Презентация Теория вероятности. Независимые повторные испытания. Формула Бернулли. Теорема Лапласа. Формула Пуассона онлайн

Содержание слайда: Теория вероятности Независимые повторные испытания

Содержание слайда: Содержание презентации Независимые повторные испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появлений события. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа. Формула Пуассона. Независимые повторные испытания. Схема.

Содержание слайда: Независимые повторные испытания

Содержание слайда: Независимые повторные испытания. Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми повторными испытаниями. В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность.

Содержание слайда: Независимые повторные испытания. Примеры: Подбрасываем игральный кубик n раз. Выпадение числа очков от 1 до 6 происходит с вероятностью 1/6 в каждом из испытаний; Приобретаем n лотерейных билетов. Для каждого из лотерейных билетов вероятность выигрыша есть величина постоянная; Подбрасывается n раз монета. Выпадение орла или решки происходит с вероятностью ½ в каждом испытании. Пример 1 и примеры 2,3 отличаются друг от друга тем, что в первом примере возможно появление 6-ти событий, а во втором и третьем – появление только 2-х событий: выиграл - не выиграл, орел – решка, т.е. условно можно назвать такие исходы «успех – неуспех». Такие испытания называются испытаниями Бернулли.

Содержание слайда: Независимые повторные испытания. Независимые повторные испытания, в каждом из которых возможно появление события А (успех) с постоянной вероятностью p или непоявление события А (неуспех) с постоянной вероятностью q=1-p, называются испытаниями Бернулли или схемой Бернулли.

Содержание слайда: Независимые повторные испытания Формула Бернулли

Содержание слайда: Формула Бернулли. Пусть производится n испытаний Бернулли. Вероятность того, что в этих испытаниях событие А произойдет ровно m раз можно найти по формуле Бернулли: n – число испытаний p – вероятность появления события А в одном испытании q - вероятность непоявления события А в одном испытании Рn(m) – вероятность того, что событие А появится ровно m раз в n испытаниях

Содержание слайда: Формула Бернулли. Решение. Обозначим А- расход не превысит норму. По условию n = 7, m = 4, p = P(A) = 0.75. По формуле Бернулли:

Содержание слайда: Формула Бернулли Пример. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть одному из них 2 партии из 4-х или 3 партии из 6-ти?

Содержание слайда: Формула Бернулли Пример. Исследование инкубации яиц яичного кросса Беларусь-9 показало, что цыплята выводятся в среднем из 70% заложенных в инкубатор яиц. Из общего количества заложенных в инкубатор яиц случайным образом отобраны и помечены 6. Найти вероятность того, что из помеченных яиц выведутся: менее трех цыплят P6(m < 3) ; более трех цыплят P6(m > 3) ; не менее трех цыплят P6(m ≥ 3) ; не более трех цыплят P6(m ≤ 3);

Содержание слайда: Формула Бернулли Пример. Две электрические лампочки включены в цепь параллельно. Вероятность того, что при некотором повышении напряжения в цепи выше номинального перегорит только одна лампочка, равна 0,18. найти вероятности перегореть для каждой из этих лампочек, если известно, что эти вероятности превосходят 0,7 и равны между собой. Решение. Испытание состоит в проверке работы электрической лампочки. Общее число испытаний n = 2. А – при повышении напряжения лампочка не перегорит. По условию P2(1)=0,18. Требуется найти вероятность р наступления события А в каждом испытании. Это уравнение имеет два корня: р=0,9 и р=0,7. По условию р > 0,7. Поэтому р=0,7 не удовлетворяет условию задачи. Ответ: Вероятность того, что каждая из лампочек не перегорит р=0,9.

Содержание слайда: Независимые повторные испытания. Наивероятнейшее число появлений события.

Содержание слайда: Наивероятнейшее число появлений события. Пример. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди 5 отобранных. Решение. Вероятность изготовления бракованной детали Р = 1 - 0,8 = 0,2. Искомые вероятности находим по формуле Бернулли: P5(0)=0,32768; P5(3)=0,0512; P5(1)=0,4096; P5(4)=0,0064; P5(2)=0,2048; P5(5)=0,00032. Полученные вероятности изобразим графически точками с координатами (m, Pn(m)). Соединяя эти точки, получим многоугольник, или полигон, распределения вероятностей.

Содержание слайда: Наивероятнейшее число появлений события. Рассматривая многоугольник распределения вероятностей мы видим, что есть такие значения m (в данном случае, одно - m0=1), обладающие наибольшей вероятностью Рn(m).

Содержание слайда: Наивероятнейшее число появлений события. Число m0 наступления события А в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события Рn(m0) по крайней мере не меньше вероятностей других событий Рn(m) при любом m. Для нахождения m0 используется двойное неравенство: n • p - q ≤ m0 ≤ n • p + p

Содержание слайда: Наивероятнейшее число появлений события. Так как наивероятнейшее число может быть только целым, то: Если границы дробные, то m0 может принимать только одно значение; Если границы целые (отличаются на 1), то m0 может принимать два значения, равные граничным. Тогда для определения наивероятнейшего числа нужно сравнить вероятности на границах.

Содержание слайда: Наивероятнейшее число появлений события. Пример. В результате многолетних наблюдений вероятность дождя 21 июля в городе N составляет 0,3. Найти наивероятнейшее число дождливых дней 21 июля на ближайшие 30 лет. Решение. По условию: p=0.3, q=0.7, n=30. n∙p - q ≤ m0 ≤ n∙p + p 0.3∙30 – 0.7 ≤ m0 ≤ 0.3∙30 + 0.3 8.3 ≤ m0 ≤ 9.3 m0 = 9 Ответ: наивероятнейшее число дождливых дней 21 июля на ближайшие 30 лет равно 9. Т.е. вероятнее всего 9 раз за 30 лет 21 июля будет дождливым.

Содержание слайда: Наивероятнейшее число появлений события. Решение. По условию: p=1/6, q=5/6, m0 = 10. n∙p-q ≤ m0 ≤ n∙p+p n∙1/6 – 5/6 ≤ 10 ≤ n∙1/6 + 1/6 (умножим на 6) n -5 ≤ 60 ≤ n +1 (запишем в виде двух неравенств) n -5 ≤ 60 n ≤ 65 n+1 ≥ 60 n ≥ 59 Следовательно, 59 ≤ n ≤ 65. Ответ: чтобы наивероятнейшее выпадение тройки было равно 10, игральную кость необходимо подбросить 59, 60, 61, 62, 63, 64 или 65 раз.

Содержание слайда: Наивероятнейшее число появлений события. Задача. Склады семенного картофеля перед посадкой проверяют на отсутствие очагов гниения. В проверенном складе оказалось 20% клубней с пятнами. Найти: наивероятнейшее число клубней без пятен среди 9 клубней, отобранных случайным образом; вероятность наивероятнейшего числа клубней без пятен. Задача. Вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний равно 0,7. Сколько таких испытаний нужно произвести, чтобы наивероятнейшее число появления события А в этих испытаниях было бы равно 20?

Содержание слайда: Независимые повторные испытания. Домашнее задание Вероятность выиграть по одному билету лотереи равна 1/7. Какова вероятность, имея 7 билетов, выиграть: по двум билетам; по трем билетам? На некотором поле повреждены гербицидами 15% растений мяты рассадной посадки. Найти наивероятнейшее число поврежденных гербицидами растений мяты среди 20 растений, отобранных с этого поля случайным образом. Клиентов Сбербанка обслуживают два филиала. Первый филиал за рабочий день обслужил 120 клиентов, второй — 140 клиентов. Вероятность того, что эти клиенты взяли деньги со счетов, составляет соответственно 0,94 и 0,8. Найти наивероятнейшее число клиентов, взявших деньги со своих счетов. Какой из филиалов обслуживает больше клиентов?

Содержание слайда: Независимые повторные испытания. Локальная теорема Лапласа.

Содержание слайда: Локальная теорема Лапласа. Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Например, если n = 50, m = 30, р=0,1, то для отыскания вероятности P30(50) надо вычислить выражение Нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно m раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Содержание слайда: Локальная теорема Лапласа. Лаплас Пьер Симон (23.03.1749 - 05.03.1827), Нормандия "То, что мы знаем, так ничтожно по сравнению с тем, что мы не знаем".

Содержание слайда: Локальная теорема Лапласа. Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Рn(m) того, что событие А появится в n испытаниях ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) где

Содержание слайда: Локальная теорема Лапласа. Замечание. Для частного случая, а именно для р=1/2, асимптотическая формула была найдена в 1730 г. Муавром. В 1783 г. Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного р, отличного от 0 и 1. Поэтому теорему, о которой здесь идет речь, иногда называют теоремой Муавра—Лапласа.

Содержание слайда: Локальная теорема Лапласа. Для упрощения расчетов, связанных с применением формулы составлена таблица значений функции . Пользуясь этой таблицей, необходимо иметь в виду свойства функции : 1. Функция является четной, т.е. . 2. Функция — монотонно убывающая при положительных значениях х, причем при (Практически можно считать, что уже при х > 5 ). Теорему Муавра-Лапласа применяют при n∙p∙q ≥ 10.

Содержание слайда: Локальная теорема Лапласа. Алгоритм решения Находим n∙p∙q. Если n∙p∙q ≥ 10, то можно применять теорему Муавра-Лапласа. Вычисляем х по формуле По таблице находим Вычисляем вероятность

Содержание слайда: Локальная теорема Лапласа. Пример. Вероятность выхода из строя кодового замка в течение месяца равна 2%. Какова вероятность того, что в партии из 600 замков, установленных фирмой, 20 замков выйдут из строя в течение месяца. Решение. По условию n=600, m=20, p=0.02, q=0.98. Нужно найти Р600(20). n∙p∙q=600∙0.02∙0.98=11.76, следовательно, локальную теорему Лапласа можно применять. ; ; по таблице найдем ; .

Содержание слайда: Локальная теорема Лапласа. Задача. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2. Задача. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле р = 0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз.

Содержание слайда: Локальная теорема Лапласа. npq = 400 ∙ 0,8∙ (1—0,8) = 64 > 10, следовательно можно применять локальную формулу Муавра—Лапласа. ; ; По таблице найдем ; .

Содержание слайда: Локальная теорема Лапласа. Пусть в условиях предыдущего примера необходимо найти вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют холодильники. В этом случае по теореме сложения вероятность искомого события: В принципе вычислить каждое слагаемое можно по локальной формуле Муавра—Лапласа, но большое количество слагаемых делает расчет весьма громоздким. В таких случаях используется интегральная теорема Лапласа.

Содержание слайда: Независимые повторные испытания. Интегральная теорема Лапласа

Содержание слайда: Интегральная теорема Лапласа Интегральная теорема Муавра—Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от а до b (включительно), при достаточно большом числе n приближенно равна где

Содержание слайда: Интегральная теорема Лапласа Функция Ф(х) называется функцией Лапласа. Свойства функции Ф(х): Функция Ф(х) нечетная, т.е. Ф(-х) = - Ф(х). Функция Ф(х) монотонно возрастающая, причем при (практически можно считать, что уже при х > 5 Ф(х) ≈ 0,5).

Содержание слайда: Интегральная теорема Лапласа Пример. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Необходимо найти вероятность того, что из 400 семей от 300 до 360 семей (включительно) имеют холодильники. Решение. р = 80/100 = 0,8; n = 400, q = 0,2, a = 300, b = 360. np = 0.8 ∙ 400 = 320 > 10, значит, можно применить интегральную теорему Лапласа. ; . Ф(-2,5)= -Ф(2,5) ≈ -0,4938, Ф(5) ≈ 0,499997; . Ответ: вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют холодильники равна 0,993793.

Содержание слайда: Интегральная теорема Лапласа По данным ремонтной мастерской, в течение гарантийного срока выходят из строя в среднем 12 % кинескопов. Какова вероятность того, что из 50 наугад выбранных кинескопов проработают гарантийный срок: а) 47 кинескопов; 6) не менее 47 кинескопов; в) менее 47 кинескопов; г) более чем 47 кинескопов; д) не более 47 кинескопов; е) 50 кинескопов?

Содержание слайда: Интегральная теорема Лапласа При скрещивании двух сортов люпина во втором поколении ожидаемым отношением алкалоидных растений к безалкалоидным является отношение 9:7. Найти вероятность того, что среди полученных 150 гибридных растений а)половина растений будут алкалоидными? б)Более половины растений будут алкалоидными?

Содержание слайда: Интегральная теорема Лапласа Домашнее задание: 1. Найти вероятность того, что среди 1000 новорожденных детей мальчиков будет: не менее половины; менее половины. Принять, что вероятность рождения мальчика равна 0,51.

Содержание слайда: Независимые повторные испытания. Формула Пуассона.

Содержание слайда: Формула Пуассона. Если число независимых испытаний n достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании отлична от 0 и 1 и мала (p – близка к 0), так что n∙p ≤ 10 , то для вычисления вероятности появления события k раз применяют формулу Пуассона.

Содержание слайда: Формула Пуассона. Теорема. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянно близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз приближенно равна где Формулу Пуассона можно применять при λ ≤ 10. Существуют статистико-математические таблицы для распределения Пуассона.

Содержание слайда: Формула Пуассона. Пример. На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета? Решение. Вероятность того, что день рождения студента 1 сентября, равна р = 1/365. Так как р = 1/365 — мала, n = 1825 — велико и λ = nр = 1825 • (1/365 ) = 5 < 10, то применяем формулу Пуассона: По таблицам можно точнее и быстрее найти Р(m,λ). Так для данного примера P1825(4) = P(m, λ) = P(4,5) ≈ 0.17547. Ответ: вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета равна 0,17547.

Содержание слайда: Формула Пуассона. Задача 1. Некоторое электронное устройство выходит из строя, если откажет определенная микросхема. Вероятность ее отказа в течение 1 ч работы устройства равна 0,004. Какова вероятность того, что за 1000ч работы устройства придется пять раз менять микросхему? Задача 2. Телефонный коммутатор обслуживает 2000 абонентов. Для каждого абонента вероятность позвонить в течение часа равна 0,0025. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят на коммутатор: а) три абонента; б) не менее четырех абонентов.

Содержание слайда: Независимые повторные испытания. Схема

Содержание слайда: Независимые повторные испытания. Решение задач. Задача 3. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины: а) 480 предприятий; б) наивероятнейшее число предприятий; в) не менее 480; г) от 480 до 520. Задача 4. Вероятность малому предприятию быть банкротом за время t равна 0,2. Найти вероятность того, что из шести малых предприятий за время t сохранятся: а) два; б) более двух. Задача 5. В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено: а) три ошибочно укомплектованных пакета; б) не более трех пакетов.

Содержание слайда: Домашняя работа С помощью зенитной установки обстреливают мишень. Вероятность попадания в цель составляет 0,7. Какова вероятность того, что из 80 произведенных на штабных учениях выстрелов достиг­ нут цели: а) 75 выстрелов; б) не менее 75 выстрелов; в) менее 75 выстрелов; г) не более 75 выстрелов; д) более 75 выстрелов; е) все выстрелы? Известно, что вероятность выпуска сверла повышенной хруп­ кости (брак) равна 0,02. Сверла укладывают в коробки по 100 штук. Какое наименьшее количество сверл нужно класть в коробку для того, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, в ней было не ме­ нее 1000 исправных? Сколько изюма в среднем должны содержать калорийные булочки для того, чтобы вероятность иметь в булочке хотя бы одну изюмину была не менее 0,99?