Презентация Практика. Примеры решения задач по темам: предел функции, вычисление производных, исследование функции онлайн

Содержание слайда: Практика. Примеры решения задач по темам Вычисление предела функции Вычисление производных Исследование функции

Содержание слайда: 1. Предел функции Приведены примеры решения следующих классов задач 1.1. Предел дробно-рациональной функции 1.2. Предел сложной функции 1.3. Второй замечательный предел 1.4. Первый замечательный предел

Содержание слайда: 1. Предел функции. Теоретические сведения Предел – величина А, к которой сколь угодно близко стремится некоторый процесс. В математическом анализе это – предел функции в бесконечности, предел функции в точке. Основные обозначения: Предел функции в бесконечности или - Предел функции в точке х0 : - слева, левосторонний - справа, правосторонний Условие непрерывности функции в точке

Содержание слайда: 1. Предел функции. Теоретические сведения. В любом процессе значение предела, величина А, может равняться : а)±∞ . А - бесконечно большая величина (ББВ). Процесс не ограничен б)±0 . А - бесконечно малая величина (БМВ). Процесс ограничен с)константе С. Процесс ограничен Основные теоремы о пределах: 1).Функция не может иметь более одного предела 2).Предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов этих функций 3). Предел произведения функций равен произведению их пределов 4). Предел частного от деления двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел делителя не равен нулю 5). Предел сложной функция f(U(x)), равен пределу f от предела U

Содержание слайда: 1.1. Предел дробно-рациональной функции Примеры решения:

Содержание слайда: 1.1. Предел дробно-рациональной функции Примеры решения:

Содержание слайда: 1.2. Предел сложной функции вычисляется по правилу . Примеры решения а) б) Решение данного класса задач основано на свойствах и графиках функции ax при ограничениях Рассматриваются два диапазона значений а:

Содержание слайда: 1.2. Предел сложной функции вычисляется по правилу . в) г) Решение данного класса задач основано на свойствах и графиках функции ax при ограничениях Рассматриваются два диапазона значений а:

Содержание слайда: 1.3. Второй замечательный предел и его следствие а) Вводим новую переменную t=x-2;x=t+2

Содержание слайда: 1.3. Второй замечательный предел и его следствие б) в)

Содержание слайда: 1.4. Первый замечательный предел и его следствие а) б) Преобразуем числитель и знаменатель ; Тогда

Содержание слайда: 2. Вычисление производных Производная функции в точке х=х0 -предел отношения приращения функции у = f(х0+х)-f(х0) к приращению аргумента х при х ->0 Обозначается производная функции f(х) в точке х0 символом f'(х0). или Дифференциал функции dy=df= f'(x0)х =f'(x)dx Геометрический смысл производной: тангенс угла касательной к функции в точке х0 , тангенс угла , tg Геометрический смысл дифференциала: первое линейное приращение функции в точке х0 + х, отрезок KN

Содержание слайда: 2. Таблица производных. 1. постоянная; 2. 3. 4. 6. Правила дифференцирования 1. 2. 3. 4. 5.

Содержание слайда: 2.1. Вычислить первую и вторую производную, дифференциал функции а) Решение.

Содержание слайда: 2.1. Вычислить первую и вторую производную, дифференциал функции б) Решение.

Содержание слайда: 2.1. Вычислить первую и вторую производную, дифференциал функции в) Решение. Обозначим: f1(x)=3x; f2(x)= cos(1-x2) Функция - сложная функция. Тогда

Содержание слайда: 2.1. Вычислить первую и вторую производную, дифференциал функции г) Решение. Обозначим Тогда

Содержание слайда: 3. Исследование функции Решение задачи исследования функции сводится к выполнению следующих действий: 1. Определение точек разрыва, интервалов непрерывности, области определения функции (ООФ) 2. Анализ на четность, нечетность, периодичность 3. Определение (если возможно) точек пересечения функции с осями координат Х, У 4. Вычисление пределов – на границах ООФ, в точках разрыва 5. Определение точек экстремума и перегиба. Решение этой задачи связано с вычислением и последующим анализом поведения первой и второй производных функции 6. Построение графика функции 7. Определение области значений функции, ОЗФ

Содержание слайда: 3. 1. Исследование функции – примеры а) Исследуемая функция - точек разрыва нет; вертикальных асимптот нет; ООФ=(-∞;∞) - Четность: y(-1)=y(1) –функция четная - Пределы функции: На границах ООФ . Функция четная Левый и правый пределы в точках разрыва – нет Уравнение наклонной асимптоты Наклонной асимптоты нет Точки пересечения графика с осями координат

Содержание слайда: а) Исследуемая функция - Точки экстремумов и интервалы монотонности - Точки перегиба, выпуклость, вогнутость Результат исследования представлен в таблице 3.1.а

Содержание слайда: а) Исследуемая функция Таблица 3.1.а