Презентация Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница онлайн

Содержание слайда: Лектор Янущик О.В.

Содержание слайда: ГЛАВА I. Определенный интеграл и его приложения §1. Определенный интеграл и его свойства 1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Пусть f(x) – непрерывная на отрезке [a;b] . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Область (σ)  xOy , ограниченная отрезком [a;b] оси Ox, прямыми x = a, x = b и кривой y = f(x), называется криволинейной трапецией с основанием [a;b] .

Содержание слайда:

Содержание слайда: ЗАДАЧА 2 (о пройденном пути). ЗАДАЧА 2 (о пройденном пути). Пусть точка движется по кривой и ее скорость изменяется по закону v = f(t). Найти путь S, пройденный точкой за промежуток времени [T1 ; T2] . РЕШЕНИЕ. 1) Разобьем [T1 ; T2] на n частей точками t0 = T1 ,  t1 ,  t2 ,  … ,  tn = T2   (где t0 < t1 < t2 < … < tn ) 2) Выберем на [ti–1 ; ti]  (i = 1,2,…n) произвольную точку i . Если [ti–1; ti] мал, то можно считать, что точка двигалась в те- чение этого времени равномерно со скоростью f(i) .  пройденное расстояние: f(i)  Δti , где Δti = ti – ti–1 . 3) Пусть  = max | [ti–1; ti] | . Тогда

Содержание слайда: 2. Определенный интеграл: определение и условие его существования Пусть f(x) задана на отрезке [a;b] . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1) Разобьем [a;b]  на n частей точками x0 = a ,  x1 ,  x2 ,  … ,  xn = b ,    где  x0 < x1 < x2 < … < xn . 2) На каждом отрезке [xi–1 ; xi] (i = 1,2,…n) выберем про- извольную точку i и найдем произведение f(i)  Δxi , где Δxi = xi – xi–1 – длина отрезка [xi–1 ; xi]. Сумма называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a;b] .

Содержание слайда: Пусть Пусть Число I называется пределом интегральных сумм In(xi,i) при   0 , если для любого  >0 существует  >0 такое, что для любого разбиения отрезка [a;b]  у которого  <  , при любом выборе точек i выполняется неравенство | In(xi,i) – I | <  . Если существует предел интегральных сумм In(xi,i) при   0, то его называют определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b]  (или в пределах от a до b). ОБОЗНАЧАЮТ: Называют: [a;b]  – промежуток интегрирования, a и b – нижний и верхний предел интегрирования, f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования.

Содержание слайда: Функция f(x), для которой на [a;b] существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке. Функция f(x), для которой на [a;b] существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке. ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие интегрируемости функции на [a;b]). Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b] , то она на этом отрезке ограничена. ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие интегрируемости функции на [a;b]). Для интегрируемости функции f(x) на [a;b] , достаточно выполнения одного из условий: 1) f(x) непрерывна на [a;b]; 2) f(x) ограничена на [a;b] и имеет на [a;b] конечное число точек разрыва; 3) f(x) монотонна и ограничена на [a;b].

Содержание слайда: Замечание. Определяя определенный интеграл, полагали a < b . Замечание. Определяя определенный интеграл, полагали a < b . Полагаем, что: 1) если a > b , то 2) если a = b , то Такое расширение определения согласуется с определением определенного интеграла и его геометрическим (физическим) смыслом.

Содержание слайда: 3. Свойства определенного интеграла 1) Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) – непрерывна на [a;b] и f(x)  0 , x[a;b] , то где S – площадь криволинейной трапеции с основанием [a;b] и ограниченной сверху кривой y = f(x). 2) Физический смысл определенного интеграла Если функция v = f(t) задает скорость движущейся точки в момент времени t , то определяет путь S, пройденный точкой за промежуток времени [T1 ; T2] .

Содержание слайда: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 4) Постоянный множитель k (k  0) можно выносить за знак определенного интеграла, т.е. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 5) Определенный интеграл от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Содержание слайда: 6) Если отрезок интегрирования [a;b] разбит точкой c на две части [a;c] и [c;b], то 6) Если отрезок интегрирования [a;b] разбит точкой c на две части [a;c] и [c;b], то (1) Замечание. Формула (1) будет иметь место и в том случае, когда точка c лежит не внутри отрезка [a;b], а вне его. 7) Если f(x) > 0 (f(x)  0)  x[a;b] , то 8) Если f(x)  (x) x[a;b] , то ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

Содержание слайда: 9) Следствие свойств 8 и 3. 9) Следствие свойств 8 и 3. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a;b], то 10) Если f(x) – нечетная функция, то Если f(x) – четная функция, то

Содержание слайда: 11) Теорема о среднем. 11) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на [a;b], то в интервале (a;b) найдется такая точка c, что справедливо равенство ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Содержание слайда: §2. Вычисление определенных интегралов 1. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница Пусть f(t) непрерывна на [a;b]. Тогда f(t) непрерывна на [a;x], где a  x  b .  f(t) интегрируема на [a;x], где a  x  b . Рассмотрим интеграл Имеем: , D(Φ(x)) = [a;b] .

Содержание слайда: ТЕОРЕМА 1 (о производной определенного интеграла по пере- менному верхнему пределу). ТЕОРЕМА 1 (о производной определенного интеграла по пере- менному верхнему пределу). Функция Φ(x) дифференцируема на [a;b], причем Φ (x) = f(x) . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛЕДСТВИЕ 2. Любая непрерывная на [a;b] функция имеет на [a;b] первообразную.

Содержание слайда: Имеем: Φ(x) – первообразная для функции f(x) на [a;b] . Имеем: Φ(x) – первообразная для функции f(x) на [a;b] . Пусть F(x) – еще одна первообразная для f(x) на [a;b] . Тогда F(x) и Φ(x) будут отличаться постоянным слагаемым (см. §23 теорема 2, I семестр), т.е. (1) где a  x  b , C – некоторое число. Полагаем x = a . Тогда из (1) получим   0 = F(a) + C ,  C = – F(a) . Следовательно, (1) можно переписать в виде

Содержание слайда: Полагая x = b получаем: Полагая x = b получаем: (2) Формула (2) называется формулой Ньютона – Лейбница. Разность F(b) – F(a) принято сокращенно записывать в виде Символ называют знаком двойной подстановки. Используя это обозначение, формулу (2) можно переписать в виде Замечание. В формуле (2) можно взять любую из перво- образных функции f(x), так как F(b) – F(a) не зависит от выбора первообразной.