегралы в пределах от  до + в определениях M(X) и D(X) могут быть заменены определенными интегралами в пределах от a до b.

Содержание слайда: §2. Продолжение … Теорема (формула вычисления дисперсии н.с.в.). Дисперсия D(X) н.с.в. X может быть найдена по формуле: + D(X) =  x2f(x)dx  M2(X) = M(X2)  M2(X),  где математическое ожидание + M(X) =  xf(x)dx.  Док-во: Доказательство утверждения осуществляется путем цепочки преобразований, следующих непосредственно из определения дисперсии н.с.в.: + + D(X) =  [x  M(X)]2f(x)dx =  [x2  2xM(X) + M2(X)]f(x)dx =   + + + + =  x2f(x)dx  2M(X) xf(x)dx + M2(X)  f(x)dx =  x2f(x)dx  M2(X) =     = M(X2)  M2(X), ч.т.д.

Содержание слайда: §2. Продолжение … Определение: Равномерным на промежутке (a; b) называется распределение вероятностей, заданное ПФР f(X) вида: f(x) = С = Const при x  (a; b), f(x)  0 при x  (a; b). Найдем числовые характеристики равномерно распределенной с.в. X.  Нормировка: + b  f(x)dx =  Cdx = C(b  a) = 1, откуда C = 1/(b  a).  a  Математическое ожидание: + b M(X) =  xf(x)dx = [1/(ba)]  xdx = ½ (b2  a2)/(b  a) = ½ (b + a).  a  Дисперсия: + b D(X) =  x2f(x)dx  M2(X) = [1/(ba)]  x2dx  [½ (b + a)]2 =  a = ⅓ (b3  a3)/(b  a)  ¼ (b + a)2 =  (b  a)2.  СКО: (X) = D(X) = (b  a)/23.

Содержание слайда: §2. Продолжение … Пример 7. Найти числовые характеристики н.с.в. X, равномерно распределенной в промежутке от a = 1 до b = 5. Решение: Нормируем ПФР для равномерного на (1; 5) распределения: 5  Cdx = C(5  1) = 4C = 1, откуда C = ¼. 1 Так что ПФР f(x) = ¼ при x  (1; 5) и f(x)  0 при x  (1; 5) (см. рис.). Функция распределения F(X) равна F(x) = ¼(x  1) при x  (1; 5). 5 Математическое ожидание: M(X) = ¼  xdx = ¼½(52  12) = 3. 1 5 Дисперсия: D(X) = ¼  x2dx  M2(X) = ¼⅓(53  13)  3 = 7. 1 СКО: (X) = D(X) = 22/3  2,708.

Содержание слайда: §2. … продолжение Историческая справка: Иоганн Карл Фри́дрих Га́усс (нем. Johann Carl Friedrich Gauß; 30 апреля 1777, Брауншвейг  23 февраля 1855 г., Геттинген  Немецкий математик, астроном и физик, считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец — садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать, даже исправлял счётные ошибки отца. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат 101  50 = 5050. До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме. С учителем ему повезло: М. Бартельс (впоследствии учитель Лобачевского) оценил исключительный талант юного Гаусса и сумел выхлопотать ему стипендию от герцога Брауншвейгского. Это помогло Гауссу закончить колледж Collegium Carolinum в Брауншвейге (1792—1795).

Содержание слайда: §2. … продолжение Историческая справка: Карл Гаусс (продолжение) Свободно владея множеством языков, Гаусс некоторое время колебался в выборе между филологией и математикой, но предпочёл последнюю. Он очень любил латинский язык и значительную часть своих трудов написал на латыни; любил английскую, французскую и русскую литературу. В возрасте 62 лет Гаусс начал изучать русский язык, чтобы ознакомиться с трудами Лобачевского, и вполне преуспел в этом деле. В колледже Гаусс изучил труды Ньютона, Эйлера, Лагранжа. Уже там он сделал несколько открытий в теории чисел, в том числе доказал закон взаимности квадратичных вычетов. Лежандр, правда, открыл этот важнейший закон раньше, но строго доказать не сумел; Эйлеру это также не удалось. Кроме этого, Гаусс создал «метод наименьших квадратов» (тоже независимо открытый Лежандром) и начал исследования в области «нормального распределения ошибок». С 1795 по 1798 год Гаусс учился в Гёттингенском университете. Это наиболее плодотворный период в жизни Гаусса. 1796 год: Гаусс доказал возможность построения с помощью циркуля и линейки правильного семнадцатиугольника. Более того, он разрешил проблему построения правильных многоугольников до конца и нашёл критерий возможности построения правильного n-угольника с помощью циркуля и линейки: если n — простое число, то оно должно быть вида 22k + 1 (числом Ферма). Этим открытием Гаусс очень дорожил и завещал изобразить на его могиле правильный 17-угольник, вписанный в круг. С 1796 года Гаусс ведёт краткий дневник своих открытий. Многое он, подобно Ньютону, не публиковал, хотя это были результаты исключительной важности (эллиптические функции, неевклидова геометрия и др.). Своим друзьям он пояснял, что публикует только те результаты, которыми доволен и считает завершёнными. Многие отложенные или заброшенные им идеи позже воскресли в трудах Абеля, Якоби, Коши, Лобачевского и др. Кватернионы он тоже открыл за 30 лет до Гамильтона (назвав их «мутациями»). Все многочисленные опубликованные труды Гаусса содержат значительные результаты, сырых и проходных работ не было ни одной.

Содержание слайда: §2. … продолжение Историческая справка: Карл Гаусс (продолжение) 1798 год: закончен шедевр «Арифметические исследования» (лат. Disquisitiones Arithmeticae), напечатана только в 1801 году. В этом труде подробно излагается теория сравнений в современных (введенных им) обозначениях, решаются сравнения произвольного порядка, глубоко исследуются квадратичные формы, комплексные корни из единицы используются для построения правильных n-угольников, изложены свойства квадратичных вычетов, приведено его доказательство квадратичного закона взаимности и т. д. Гаусс любил говорить, что математика — царица наук, а теория чисел — царица математики. 1798—1816 годы В 1798 году Гаусс вернулся в Брауншвейг и жил там до 1807 года. Герцог продолжал опекать молодого гения. Он оплатил печать его докторской диссертации (1799) и пожаловал неплохую стипендию. В своей докторской Гаусс впервые доказал основную теорему алгебры. До Гаусса было много попыток это доказать, наиболее близко к цели подошёл Д'Аламбер. Гаусс неоднократно возвращался к этой теореме и дал 4 различных доказательства её. С 1799 года Гаусс — приват-доцент Брауншвейгского университета. 1801 год: избирается членом-корреспондентом Петербургской Академии наук. После 1801 года Гаусс, не порывая с теорией чисел, расширил круг своих интересов, включив в него и естественные науки. Катализатором послужило открытие малой планеты Церера (1801), вскоре после наблюдений потерянной. 24-летний Гаусс проделал (за несколько часов) сложнейшие вычисления по новому, открытому им же методу, и указал место, где искать беглянку; там она, к общему восторгу, и была вскоре обнаружена. Слава Гаусса становится общеевропейской. Многие научные общества Европы избирают Гаусса своим членом, герцог увеличивает пособие, а интерес Гаусса к астрономии ещё более возрастает. .

Содержание слайда: §2. … продолжение Историческая справка: Карл Гаусс (продолжение) 1805 год: Гаусс женился на Иоганне Остгоф. У них было трое детей. 1806 год: от раны, полученной на войне с Наполеоном, умирает его великодушный покровитель-герцог. Несколько стран наперебой приглашают Гаусса на службу (в том числе в Петербург). По рекомендации Александра фон Гумбольдта Гаусса назначают профессором в Гёттингене и директором Гёттингенской обсерватории. Эту должность он занимал до самой смерти. 1807 год: наполеоновские войска занимают Гёттинген. Все граждане облагаются контрибуцией, в том числе огромную сумму — 2000 франков — требуется заплатить Гауссу. Ольберс и Лаплас тут же приходят ему на помощь, но Гаусс отклонил их деньги; тогда неизвестный из Франкфурта прислал ему 1000 гульденов, и этот дар пришлось принять. Только много позднее узнали, что неизвестным был курфюрст Майнцский, друг Гёте. 1809 год: новый шедевр, «Теория движения небесных тел». Изложена каноническая теория учёта возмущений орбит. Как раз в четвёртую годовщину свадьбы умирает Иоганна, вскоре после рождения третьего ребёнка. В Германии разруха и анархия. Это самые тяжёлые годы для Гаусса. 1810 год: новая женитьба, на Минне Вальдек, подруге Иоганны. Число детей Гаусса вскоре увеличивается до шести. 1810 год: новые почести. Гаусс получает премию Парижской академии наук и золотую медаль Лондонского королевского общества. 1811 год: появляется новая комета. Гаусс быстро и очень точно рассчитывает её орбиту. Начинает работу над комплексным анализом, открывает (но не публикует) теорему, позже переоткрытую Коши и Вейерштрассом: интеграл от аналитической функции по замкнутому контуру равен нулю. 1812 год: исследование гипергеометрического ряда, обобщающего разложение практически всех известных тогда функций. Знаменитую комету «пожара Москвы» (1812) всюду наблюдают, пользуясь вычислениями Гаусса. 1815 год: публикует первое строгое доказательство основной теоремы алгебры. . .

Содержание слайда: §2. … продолжение Историческая справка: Карл Гаусс (продолжение) 1816—1855 годы1821 год: в связи с работами по геодезии Гаусс начинает исторический цикл работ по теории поверхностей. В науку входит «гауссова кривизна». Положено начало дифференциальной геометрии. Именно результаты Гаусса вдохновили Римана на его классическую диссертацию о «римановой геометрии». Итогом изысканий Гаусса была работа «Исследования относительно кривых поверхностей» (1822). В ней свободно используются общие криволинейные координаты на поверхности. Гаусс далеко развил метод конформного отображения, которое в картографии сохраняет углы (но искажает расстояния); оно применяется также в аэро/гидродинамике и электростатике. 1824 год: избирается иностранным членом Петербургской Академии наук. Гаусс в 1828 г.1825 год: открывает гауссовы комплексные целые числа, строит для них теорию делимости и сравнений. Успешно применяет их для решения сравнений высоких степеней. Гаусс и Вебер. Скульптура в Гёттингене.1831 год: умирает вторая жена, у Гаусса начинается тяжелейшая бессонница. В Геттинген приезжает приглашённый по инициативе Гаусса 27-летний талантливый физик Вильгельм Вебер, с которым Гаусс познакомился в 1828 году, в гостях у Гумбольдта. Оба энтузиаста науки сдружились, несмотря на разницу в возрасте, и начинают цикл исследований электромагнетизма. 1832 год: «Теория биквадратичных вычетов». С помощью тех же целых комплексных гауссовых чисел доказываются важные арифметические теоремы не только для комплексных, но и для вещественных чисел. Здесь же он приводит геометрическую интерпретацию комплексных чисел, которая с этого момента становится общепринятой. 1833 год: Гаусс изобретает электрический телеграф и (вместе с Вебером) строит его действующую модель. 1837 год: Вебера увольняют за отказ принести присягу новому королю Ганновера. Гаусс вновь остался в одиночестве.

Содержание слайда: §2. … продолжение Историческая справка: Карл Гаусс (продолжение) 1839 год: 62-летний Гаусс овладевает русским языком и в письмах в Петербургскую Академию просил прислать ему русские журналы и книги, в частности «Капитанскую дочку» Пушкина. Предполагают, что это связано с работами Лобачевского. В 1842 году по рекомендации Гаусса Лобачевский избирается иностранным членом-корреспондентом Гёттингенского королевского общества. Умер Гаусс 23 февраля 1855 года в Гёттингене. Современники вспоминают Гаусса как жизнерадостного, дружелюбного человека, с отличным чувством юмора.

Содержание слайда: Спасибо за внимание! Данный раздел закончен. Ваши вопросы, замечания, предложения …