Презентация Многомерные случайные величины онлайн

Содержание слайда:

Содержание слайда: Пусть имеется пространство элементарных событий U, на нем построено поле событий и для каждого события А из этого поля определена вероятность Р(А). Пусть имеется пространство элементарных событий U, на нем построено поле событий и для каждого события А из этого поля определена вероятность Р(А). Каждому элементарному событию gi из U сопоставим несколько чисел: ξ i1 , ξ i2 , ξ i3 , ... ξ ik  или вектор ξi. Потребуем, чтобы для любых хj ( -∞ < хj <+∞ ) , j = 1, 2 ... k , множество А тех g , для которых ξ j < хj ( j = 1, 2, ... k) , принадлежало полю событий, т.е. для него определена вероятность Р{ ξ 1 < x1 ,  ξ 2 < x2 , ...  ξ k < xk } = P(A) = F( x1, x2,  ... xk ). Тогда ξ называется многомерной случайной величиной, или случайным вектором, а F( x1, x2,  ... xk ) ее функцией распределения.

Содержание слайда: 1 .   Координаты молекулы, находящейся в сосуде с газом, (x,y,z) или компоненты ее скорости (Vx,Vy,Vz) - можно рассматривать как трехмерные случайные величины 1 .   Координаты молекулы, находящейся в сосуде с газом, (x,y,z) или компоненты ее скорости (Vx,Vy,Vz) - можно рассматривать как трехмерные случайные величины

Содержание слайда: 2 .   В задаче "о встрече" время прихода одного участника (х1) и другого (х2), если условия их прихода известны (скажем - любой момент в течение заданного часа), пару чисел х1, х2 можно рассматривать как двумерную случайную величину 2 .   В задаче "о встрече" время прихода одного участника (х1) и другого (х2), если условия их прихода известны (скажем - любой момент в течение заданного часа), пару чисел х1, х2 можно рассматривать как двумерную случайную величину

Содержание слайда: 3 .   Результат эксперимента, состоящего в измерении показателя преломления раствора в зависимости от концентрации уксусной кислоты можно рассматривать как девятимерную случайную величину 3 .   Результат эксперимента, состоящего в измерении показателя преломления раствора в зависимости от концентрации уксусной кислоты можно рассматривать как девятимерную случайную величину

Содержание слайда: 1 .   F( x1, x2,  ... xk-1,- ∞) = 0, т.е. если хоть один из аргументов принимает значение -∞, то F=0. 1 .   F( x1, x2,  ... xk-1,- ∞) = 0, т.е. если хоть один из аргументов принимает значение -∞, то F=0. 2 .   F( x1, x2,  ... xk ) не убывающая функция любого аргумента 3. F( x1, x2,  ... xk-1, ∞) = F( x1, x2,  ... xk-1 ), т.е. если один из аргументов принимает значение ∞, то размерность случайной величины уменьшается на 1.

Содержание слайда: Многомерные случайные величины могут быть непрерывными, т.е. принимать любые значения в некоторой области к-мерного пространства (например, упомянутые выше компоненты скорости молекулы). Многомерные случайные величины могут быть непрерывными, т.е. принимать любые значения в некоторой области к-мерного пространства (например, упомянутые выше компоненты скорости молекулы). У них F( x1, x2,  ... xk ) непрерывная функция всех аргументов. Для них определена к-мерная плотность распределения p( x1, x2,  ... xk ), которая есть производная от функци распределения.

Содержание слайда: Вероятность того, что случайный вектор примет значение, лежащее в области V к-мерного пространства, равна интегралу по этой области от к-мерной плотности распределения. Интеграл по всем переменным от - ∞ до + ∞ от к-мерной плотности распределения равен 1. Вероятность того, что случайный вектор примет значение, лежащее в области V к-мерного пространства, равна интегралу по этой области от к-мерной плотности распределения. Интеграл по всем переменным от - ∞ до + ∞ от к-мерной плотности распределения равен 1. Интеграл по одной переменной от - ∞ до + ∞ от к-мерной плотности распределения равен плотности распределения (к-1)-мерной случайной величины. Например:

Содержание слайда: Многомерные случайные величины могут быть дискретными, т.е. каждая компонента случайного вектора может принимать только конечное или счетное множество определенных значений. Например, рассмотрим эксперимент по бросанию одновременно двух костей, с каждым элементарным событием свяжем два числа ( z1, z2 ), где z1 - число очков на первой кости, z2 - сумма очков на двух костях. Тогда ( z1, z2 ) - двумерная случайная величина, поскольку известна вероятность р( хi, хk ) пересечения событий, состоящих в том, что z1 примет значение хi, а z2 - хk . Для дискретных случайных величин закон распределения задается вероятностями всевозможных комбинаций их значений. Для двумерной величины при небольшом числе возможных значений это удобно представить в виде таблицы, где на пересечении столбца z1 и строки z2 стоит вероятность р( z1, z2 ) Многомерные случайные величины могут быть дискретными, т.е. каждая компонента случайного вектора может принимать только конечное или счетное множество определенных значений. Например, рассмотрим эксперимент по бросанию одновременно двух костей, с каждым элементарным событием свяжем два числа ( z1, z2 ), где z1 - число очков на первой кости, z2 - сумма очков на двух костях. Тогда ( z1, z2 ) - двумерная случайная величина, поскольку известна вероятность р( хi, хk ) пересечения событий, состоящих в том, что z1 примет значение хi, а z2 - хk . Для дискретных случайных величин закон распределения задается вероятностями всевозможных комбинаций их значений. Для двумерной величины при небольшом числе возможных значений это удобно представить в виде таблицы, где на пересечении столбца z1 и строки z2 стоит вероятность р( z1, z2 )

Содержание слайда:

Содержание слайда: Просуммировав все значения р( z1, z2 ) вдоль каждой строки, мы получим вероятности определенных значений z2 , т.е. закон распределения одномерной величины z2 . Аналогично, сумма по столбцам даст закон распределения одномерной величины z1 . Сумма всех чисел в таблице должна быть равна 1 . Просуммировав все значения р( z1, z2 ) вдоль каждой строки, мы получим вероятности определенных значений z2 , т.е. закон распределения одномерной величины z2 . Аналогично, сумма по столбцам даст закон распределения одномерной величины z1 . Сумма всех чисел в таблице должна быть равна 1 .

Содержание слайда: Дисперсия многомерной случайной величины описывается ковариационной матрицей . Это таблица чисел размерности К×К для К-мерной величины, у которой на диагонали стоят дисперсии соответствующих одномерных величин, вычисляемых обычным образом, а ij-тым элементом является bij - коэффициент ковариации i-той и j-той компоненты случайного вектора. Дисперсия многомерной случайной величины описывается ковариационной матрицей . Это таблица чисел размерности К×К для К-мерной величины, у которой на диагонали стоят дисперсии соответствующих одномерных величин, вычисляемых обычным образом, а ij-тым элементом является bij - коэффициент ковариации i-той и j-той компоненты случайного вектора.

Содержание слайда: Коэффициент ковариации случайных величин zi , zj , обозначаемый иногда как cov(zi,zj), есть математическое ожидание произведения отклонений каждой из этих величин от своего математического ожидания: Коэффициент ковариации случайных величин zi , zj , обозначаемый иногда как cov(zi,zj), есть математическое ожидание произведения отклонений каждой из этих величин от своего математического ожидания:

Содержание слайда: для дискретных величин: для дискретных величин:

Содержание слайда: Часто используется понятие: коэффициент корреляции rij - это коэффициент ковариации, деленный на корень из произведения дисперсий Часто используется понятие: коэффициент корреляции rij - это коэффициент ковариации, деленный на корень из произведения дисперсий i-той и j-той компонент случайного вектора

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Нормальное распределение -наиболее распростра-ненное в природе распределение случайных величин. Математическим обоснованием этого факта служит центральная предельная теорема: Нормальное распределение -наиболее распростра-ненное в природе распределение случайных величин. Математическим обоснованием этого факта служит центральная предельная теорема:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Если элементарному событию сопоставляется не набор чисел ( случайный вектор), а функция некоторого параметра t - f(t) и при каждом значении t определена функция распределения F t (x)=P{f(t)<x}, то f(t) называется случайной функцией или случайным процессом. Если элементарному событию сопоставляется не набор чисел ( случайный вектор), а функция некоторого параметра t - f(t) и при каждом значении t определена функция распределения F t (x)=P{f(t)<x}, то f(t) называется случайной функцией или случайным процессом.

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: