Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
Тип файла:
ppt / pptx (powerpoint)
Всего слайдов:
18 слайдов
Для класса:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
Размер файла:
1.81 MB
Просмотров:
67
Скачиваний:
0
Автор:
неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
№2 слайд
Содержание слайда: ПЛАН
1. Основные понятия.
2. Предел и непрерывность ФКП.
3. Основные элементарные функции комплексного переменного и их свойства.
№3 слайд
Содержание слайда: 1. Основные понятия
1. Основные понятия
Пусть даны два множества и , элементами которых являются комплексные числа. Числа множества будем изображать точками комплексной плоскости , а числа множества - точками комплексной плоскости
Если каждому числу по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное число то говорят, что на множестве определена однозначная функция комплексного переменного , отображающая множество в множество .
№4 слайд
Содержание слайда: Если каждому соответствует несколько значений то функция называется многозначной.
Если каждому соответствует несколько значений то функция называется многозначной.
Множество называется областью определения функции ; множество всех значений , которые принимает на , называется областью значений этой функции (если же каждая точка множества является значением функции, то – область значений функции; в этом случае функция отображает на
В дальнейшем будем рассматривать такие функции , для которых и являются областями (обладают свойствами открытости и связности).
№5 слайд
Содержание слайда: Точка называется внутренней точкой множества если существует такая – окрестность этой точки, что все точки из этой окрестности принадлежат множеству .
Точка называется внутренней точкой множества если существует такая – окрестность этой точки, что все точки из этой окрестности принадлежат множеству .
Точка называется внешней точкой множества если существует такая – окрестность этой точки, что все точки из этой окрестности не принадлежат множеству .
Точка называется граничной точкой множества если в её любой – окрестность содержатся как точки принадлежащие так и не принадлежащие множеству .
Совокупность всех граничных точек множества называется границей множества .
№6 слайд
Содержание слайда: Множество называется открытым, если оно состоит только из внутренних точек.
Множество называется открытым, если оно состоит только из внутренних точек.
Множество называется замкнутым, если кроме внутренних точек оно содержит и все свои граничные точки.
Если область ограничена замкнутой не самопересекающейся линией , то она называется односвязной.
Если область ограничена двумя замкнутыми не пересекающимися и не самопересекающимися линиями и , то она называется двусвязной. Если вырождается в точку или в непрерывную дугу, то область все равно двусвязная.
№7 слайд
Содержание слайда: Функцию можно записать в виде
Функцию можно записать в виде
, т.е.
где – действительная
часть функции , а -
мнимая часть функции
Таким образом, задание функции
комплексного переменного равносильно заданию
двух функций двух действительных переменных.
Пример. Найти действительную и мнимую части
функции .
№8 слайд
Содержание слайда: 2.Предел и непрерывность ФКП.
2.Предел и непрерывность ФКП.
Пусть однозначная функция определена в некоторой окрестности точки исключая, может быть саму точку .
Число А называется пределом функции в точке , если для любого положительного найдется такое положительное число , что для всех удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство Записывают:
Из определения следует, что если предел А существует, то существуют и пределы и . Верно и обратное утверждение.
№9 слайд
Содержание слайда: Теоремы об арифметических свойствах пределов для функций одного (или нескольких) действительного переменного остаются справедливыми и для функции комплексного переменного.
Теоремы об арифметических свойствах пределов для функций одного (или нескольких) действительного переменного остаются справедливыми и для функции комплексного переменного.
Пусть функция определена в точке и в некоторой ее окрестности.
Функция называется непрерывной в точке , если
Функция непрерывна в области , если она непрерывна в каждой точки этой области.
№10 слайд
Содержание слайда: 3. Основные элементарные функции комплексного переменного.
3. Основные элементарные функции комплексного переменного.
Показательная функция
Показательная функция определяется формулой
Если то (формула Эйлера).
Свойства показательной функции:
1) Если , то
2)
3) периодическая функция с периодом .
(доказать самостоятельно)
№11 слайд
Содержание слайда: Из формулы Эйлера следуют равенства:
Из формулы Эйлера следуют равенства:
Докажем второе равенство.
Из второй формулы видно, что показательная функция
комплексного переменного не всегда больше
нуля.
№12 слайд
Содержание слайда: Логарифмическая функция
Логарифмическая функция
Логарифмическая функция определяется как обратная функция к показательной функции . Так как то логарифмическая функция определена на всей плоскости , кроме точки (выражение имеет смысл).
Чтобы найти логарифм, нужно решить уравнение
относительно Пусть Подставим в уравнение, получим ; тогда , а Следовательно
Т.о..
№13 слайд
Содержание слайда: Логарифмическая функция многозначная.
Логарифмическая функция многозначная.
(Почему?) Однозначную ветвь этой функции можно выделить, подставив в формулу определенное значение к. Положив к=0, получим однозначную функцию, которая называется главным значением логарифма и обозначается символом , где
Свойства логарифмической функции:
1) ;
2) ;
3)
4)
№14 слайд
Содержание слайда: Степенная функция
Степенная функция
Если п-натуральное число, то степенная функция определяется равенством . Функция - однозначная.
Если то в этом случае
,где
Здесь функция есть многозначная(-значная) функция.
Если , то степенная функция определяется равенством .
Функция - многозначная.
№15 слайд
Содержание слайда: Степенная функция с произвольным комплексным показателем определяется равенством
Степенная функция с произвольным комплексным показателем определяется равенством
.
Функция определена для всех является многозначной функцией.
Так, где . При имеем: .
№16 слайд
Содержание слайда: Тригонометрические функции
Тригонометрические функции
Тригонометрические функции комплексного аргумента определяются равенством
, ,
При действительных эти определения приводят к тригонометрическим функциям действительного переменного.
Тригонометрические функции комплексного переменного сохраняют многие свойства тригонометрических функций действительного переменного.
и т.д.
№17 слайд
Содержание слайда: Гиперболические функции
Гиперболические функции
Эти функции определяются равенствами
, ,
Заменяя в указанных функциях на , получим:
или
Пользуясь этим равенствами можно получить ряд формул, связывающих гиперболические функции. Так заменяя в формуле тригонометрические функции гиперболическими, получим
Из определения гиперболических функций следует, что функции и периодические с периодом функции , и имеют период
№18 слайд
Содержание слайда: Обратные тригонометрические функции
Обратные тригонометрические функции
Число называется арксинусом числа , если и обозначается . Используя определение синуса, получим:
(фун-я мнгоозначная). Можно показать, что
,
Спасибо за внимание!