Презентация Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2) онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2) абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 26 слайдов. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:26 слайдов
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:1.63 MB
- Просмотров:87
- Скачиваний:2
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: Интегрирование некоторых функций
Лекция 2.
№2 слайд
Содержание слайда: I. Интегрирование дробно-рациональных функций
Опр. Дробной рациональной функцией называют частное от деления двух многочленов.
При этом можно считать, что степень многочлена, стоящего в числителе, ниже степени многочлена в знаменателе (в противном случае, можно выделить целую часть, разделив "углом" числитель на знаменатель).
Пример. = + Тогда интеграл от исходной дроби сведется к сумме интегралов от многочлена и правильной дроби.
№3 слайд
Содержание слайда: Как известно из теории многочленов, каждый многочлен может быть представлен в виде произведения многочленов (разложен на множители) первой и/или второй степени в зависимости от того, действительные или комплексные у него корни, причем кратным корням отвечают одинаковые множители. В соответствии с этим, рациональная дробь представляется в виде суммы некоторого количества выражений следующих видов:
,
где А, С , N, где ‑ трехчлен с действительными коэффициентами не имеет действительных корней (D < 0).
№4 слайд
Содержание слайда: Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби. Метод неопределённых коэффициентов.
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. Общее правило интегрирования дробей.
1) Разложим знаменатель на линейные и квадратичные множители: = ((‒1)( 1).
2) Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби: = + + +
3) Приведем правую часть к общему знаменателю и освободимся от знаменателя:
1 () + ) +()++‒.
1 + + ) + (++)+ ()‒ .
№5 слайд
Содержание слайда: Пример
4) Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях полученного тождества и решим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов:
│ + + = 0,
│ ++ = 0,
│ = 0,
│‒ = 1.
Отсюда получим: = ‒ 1, = 0, = , = ‒ , = .
Тогда получим: = + +
№6 слайд
Содержание слайда: Пример
5) = + +
= + ln││‒ =
= + ln││‒ +
= + ln││‒ ln││+ =
= + ln││‒ ln││+ · arctg + C =
= + ln││‒ ln││+ arctg + C.
№7 слайд
Содержание слайда: Интегралы от простейших дробей:
1 тип: = ln││+C
(подстановка ).
2 тип:
(применяется та же подстановка).
3 тип: Следующий интеграл находится путем такого преобразования:
№8 слайд
Содержание слайда: Интегрирование дробно-рациональных функций
Произвольную постоянную здесь можно опускать, пока в правой части равенства есть хоть один интеграл. Первый из интегралов найден с помощью подстановки: .
Оставшийся интеграл путем несложных преобразований (выделение полного квадрата) легко привести к виду: ,
который приводится к табличному с помощью подстановки , что дает в результате
№9 слайд
Содержание слайда: Пример
Вычислить интеграл
Решение. Это интеграл 3-го типа, причем D < 0.
Получим = =
= ===
= = 2 =
= ln │ │ arctg + C =
= ln││ arctg + C .
№10 слайд
Содержание слайда: Интегрирование дробно-рациональных функций
4 тип: > 0.
Представим этот интеграл с помощью подстановки + = в виде суммы двух интегралов, один из которых легко берется:
А + ( ‒ )
= . Первый интеграл находится легко. Если второй интеграл проинтегрируем по частям, то получим рекуррентную формулу для вычисления интеграла для любого натурального числа :
= (· + ).
№11 слайд
Содержание слайда: Пример
Вычислить интеграл
Решение. Здесь = 1,
Так как = arctg + С, то
= (· + )=
= + = arctg + + ;
= (· + )=
= + = (arctg + ) + + +;
№12 слайд
Содержание слайда: II.Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций
Вычисление неопределённых интегралов типа сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой
tg = t,
которая называется универсальной тригонометрической подстановкой.
№13 слайд
Содержание слайда: Интегрирование тригонометрических функций
Для преобразования рациональных выражений от sin x, cos x, tg x, ctg x в алгебраические рациональные функции переменной t применяются следующие тригонометрические формулы:
№14 слайд
Содержание слайда: Интегрирование тригонометрических функций. Четность функций.
Тогда = =
где ) – рациональная функция от
Замечание. Обычно этот способ очень громоздкий, но он всегда приводит к результату. На практике применяют другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств и вида подынтегральной функции. В частности, удобны правила:
Если функция ) нечетна относительно , т.е. ) = ‒ ), то подстановка = ;
Если функция ) нечетна относительно , т.е. ) = ‒ ), то подстановка = ;
№15 слайд
Содержание слайда: 3) Если функция ) четна относительно , т.е. ) = ), то подстановка = ;
4) Для интеграла также применяется подстановка = .
Тогда = = arctgt, .
В этом случае применяют тригонометрические формулы:
= , = = =,
№16 слайд
Содержание слайда: Пример 1.
Вычислить интеграл .
Решение.
Используем универсальную тригонометрическую подстановку:
Так как = то
= = = 2 =‒ +С= =‒ +С.
№17 слайд
Содержание слайда: Пример 2.
Вычислить интеграл .
Решение.
= = =
= = arctg + С = arctg + С .
№18 слайд
Содержание слайда: Интегралы вида
1) Если – целое положительное нечетное число, то подстановка = ;
2) Если – целое положительное нечетное число, то подстановка = ;
3) Если – целые неотрицательные четные числа, то применяют формулы понижения степени: = , =
4) Если – целое отрицательное четное число, то подстановка .
№19 слайд
Содержание слайда: Пример 3.
Вычислить интеграл .
Решение.
=
==
= = = + = ‒ + ln│t│+C =
= ‒ + ln│tg │+C.
№20 слайд
Содержание слайда: Интегралы вида и
где – целое положительное число. Применяются формулы
= ‒ 1, = ‒ 1,
с помощью которых последовательно понижается степень и .
Пример.
+ ln││+ C.
№21 слайд
Содержание слайда: Интегралы вида
Применим известные тригонометрические формулы:
= ( + ‒
= ( + ‒
= ( ‒ +
Пример.
=
=‒ +
№22 слайд
Содержание слайда: Интегрирование иррациональных функций
I. Пусть – рациональная функция своих аргументов; , n, …, s – целые числа.
Пусть k – общий знаменатель дробей , … , . Тогда подстановка = , k· преобразует данный интеграл в интеграл от рациональной функции.
II. Пусть , тогда
подстановка =, где k – общий знаменатель
дробей , … , .
№23 слайд
Содержание слайда: Пример
Вычислить интеграл .
Решение.
= = =
= 3 = 3 = 3) =
= 3 + 3 + 3ln││+C = +
+3 + 3ln││+C .
№24 слайд
Содержание слайда: Интегрирование некоторых видов иррациональностей
Тригонометрические подстановки применяются, если:
подстановка =
2. подстановка =
3. подстановка =
или = .
№25 слайд
Содержание слайда: Интегрирование некоторых видов иррациональностей
Формулы:
1. (+ arcsin )+ C.
2. (+ │+ │)+C.
(≠0).
№26 слайд
Содержание слайда: Пример
= =
= =
= ‒ ‒ ctgt ‒ t +C = ==
=‒ ‒ arcsin + C.
Скачать все slide презентации Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2) одним архивом:
