Презентация Математическое моделирование. Симплексный метод планирования онлайн

Содержание слайда: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Задачи оптимизации

Содержание слайда: симплексный метод планирования Метод симплексного планирования позволяет без предварительного изучения влияния факторов найти область оптимума. В этом методе не требуется вычисления градиента функции отклика, поэтому он относится к безградиентным методам поиска оптимума. Для этого используется специальный план эксперимента в виде симплекса. Симплекс — это простейший выпуклый многогранник, образованный n+1 вершинами в n-мерном пространстве, которые соединены между собой прямыми линиями. При этом координаты вершин симплекса являются значениями факторов в отдельных опытах. Так, например, в двухфакторном пространстве (на плоскости) n=2 симплекс — любой треугольник, в трехфакторном (трехмерном) пространстве — тетраэдр и т.д. Симплекс называется правильным или регулярным, если все расстояния между образующими его вершинами равны (равносторонний треугольник, правильный тетраэдр и др.).

Содержание слайда: симплексный метод планирования На рис. представлено геометрическое изображение симплекс-метода для двумерного случая n=2.

Содержание слайда: симплексный метод планирования Сущность симплексного метода оптимизации иллюстрирует следующий рисунок. Начальная серия опытов соответствует вершинам исходного симплекса (точки 1, 2 и 3). Условия этих первых опытов берутся из области значений факторов, соответствующих наиболее благоприятным из известных режимов оптими­зируемого процесса.

Содержание слайда: симплексный метод планирования Сравнивая между собой результаты опытов в точках 1, 2 и 3, находят среди них самый «плохой» с точки зрения выбранного критерия оптимальности. Пусть, например, самым «неудачным» оказался опыт в точке 1. Этот опыт исключают из рассмотрения, а вместо него в состав симплекса вводят опыт в точке 4, которая симметрична точке 1 относительно противоположной стороны треугольника, соединяющей точки 2 и 3. Далее сравнивают между собой результаты опытов в вершинах нового симплекса, отбрасывают самый «неудачный» из них и переносят соответствующую вершину симплекса в точку 5. Затем рассмотренная процедура повторяется в течение всего процесса оптимизации. Если достигнут экстремум критерия оптимальности, то дальнейшее движение симплекса прекращается. Это значит, что новый шаг возвращает исследователя в предыдущую точку факторного пространства.

Содержание слайда: симплексный метод планирования Матрица опытов исходного симплекса в кодированных переменных приведена в таблице

Содержание слайда: симплексный метод планирования Символом О обозначены координаты центра плана, т. е. основной уровень. Величины, входящие в эту таблицу, рассчитываются по следующим формулам: Ri = iki, где i – номер фактора в матрице планирования Опыты, представленные в табл. соответствуют вершинам симплекса, сторона которого равна единице, а центр совпадает с началом координат (в кодированных переменных).

Содержание слайда: симплексный метод планирования Результаты расчетов для четырех факторов, приведены в табл. Аналогично можно рассчитать условия исходной серии опытов для большего количества факторов. Очевидно, наибольшее количество опытов приходится ставить в начале эксперимента. Затем на каждом шаге оптимизации выполняется только один опыт.

Содержание слайда: симплексный метод планирования Результаты расчетов для четырех факторов, приведены в табл. Аналогично можно рассчитать условия исходной серии опытов для большего количества факторов. Очевидно, наибольшее количество опытов приходится ставить в начале эксперимента. Затем на каждом шаге оптимизации выполняется только один опыт. Приступая к оптимизации, необходимо рассчитать матрицу исходной серии опытов в физических переменных, преобразуя формулу xi = xi0 + ΔxiXi , где xi0 – основной (нулевой уровень); Xi – кодированная переменная; Δxi – интервал варьирования.

Содержание слайда: симплексный метод планирования В дальнейшем все операции производятся только с физическими переменными. Условия каждого нового опыта рассчитываются по формуле где n – число факторов в матрице планирования; j – номер опыта; i – номер фактора; – значение i-го фактора в самом «неудачном» опыте предыдущего симплекса. Следует отметить, что на любом шаге оптимизации, осуществляемой симплексным методом, можно включить в программу исследований новый фактор, который до тех пор не принимался во внимание, но оставался на постоянном уровне.

Содержание слайда: симплексный метод планирования При этом значения всех ранее рассматриваемых факторов перерассчитываются по формуле где i = 1, 2, ..., n, т. е. является средним арифметическим значением соответствующих координат предыдущего симплекса. Значение вновь вводимого фактора определяется по формуле где x0(n+1) – основной уровень этого фактора; Δx(n+1) – выбранный шаг варьирования для данного фактора добавление нового фактора в состав полного факторного эксперимента сопровождается увеличением количества опытов вдвое. В этом смысле симплексный метод имеет очевидное преимущество

Содержание слайда: пример Пусть требуется с помощью симплексного метода оптимизировать выход целевого продукта у (%), который получается при взаимодействии двух реагентов с концентрациями х1 и х2 (кмоль/м3) при температуре х3 (°С). Решение. Выберем основные уровни и шаги варьирования факторов и сведем их в таблицу

Содержание слайда: пример Рассчитаем условия проведения первых четырех опытов:

Содержание слайда: пример Полученные результаты сведем в табл. Здесь первый индекс обозначает номер опыта, а второй – номер фактора. Сравнивая между собой результаты первых четырех опытов, видим, что самый низкий выход целевого продукта получился в третьем опыте. Этот опыт следует исключить из дальнейшего рассмотрения

Содержание слайда: пример Заменим его опытом № 5 x51 = 2/3(1,05+0,905+1+1–1)–1 = 1; x52 = 2/3(1,56+1,56+1,38+1,5–1,38)–1,38 = 1,7; x53 = 2/3(61+61+61–57–67)–67 = 58. В новом симплексе, образованном опытами №1, 2, 4 и 5, самым «неудачным» является опыт №4. Его заменим опытом №6, условия которого найдем, пользуясь той же формулой. Далее процедура оптимизации может быть продолжена аналогично.

Содержание слайда: пример Рассмотрим теперь вопрос о том, как включить в программу исследований еще один фактор, например скорость вращения мешалки. Пусть до этих пор она была постоянной и равной 500 об/мин. Теперь будем считать эту величину фактором х4 и примем для нее шаг варьирования Δx4=100 об/мин. Предыдущий симплекс для трех факторов (табл. 9.5) состоит из опытов № 1, 2, 5 и 6. Для того чтобы из него получить новый симплекс для четырех факторов, введем опыт №7 Условия проведения опыта №7 найдем по формулам: x71 = 1/4(1,05+0,95+2·1,00) = 1,00, x72 = 1/4(2·1,56+1,70+1,72) = 1,64, x73 = 1/4(2·61+58+63) = 61, x74 = 500+100(0,632+0,158) = 579 ≈ 580. Далее оптимизацию можно продолжить с учетом всех четырех факторов, пользуясь рассмотренной выше процедурой.

Содержание слайда: пример Симплексный план эксперимента для четырех факторов

Содержание слайда: симплексный метод планирования Таким образом, при симплекс-планировании: 1) удается резко снизить число экспериментов по сравнению с методом полного факторного эксперимента, где, кроме того, добавление каждого нового фактора требует удвоения всего числа экспериментов, а при симплекс-планировании – только одного нового опыта (если выбрано правильное направление) и еще одного (если выбрано неправильное направление); 2) получаемые результаты не зависят от формы поверхности отклика, так как из всех данных нас интересуют худшие результаты, и при отрицательных результатах экспериментатор возвращается назад и повторяет «кантование» симплекса; 3) не требуется проведения расчетов. Метод может быть также применен при изучении процессов, в которых функцию выхода нельзя измерить количественно, а можно только оценить полуколичественно или даже чисто качественно. При этом правила движения к оптимуму не теряют своей строгости.

Содержание слайда: симплексный метод планирования Вместе с тем, используя метод симплекс-планирования: 1. Мы никогда не сможем оценить роль отдельных факторов; 2. При исследовании сложных процессов не получим никакой информации о взаимодействии факторов. К тому же экспрессность метода симплекс-планирования проявляется в пол­ной мере лишь в тех случаях, когда затраты времени на проведение самого эксперимента незначительны и основное время экспериментатора уходит на расчеты (в случае постановки полного факторного эксперимента). В тех же случаях, когда эксперимент по своей природе является длительным (недели и месяцы), применение метода симплекс-планирования нерационально, так как последовательность получения точек может растянуться на неопределенно долгий срок, ибо построение следующего симплекса невозможно, прежде чем не будет реализован предыдущий. В этом случае целесообразно использование метода полного факторного эксперимента, позволяющего одновременно поставить хотя и большее число вариантов, но зато получить более полное представление о влиянии факторов и условиях движения к оптимуму.

Содержание слайда: Используемая литература 1. Саутин С.Н. Планирование эксперимента в химии и химической технологии / С.Н. Саутин. Л. : Химия, 1975.