Презентация Полный дифференциал функции нескольких переменных Лекция 2 онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Полный дифференциал функции нескольких переменных Лекция 2 абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 34 слайда. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:34 слайда
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:464.50 kB
- Просмотров:95
- Скачиваний:0
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: Полный дифференциал функции нескольких переменных
Лекция 2
№2 слайд
Содержание слайда: Полное приращение функции 2-х переменных
Если обеим переменным дать приращение, то функция получит полное приращение
№3 слайд
Содержание слайда: Определение дифференцируемой функции
Функция называется дифференцируемой в точке М(х,у), если ее полное приращение можно представить в виде
,
где Δx и Δy -произвольные приращения аргументов х и у в некоторой окрестности точки М(х,у), А и В –постоянные, независящие от Δx и Δy , o(ρ)-бесконечно малая более высокого порядка, чем
-расстояние между М(х,у) и
№4 слайд
Содержание слайда: Определение дифференциала
Главная линейная относительно Δx и Δy часть полного приращения функции
называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz или df(x,y) . Таким образом, .
№5 слайд
Содержание слайда: Формула для вычисления дифференциала
Если функция дифференцируема в точке М(х,у),то она имеет в этой точке частные производные и , причем =А, а =В .
Так что,
.
Если положить ,то
№6 слайд
Содержание слайда: При малых , то есть
,
или
.
Пример. Вычислить приближенно
.
№7 слайд
Содержание слайда: Дифференциалы высшего порядка
Дифференциалом второго порядка функции z=f(x,y) называется
Вообще:
Если х и у независимые переменные, то .
№8 слайд
Содержание слайда: Экстремумы функции двух переменных
Определение. Говорят, что в точке функция f (x,y) имеет максимум, если cуществует такая окрестность этой точки, что для всех точек P(x,y) этой окрестности, отличных от , выполнено неравенство
Аналогично определяется минимум функции.
Минимум и максимум функции называются ее экстремумами.
№9 слайд
Содержание слайда: Экстремумы функции двух переменных
Теорема (необходимое условие экстремума). В точке экстремума функции нескольких переменных каждая ее частная производная либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых выполнены эти условия, называются критическими.
№10 слайд
Содержание слайда: Достаточные условия экстремума функции двух переменных
Теорема. Пусть функция z=f(x,y) определена и имеет непрерывные частные производные до 3-го порядка в некоторой окрестности точки , в которой . Если при этом в этой точке выполнено условие , то точка является точкой экстремума функции, причем точкой максимума, если , и точкой минимума, если
.
Если же в этой точке , то экстремума в точке нет.
В том случае, если в точке , теорема ответа не дает.
№11 слайд
Содержание слайда: Пример
Исследовать на экстремум функцию
№12 слайд
Содержание слайда: Наибольшее и наименьшее значения функции
Определение. Наименьшее или наибольшее значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом функции (абсолютным минимумом или абсолютным максимумом соответственно) в этой области.
№13 слайд
Содержание слайда: Известно, что непрерывная в замкнутой ограниченной области функция достигает в ней своих наибольшего и наименьшего значений.
Абсолютный экстремум достигается функцией либо в критических точках, либо на границе области.
№14 слайд
Содержание слайда: Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной области G, дифференцируема внутри этой области. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, нужно:
1)найти критические точки, принадлежащие этой области, и вычислить в них значения функции;
2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;
3)из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
№15 слайд
Содержание слайда: Пример
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
в треугольнике, ограниченном прямыми
№16 слайд
Содержание слайда: Скалярное поле
Лекция 3
№17 слайд
Содержание слайда: Основные определения
Пусть в области D пространства Охуz задана функция u=u(х,у,z). В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле, а саму функцию u=u(х,у,z)называют функцией поля. Например, поле давлений, температур и т.д.
№18 слайд
Содержание слайда: Основные определения
Множество точек М области D, для которых скалярное поле сохраняет постоянное значение, т. е. u(М)=С, называется поверхностью уровня ( или изоповерхностью) скалярного поля.
№19 слайд
Содержание слайда: Если область D расположена на плоскости Оху, то поле u=u(х,у) является плоским.
Поверхности уровня называют в этом случае линиями уровня.
№20 слайд
Содержание слайда: Пусть
№21 слайд
Содержание слайда: Линии уровня
Пусть . Линии уровня этой поверхности имеют вид
№22 слайд
Содержание слайда: Пусть дан конус
№23 слайд
Содержание слайда: Линии уровня конуса
№24 слайд
Содержание слайда: Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля.
Рассмотрим точку этого поля и луч , выходящий из точки P в направлении единичного вектора
где –углы, образованные вектором с осями координат .
№25 слайд
Содержание слайда: Определение
№26 слайд
Содержание слайда: Производной функции
в точке P по направлению называется предел отношения приращения функции в направлении
к величине перемещения
при : .
№27 слайд
Содержание слайда: Вычисление производной по направлению
Формула вычисления производной по направлению:
№28 слайд
Содержание слайда: Градиент скалярного поля
Градиентом скалярного поля u=u(x,y,z), где u=u(x,y,z)-дифференцируемая функция, называется вектор с координатами
.
Таким образом,
или .
№29 слайд
Содержание слайда: Пример
Найти градиент функции u= в точке M(6,2,3).
Решение. Вычислим градиент функции.
Тогда grad u = + +
А в точке М
№30 слайд
Содержание слайда: Направление градиента
Теорема. Производная функции по направлению равна проекции градиента этой функции на данное направление (в соответствующей точке).
№31 слайд
Содержание слайда: Направление градиента
Так как производная по направлению представляет собой скорость изменения функции в данном направлении , а проекция вектора на другой вектор имеет максимальное значение, если оба вектора совпадают по направлению, то
градиент функции в данной точке указывает направление наиболее быстрого возрастания функции.
№32 слайд
Содержание слайда: Величина градиента плоского скалярного поля
Величина градиента плоского скалярного поля ,т.е.
grad u =
обозначается tg и определяет крутизну наибольшего ската или подъема поверхности u = f (x, y).
№33 слайд
Содержание слайда: Градиент скалярного поля в данной точке по величине и направлению равен максимальной скорости изменения поля в этой точке, т. е.
,
где .
№34 слайд
Содержание слайда: Направление градиента
Точка Р, в которой gradu(P)=0, называется особой точкой скалярного поля. В противном случае эту точку называют неособой или обыкновенной точкой поля.
Теорема. Во всякой неособой точке плоского скалярного поля градиент поля направлен по нормали к линии уровня , проходящей через эту точку, в сторону возрастания поля.
Скачать все slide презентации Полный дифференциал функции нескольких переменных Лекция 2 одним архивом:
