Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
Тип файла:
ppt / pptx (powerpoint)
Всего слайдов:
14 слайдов
Для класса:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
Размер файла:
1.49 MB
Просмотров:
70
Скачиваний:
0
Автор:
неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
№2 слайд
Содержание слайда: ПЛАН
1. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условие Коши-Римана.
2. Аналитическая функция. Дифференциал.
3. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном изображении.
.
№3 слайд
Содержание слайда: 1. Дифференцирование функции комплексного переменного.
Пусть однозначная функция определена в некоторой окрестности точки включая и саму точку. Тогда предел
если он существует, называется производной функции в точке , а функция называется дифференцируемой в точке .
Заметим, что любым образом стремится к нулю, т.е. точка может приближаться к по любому из бесконечного множества различных направлений.
№4 слайд
Содержание слайда: Из дифференцируемости функции в некоторой точке следует ее непрерывность в этой точке (отношение при может стремиться к конечному пределу лишь при условии, что Обратное утверждение не имеет смысла.
Из дифференцируемости функции в некоторой точке следует ее непрерывность в этой точке (отношение при может стремиться к конечному пределу лишь при условии, что Обратное утверждение не имеет смысла.
При каких условиях функция будет дифференцируемой в данной точке?
Теорема. Если функция определена в некоторой окрестности точки , причем в этой точке действительные функции и дифференцируемы, то для дифференцируемости функции в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись равенства
Эти равенства называются Условиями Коши-Римана (или Эйлера-Даламбера).
№5 слайд
Содержание слайда: Необходимость
Необходимость
Пусть функция дифференцируема в точке , тогда существует и не зависит от пути, по которому Можно считать, что точка приближаться к точке по прямой, параллельной действительной оси (оси Ох), т.е. Тогда
№6 слайд
Содержание слайда: Если же точка приближаться к точке по прямой, параллельной мнимой оси (оси Оy), т.е. Тогда
Если же точка приближаться к точке по прямой, параллельной мнимой оси (оси Оy), т.е. Тогда
Сравнив найденные пределы, получим
Отсюда следует: .
№7 слайд
Содержание слайда: Достаточность.
Достаточность.
Пусть теперь условия Коши-Римана выполняются. Докажем, что функция дифференцируема.
Так как функции и дифференцируемы в точке то их приращения можно представить в виде где и - бесконечно малые более высокого порядка. Чем Тогда
. Заменяя в числителе , на , получим
№8 слайд
Содержание слайда: , где .
, где .
Т.е.
а - бесконечно малая высшего порядка относительно . Отсюда следует, что существует. При этом ч.т.д.
С учетом условий Коши-Римана производную дифференцируемой функции можно находить по формулам:
№9 слайд
Содержание слайда: Правила дифференцирования функций действительного переменного справедливы и для функций комплексного переменного, дифференцируемых в точке .
Правила дифференцирования функций действительного переменного справедливы и для функций комплексного переменного, дифференцируемых в точке .
2. Аналитическая функция. Дифференциал.
Фундаментальным понятием в ТФКП является понятие аналитической функции.
Однозначная функция называется аналитической в точке z, если она дифференцируема (выполнены условия Коши-Римана) в некоторой окрестности этой точки. Функция называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке
Точки плоскости в которых однозначная функция аналитична, называются правильными точками Точки, в которых функция не является аналитической, называются особыми точками функции.
№10 слайд
Содержание слайда: Пусть функция аналитична в точке z. Тогда
Пусть функция аналитична в точке z. Тогда
. Отсюда следует, что где при . Тогда приращение функции можно записать так . Если , то первое слагаемое является при бесконечно малой того же порядка, что и второе слагаемое есть бесконечно малая более высокого порядка, чем . Следовательно, первое слагаемое составляет главную часть приращения функции Дифференциалом d аналитической функции в точке называется главная часть её приращения, т.е. d, или d
Замечание. Если функция аналитична в некоторой области D, то функции удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа Функции u и v являются гармоническими функциями.
№11 слайд
Содержание слайда: Пример. Проверить, является ли функция аналитической. Найти её производную.
Пример. Проверить, является ли функция аналитической. Найти её производную.
Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном изображении
Пусть функция аналитична в точке и
Функция отображает точку плоскости в точку плоскости . Пусть произвольная точка из окрестности точки перемещается к точке по некоторой непрерывной кривой l. Тогда в плоскости соответствующая точка будет перемещаться к точке по некоторой кривой L, являющейся отображением кривой l в плоскости .
По определению производной . Отсюда следует, что
№12 слайд
Содержание слайда: Величина представляет собой расстояние между точками и , а - расстояние между точками и . Следовательно, есть предел отношения бесконечно малого расстояния между отображенными точками и к бесконечно малому расстоянию между точками и . Этот предел не зависит от выбора кривой l, проходящей через точку . Следовательно, предел в точке постоянен, т.е. одинаков во всех направлениях.
Величина представляет собой расстояние между точками и , а - расстояние между точками и . Следовательно, есть предел отношения бесконечно малого расстояния между отображенными точками и к бесконечно малому расстоянию между точками и . Этот предел не зависит от выбора кривой l, проходящей через точку . Следовательно, предел в точке постоянен, т.е. одинаков во всех направлениях.
Геометрический смысл модуля производной: величина определяет коэффициент растяжения (подобия) в точке при отображении Величину называют коэффициентом растяжения, если или коэффициентом сжатия, если
Пример. Найти коэффициент растяжения (сжатия) для функции в точке .
№13 слайд
Содержание слайда: Для аргумента производной в точке имеем:
Для аргумента производной в точке имеем:
где и - углы, которые образуют касательные к кривым l и L соответственно в точках и с положительными направлениями действительных осей на плоскостях и .
Отсюда Это означает, что - это угол, на который нужно повернуть касательную к кривой l в точке , для того, чтобы получить направление касательной к кривой L в точке .
Геометрический смысл аргумента производной: - это угол между отображенным и первоначальным направлениями касательных к кривым l и L в точках и соответственно.
№14 слайд
Содержание слайда: В силу аналитичности функции в точке угол один и тот же для всех кривых, проходящих через точку . Для другой пары кривых и в тех же точках и будем иметь . Таким образом , т.е. если кривые и образуют в точке на плоскости угол , то такой же угол будут образовывать точке кривые и являющиеся отображениями кривых и на плоскости .
В силу аналитичности функции в точке угол один и тот же для всех кривых, проходящих через точку . Для другой пары кривых и в тех же точках и будем иметь . Таким образом , т.е. если кривые и образуют в точке на плоскости угол , то такой же угол будут образовывать точке кривые и являющиеся отображениями кривых и на плоскости .
Это свойство отображения называют свойством сохранения (консерватизма) углов в точке
Отображение , обладающее свойством сохранения углов и постоянством растяжений в точке , называется конформным (т.е. отображением, сохраняющим форму).