Презентация Типовые классы детерминированных аналитических моделей онлайн

Содержание слайда:   МЧС РОССИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРОТИВОПОЖАРНОЙ СЛУЖБЫ

Содержание слайда: Литература по учебной дисциплине Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике. Вып. XXI. / В.С. Зарубин. – М.: Букинист, 2010 – 495с. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учебник для бакалавров. – М.: Юрайт, 2011. Шикин Е.В. Математические методы и модели управлений: Учеб. пособие/ Е.В. Шикин, А.Г. Чхартишвили. – М.:. Дело, 2002.

Содержание слайда:

Содержание слайда: Учебные вопросы: 1. Классификация детерминированных аналитических моделей. 2. Непрерывные и дискретные детерминирован­ные модели. 3. Категорийно-функторные и теоретико-множественные математические модели.

Содержание слайда: 1. Классификация детерминированных аналитических моделей

Содержание слайда: Для построения математических моделей применяют разнообразные математические средства. В зависимости от признаков классификации моделей: - характер связи между параметрами и показателем качества объекта (детерминированные, вероятностные и неопределенные); - учет времени. Статические (не учитываются изменения параметров во времени), динамические (учитывают изменения параметров во времени) модели; - количество этапов операции моделирования (одноэтапные и многоэтапные модели); - тип параметров (дискретные и непрерывные параметры).

Содержание слайда: Типовые математические схемы

Содержание слайда: Уровни формального описания объектов моделирования Приняты следующие верхние уровни абстрактного (формального) описания объектов моделирования: Лингвистический, использующий исчисление высказываний математической логики. Теоретико-множественный (частный случай лингвистического), использующий понятия множества, подмножества, элемента множества и отношений между элементами (пересечение, объединение, разность и др.). Абстрактно - алгебраический, вытекающий из теоретико-множественного, при условии, что отношения (связи) между элементами рассматриваемых множеств устанавливаются с помощью однозначных функций. Топологический, возникающий в случае, если на элементах рассматриваемых множеств используется понятие топологической структуры, когда используется язык общей топологии или её ветвей, например, язык теории графов.

Содержание слайда: 2. Непрерывные и дискретные детерминирован­ные модели.

Содержание слайда: Наиболее подходящим аппаратом для построения непрерывно детерминированных моделей функционирования объектов являются алгебраические и дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения – это уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только функции, но и их производные различных порядков. Все дифференциальные уравнения можно разделить на 2 группы: - уравнения в частных производных, в которых неизвестны функции многих переменных; - обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых неизвестны функции только одной переменной.

Содержание слайда: Порядок старшей производной, входящей в дифференциальные уравнения модели, характеризует порядок дифференциального уравнения. У линейного дифференциального уравнения его левая часть есть многочлен 1-й степени относительно неизвестной функции y и её производных y’, y”, …, y(n). Многочлен не содержит произведений переменной и ее производных аn(х)y(n) + an – 1(x)y(n – 1) + … +a0(x)y = f(x) где функции аn(х), an – 1(х), …, а0(х) – коэффициенты, а f(x) – свободный член линейного дифференциального уравнения. У однородных дифференциальных уравнений правая часть равна нулю f(x) = 0.

Содержание слайда: Общим решением линейного дифференциального уравнения является функция y = (x, c1, c2, …, cn), которая содержит столько независимых постоянных c1, c2, … , cn, каков порядок n этого уравнения. Наиболее разработаны методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядков, линейных дифференциальных уравнений с частыми производными. Обычно в непрерывно детерминированных математических моделях в качестве независимой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, служит время t. Поскольку математические модели (схемы) рассмотренного вида отражают динамику изучаемого объекта, т.е. его функционирование во времени, то их называют D-схемами (от англ. dynamic).

Содержание слайда:

Содержание слайда: В качестве иллюстрации построения математических моделей в виде D-схем можно привести пример формализации функционирования двух элементарных объектов различной физической природы

Содержание слайда: Процессы функционирования обоих объектов можно исследовать на основе общей непрерывно детерминированной математической модели. Кроме того, функционирование одного из объектов можно исследовать с помощью другого.

Содержание слайда:

Содержание слайда: Для построения дискретно детерминированных моделей функционирования объектов применяют математический аппарат конечных автоматов (F-схемы). На основе этого аппарата процесс функционирования объекта представляют автоматом, который в ходе функционирования перерабатывает дискретную информацию и меняет свои внутренние состояния в допустимые моменты времени. Конечный автомат - это автомат, у которого множества входных воздействий, состояний и выходных характеристик являются конечными. Для детерминированных автоматов должно выполняться условие однозначности переходов. Автомат, находящийся в некотором состоянии, под действием конкретного входного воздействия может перейти только в конкретное соседнее состояние. При графическом способе задания автомата из любой вершины не могут выходить две и более дуги, отмеченные одним и тем же входным воздействием.

Содержание слайда: 3. Категорийно-функторные и теоретико-множественные математические модели

Содержание слайда: Категорийно-функторные математические модели относятся к лингвистическому уровню абстрактного описания объектов-оригиналов. Для обозначения вводимых понятий используется совокупность символов и правил их применения, которые совместно и образуют абстрактный язык. Высказывания, определяющие понятия на данном языке, означают, что имеется некоторое предложение, построенное по правилам языка, представляющее формулу алгебры логики (ФАЛ), которая содержит варьируемые конституенты и переменные, которые только при определённых значениях делают высказывание истинным.

Содержание слайда: Все высказывания делятся на два вида: 1. Категории (термы) - высказывания, с помощью которых обозначают элементы объекта-оригинала, названия режимов функционирования и т.д.; 2. Функторы - высказывания, определяющие отношения между термами.

Содержание слайда: Совокупность элементов объекта-оригинала представляет некоторые множества, а совокупности элементов его отдельных компонентов – подмножества. Каждый из названных компонентов обладает определенными свойствами и находится в некоторых отношениях с другими элементами. Следовательно, объекты-оригиналы всегда можно формально описать с помощью термов и функторов. С помощью категорийно-функторных моделей можно получить только общие сведения об объектах-оригиналах. Основной идеей теории категорий является выражение понятия отношения принадлежности элемента множеству через термины связей этого множества с другими множествами.

Содержание слайда: Множество суть совокупность элементов, обладающих общим свойством (природой, семантикой). Два способа порождения множеств: а) для конечных множеств – перечисление элементов; б) для бесконечных множеств – алгоритм или правила порождения. Каждый элемент множества должен отличаться от другого. Обычно для описания элементов применяется такой способ кодирования, при котором код каждого элемента уникален. Интерпретация множества - приписывание некоторого набора свойств той совокупности элементов, которые объединены в множество. Пример 1. Множество натуральных чисел N. Каждый элемент множества представляет собой код, построенный из алфавита цифр Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Известны способы кодирования двоичных чисел, чисел с плавающей запятой, обратных и дополнительных кодов. Пример 2. В языках программирования механизм кодирования объектов, составляющих множества, и операций над объектами определяет сущность языка.

Содержание слайда: В отличии от операций над элементами множеств теоретико-множественные операции определяются над совокупностью элементов, так что результат операции есть новое множество. Существуют три базовые операции – объединение, пересечение, дополнение (интерпретация операций известна из курса математики). На совокупности этих операций определена Булева алгебра, которая позволяет производить эквивалентные преобразования формул, описывающие множества, сконструированные из исходных множеств. Множество, сконструированное из базовых и заданное формулой, в общем случае не наследует свойства исходных базовых множеств. Вопрос наследования свойств (интерпретаций) приходится определять особо, для чего, например, в объектно-ориентированных языках, вводятся специальные механизмы.

Содержание слайда: Отношения Пусть задано множество А (конечное или бесконечное), введем понятие декартова произведения А  А, которое представляет собой множество всех пар D2={аi, aj}, где (i, j ) = 1, 2, 3, …, (ai, aj)  A, и допускается i = j. Итак, D2 задает декартово пространство, элементами которого являются все возможные пары. Любое подмножество   А  А = D2 называется бинарным отношением. Математическая модель - это конечная совокупность множеств и отношений на этих множествах с заданной интерпретацией. Пример. Линейное уравнение y = 0.5x + 1 есть бинарное отношение, где D1 – множество действительных чисел. Пары чисел лежат на прямой y = 0.5x + 1 и только на ней.

Содержание слайда: Формальные языки Пусть А={а, b, …, z}. Введем процедуру, порождающую все возможные слова в алфавите А, сначала слова длиной в один символ, далее два символа и т.д., длины n. Полученное множество слов обозначим как А*. Понятно, что А* - бесконечное множество слов. Процедура порождения слов описывается индуктивной схемой с единственной операцией, которая называется конкатенацией: 1. Вводится пустое слово  (А0 = ) . 2. К пустому слову приписываются последовательно все буквы из алфавита А, получается слово длины 1, которые составляют множество А’={a, b, …}. … (n-1). Пусть порождено множество Аn—1 слов длины n – 1. n. Каждое слово y  An получается из x  An–1 приписыванием букв из алфавита, так что y1=x*a, y2=x*b и т.д. Формальным языком L называется любое подмножество A*, т.е. L  A, т.е. язык L является отношением на А*. Кроме того, на множестве задают функции и операции.

Содержание слайда: Теоретико-множественные модели - математические модели в виде абстрактно-алгебраического описания, согласно которому систему S представляют в виде совокупности соотношений, определяемых на декартовом произведении множеств: совокупность входных воздействий на систему X; совокупность воздействий внешней среды V; совокупность внутренних (собственных) параметров системы C; совокупность выходных характеристик системы Y. Такое описание применимо к широкому классу систем, т.е. представляет собой почти универсальную модель. Однако, при сложной многоуровневой структуре системы модель становится ненаглядной, трудно воспринимаемой и трудно анализируемой. Методом повышения наглядности систем является представление ее в виде графа.

Содержание слайда: Теоретико-множественные математические модели можно рассматривать, как частный случай категорийно-функторных, если провести аналогию понятий «терма» и «множества» и, соответственно, понятий «функтора» и «отношения». С точки зрения теоретико-множественного подхода к построению математических моделей термы - это некоторые множества, с помощью которых перечисляются элементы компонент объекта-оригинала, а функторы устанавливают характер отношений между введёнными множествами. Аналогично можно рассматривать в виде термов множества элементов процесса функционирования компонент объекта-оригинала, а функторы отражают характер отношений между введёнными множествами.

Содержание слайда: В простейшем случае задано множество элементов системы S (элементов процесса функционирования) N = {vi : i I }. Тогда можно определить систему S как некоторое отношение в виде декартова произведения S  N x N {vi : i I }, элементы которого есть составляющие структуры системы S и процесса её функционирования, а множество этих составляющих называют системным множеством.