Презентация Методи вирішення нелінійних рівнянь. (Лекція 3) онлайн

Содержание слайда: Чисельні методи ЛЕКЦІЯ 3 «Наближене рішення нелінійних рівнянь»

Содержание слайда: Наближене рішення нелінійних рівнянь. Групи методів: Метод половинного ділення, хорд, метод дотичних, комбінований метод Метод ітерації Методи відділення ізольованих коренів рівняння

Содержание слайда: Метод половинного ділення Постановка задачі. Дано нелінійне рівняння , де функція визначена і неперервна для всіх , при чому функція змінює знак на кінцях цього відрізку, тобто Знайти наближений розв'язок даного рівняння з точністю , а так само необхідне для цього число розбиття відрізка . Наближене рішення і похибка наближення знаходяться за наступною схемою:

Содержание слайда: Метод половинного ділення (продовження) Де задовольняє умовам: з останнього визначається число розбиття відрізка

Содержание слайда: Метод ітерації Постановка задачі. Дано нелінейне рівняння, де функція визначена та неперервно-диференціюєма для всіх , при чому функція змінює знак на кінцях цього відрізку, тобто Знайти наближене рішення даного рівняння з точністю . Наближене рішення та похибка наближення знаходяться за наступною схемою: Рівняння приводиться до виду , де функція задовольняє умовам:

Содержание слайда: Метод ітерації (продовження) диферинцюєма на даному відрізку та При вирішенні нелінійного рівняння методом ітерацій скористуємся записом рівняння в вигляді x=f(x). Задаються початкове значення аргумента x0 та точність ε. Перше наближення рішення x1 знаходимо з выразу x1=f(x0), друге - x2=f(x1) і т.д. В загальному випадку (i+1)-е наближання знайдемо за формулою xi+1 =f(xi). Цю процедуру повторюємо поки |f(xi)|>ε. Умова сходимості метода ітерацій |f'(x)|<1.

Содержание слайда: Метод хорд При вирішенні нелінійного рівняння методом хорд задається інтервал [a,b], на якому існує тільки одно рішення і точність ε. Потім через дві точки з координатами (a,F(a)) і (b,F(b)) проводимо відрізок прямої лінії (хорду) та визначити точку перетину цієї лінії з віссю абсцис (точка c). Якщо при цьому F(a)∙F(c)<0, то праву межу інтервалу переносимо в точку с (b=c). Якщо указана умова не виконується, то в точку c переноситься ліва межа інтервалу (а=с). Пошук рішення припиняється при досягненні заданої точності |F(c)|< ε. Для визначення точки перетину хорди з віссю абсцис скористуємося наступною формулою   

Содержание слайда: Метод хорд (продовження)

Содержание слайда: Метод дотичних При вирішенні нелінійного рівняння методом дотичних задаються початковее значення аргументу x0 та точність ε. Потім в точці (x0,F(x0)) проводимо дотичну до графіку F(x) і визначимо точку перетину дотичну з віссю абсцис x1. В точці (x1,F(x1)) знову будуємо дотичну, знаходимо наступне наближення шукомого рішення x2 та ін. Вказану процедуру повторюємо доки |F(xi)| > ε. Для визначення точки перетину (i+1) дотичної з віссю абсцис скористуємося наступною формулою. Умова сходимості методу дотичних F(x0)∙F''(x0)>0.

Содержание слайда: Метод дотичних (продовження)