Презентация Математическое моделирование. Метод крутого восхождения онлайн

Содержание слайда: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Задачи оптимизации

Содержание слайда: Метод крутого восхождения Оптимизация процесса представляет собой целенаправленный поиск значений влияющих факторов, при которых достигается экстремум критерия оптимальности. Важно отметить, что как влияющие факторы, так и функции отклика могут изменяться только в определенных пределах. Так, концентрации реагентов не могут быть отрицательными, температура и давление в аппарате не могут превышать безопасных пределов, себестоимость продукции должна быть не выше плановой и т. п. Следовательно, оптимизацию процессов, как правило, осуществляют в условиях ограничений на влияющие факторы и функции отклика. Известные ученые Д. Бокс и К. Уилсон предложили использовать для опти­мизации результаты полного или дробного факторного эксперимента [1]. Сущность такой оптимизации состоит в следующем.

Содержание слайда: Метод крутого восхождения Пусть, например, критерием оптимальности служит функция отклика y, представленная в виде По уравнению регрессии определяют градиент изменения параметра. Градиентом называется вектор, направленный в сторону наиболее интенсивного, «крутого» возрастания значения функции. где – единичный вектор в направлении координаты Xi факторного пространства. Поскольку функция отклика аппроксимирована полиномом первой степени вида , нетрудно видеть, что частные производные y по факторам будут равны соответствующим коэффициентам:

Содержание слайда: Метод крутого восхождения Ставят ряд опытов в точках, лежащих на градиенте. Для этого выбирается базовый фактор, который оказывает наибольшее воздействие на параметр, т.е. для которого произведение biΔxi является наибольшим; здесь Δxi – интервал варьирования i-го фактора. Затем для базового фактора выбирают шаг движения , с которым будет осуществляться оптимизация. Обычно . Пусть для примера фактор x1 будет определяющим, тогда вычисляют отношение

Содержание слайда: Метод крутого восхождения Для всех остальных факторов шаги движения к оптимальным значениям рассчитывают по формуле Движение к оптимуму начинают из центра плана, который использовался для получения математического описания функции отклика. Значения факторов на каждом новом шаге находят путем прибавления к соответствующим предыдущим значениям. Так осуществляется оптимизация по методу крутого восхождения. Если же ищется минимум функции у, то новые значения факторов находят из предыдущих путем вычитания . Такой способ оптимизации называют методом наискорейшего спуска.

Содержание слайда: Метод крутого восхождения По данным опытов устанавливают положение частного экстремума в данном направлении Движение к оптимуму прекращают также когда значения одного или нескольких факторов или функций отклика вышли на границы допустимых значений.

Содержание слайда: Метод крутого восхождения В точке частного экстремума ставят новый факторный эксперимент. Находят уравнение регрессии. Проверяют его адекватность. Ищут направление нового градиента и осуществляют «крутое восхождение» по нему в соответствии с изложенным ранее. Поиск прекращается, когда линейная модель оказывается неадекватной. Это означает, что достигнута область оптимума. В ней ставят эксперимент второго порядка, по которому уточняют положение оптимума, или просто принимают наилучший из полученных результатов. Если же в области оптимума не удается получить адекватного уравнения регрессии, то проводят анализ выбранных переменных и добавляют новые влияющие факторы либо увеличивают точность эксперимента.

Содержание слайда: Пример Пусть в результате полного факторного эксперимента получено адекватное уравнение регрессии y1 = 35,6+1,95X1–1,35X2. Здесь y1 – выход продукта реакции, x1 – температура, x2 – концентрация реагента. Введем также в рассмотрение функцию отклика у2, характеризующую скорость химической реакции (кмоль·м–3·ч–1). Требуется выполнение условия y2 ≥ 2,5. Решение. Допустим, что ограничения на влияющие факторы имеют вид 30о ≤ x1 ≤ 120о, 10 % ≤ x2 ≤ 70 %. Оптимизируем выход продукта реакции методом крутого восхождения. В качестве базового фактора возьмем температуру и примем шаг движения на крутом восхождении 4°, тогда

Содержание слайда: Пример Здесь x1 взят по условиям предыдущего примера. Шаг по концентрации на крутом восхождении можно рассчитать по уравнению Для удобства ведения эксперимента шаги движения, рассчитанные по данной формуле , можно несколько округлять. В данном случае удобно принять -0,5 %. Результаты опытов, выполненных по методу крутого восхождения, приведены в таблице

Содержание слайда: Пример

Содержание слайда: Пример Как видно из табл. в опыте №4 достигнут максимальный выход продукта реакции, однако скорость процесса в этом случае меньше допустимого значения. По-видимому, оптимальным режимом процесса следует считать условия опыта №3. Ограничения на х1 и х2 в ходе оптимизации не нарушены.

Содержание слайда: Используемая литература 1. Саутин С.Н. Планирование эксперимента в химии и химической технологии / С.Н. Саутин. Л. : Химия, 1975.