Презентация Экстремум функции нескольких переменных. (Лекция 4) онлайн

Содержание слайда: Математика 2 семестр. Лекция 4. Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения в замкнутой области.

Содержание слайда: Экстремум функции нескольких переменных. Пусть функция z = f (x;y) определена в некоторой области D и точка М0(x0,y0)  D. Точка М0 называется точкой максимума функции z = f (x;y), если для любой точки М(x,y), принадлежащей  - окрестности точки М0 и такой, что ММ0 выполняется неравенство f(М) < f(М0). Точка М0 называется точкой минимума функции z = f (x;y), если для любой точки М(x,y), принадлежащей  - окрестности точки М0 и такой, что ММ0 выполняется неравенство f(М) > f(М0). Следовательно, в точке максимума функция z = f(x;y) принимает значение наибольшее, а в точке минимума – наименьшее по сравнению с ее значениями во всех достаточно близких точках. Максимум и минимум функции называются ее экстремумами и обозначают max f(x,y) и min f(x,y).

Содержание слайда: Теорема(необходимые условия существования экстремума). Если дифференцируемая функция z = f(x;y) имеет в точке М0(x0;y0) экстремум, то обе первые частные производные в этой точке равны нулю. Доказательство. Пусть в точке М0(x0;y0) функция z = f(x;y) имеет экстремум. Положим у = у0 и рассмотрим функцию одного переменного х: f(x,y0) = φ(x). Очевидно, что точка х = х0 является точкой экстремума для функции φ(x) и поэтому производная от нее в точке х0 (если производная существует) должна обращаться в нуль: φ′(x0) = f′x(x0,y0)=0. Аналогично, положив х=х0, и рассматривая функцию одного переменного у: f(x0,y) = ψ(y), получим, что в точке экстремума ψ′(y0) = f′y(x0,y0)=0 (согласно необходимому условию функции одной переменной).

Содержание слайда: Критические точки функции двух переменных. Точки, в которых выполняются необходимые условия экстремума называются критическими или стационарными. В критических точках (также как и для функции одной переменной) функция двух переменных z = f (x;y) может иметь экстремум, а может и не иметь. Для нахождения экстремума функции необходимо каждую критическую точку дополнительно исследовать с помощью достаточного признака.

Содержание слайда: Теорема (достаточные условия существования экстремума) Пусть в стационарной точке М0(x0;y0) и некоторой ее окрестности функция z = f (x,y) имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков и обозначим А= (x0,y0); В= (x0,y0); С= (x0,y0); =АС-В2. Тогда в точке М0 функция z = f (x,y): имеет минимум, если >0 и А > 0; имеет максимум, если > 0 и А < 0; не имеет экстремума, если <0. вопрос о наличии экстремума остается открытым, если =0. Необходимы дополнительные исследования; Без доказательства.

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Точка М называется внутренней точкой множества G, если существует δ - окрестность точки М, целиком принадлежащая множеству G. Точка М0 называется граничной точкой множества G, если в любой δ - окрестности точки М0 содержатся точки, как принадлежащие множеству G, так и не принадлежащие ему. Совокупность всех граничных точек множества G называется его границей Г. Множество G называется открытой областью или областью, если все его точки – внутренние и любые две точки множества G (точки M и N рис.4) можно соединить непрерывной кривой, также лежащей внутри G. Открытая область с присоединенной границей Г называется замкнутой областью.

Содержание слайда: Область называется ограниченной, если она целиком содержится внутри круга (или шара) достаточно большого радиуса. Область называется ограниченной, если она целиком содержится внутри круга (или шара) достаточно большого радиуса. Функция z = f(x;y) = f(М) называется непрерывной в открытой или замкнутой области, если она непрерывна в каждой точке этой области. Если функция z = f(М) непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области: - имеет наибольшее и наименьшее значения; - ограничена:│f(M)│≤ К (К - положительное число); - принимает в этой области все значения, заключенные между наименьшими и наибольшими ее значениями.

Содержание слайда: Наибольшее и наименьшее значения в замкнутой области. Отметим, что кроме экстремальных значений функции z = f(x;y) (так называемых локальных экстремумов) можно отыскивать наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области (глобальный экстремум). При этом, например, наибольшее значение может не совпадать ни с одним из максимумов и достигаться на границе области. Пусть z = f(x;y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D, тогда среди значений функции заведомо имеется наибольшее и наименьшее. Правило нахождения этих значений: Найти все стационарные точки функции внутри области D и на ее границе и вычислить значения функции в них. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее M и наименьшее m.

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Содержание слайда: Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Содержание слайда: Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Содержание слайда: Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Содержание слайда: Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Содержание слайда: Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Содержание слайда: Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Содержание слайда:

Содержание слайда: Литература. Боронина Е.Б. Математический анализ [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Боронина Е.Б.— Электрон. Текстовые данные.— Саратов: Научная книга, 2012.— 159 c.— Режим доступа: http://www. iprbooksho p.ru/6298. — ЭБС «IPRbooks» Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс [Текст] : [учебное пособие] / Д. Т. Письменный. - 9-е изд. - Москва : Айрис-пресс, 2010. - 603 с. : ил., табл. - (Высшее образование). - ISBN 978-5-8112-4073-9 Шипачев, В. С. Курс высшей математики [Текст] : учебник для вузов / В. С. Шипачев ; под ред. А. Н. Тихонова ; - 4-е изд., испр. - Москва : Оникс, 2009. - 600 с. : ил. - ISBN 978-5-488-02067-2