Презентация Колебания. Малые гармонические колебания онлайн

Содержание слайда: Лекция 6 Колебания

Содержание слайда: Эпиграф Постоянные колебания приличны только маятнику Козьма Прутков

Содержание слайда: Малые гармонические колебания Пусть колебания совершает тело, расположенное на плоском столе. К телу прикреплена пружина, второй конец которой прикреплен к тяжелой стене. Деформации пружины упругие, возвращающая сила подчиняется закону Гука , где k – коэффициент упругости, x – смещение тела относительно положения равновесия. Трением об стол и сопротивлением воздуха мы пренебрегаем. Масса тела равна m.

Содержание слайда: Малые гармонические колебания Основное уравнение динамики для этого процесса или

Содержание слайда: Малые гармонические колебания Введем обозначение . Тогда Основное уравнение малых гармонических колебаний

Содержание слайда: Малые гармонические колебания Решение 1 C1 и C2– константы Решение 2 A, 0 –амплитуда и фаза колебаний. - частота колебаний

Содержание слайда: Малые гармонические колебания Связь между решениями 1 и 2 найдем с помощью известного тригонометрического соотношения: Решение 1 можно выразить как   .   Откуда  

Содержание слайда: Малые гармонические колебания Константы находят из начальных условий – координаты и скорости тела в начальный момент времени. Рассмотрим два простых примера. А). Тело переместили из положения равновесия в положение x0 и отпустили без начальной скорости. В этом случае Окончательно имеем Б). В положении равновесия телу сообщили скорость v0. В этом случае В итоге получаем:

Содержание слайда: Малые гармонические колебания Кинетическая энергия колеблющегося тела , Потенциальная энергия . Полная энергия колебаний  

Содержание слайда: Малые гармонические колебания Полученные уравнения колебаний могут быть применены к другим колебательным процессам. Если основное уравнение динамики может быть сведено к виду то дальнейшее решение задачи будет аналогично приведенному выше.

Содержание слайда: Пример1 – Две пружины Рассмотрим колебания груза массой m подвешенного к двум пружинам, соединенным: а) последовательно, б) параллельно. Нашей задачей будет определение частоты колебаний груза, если коэффициенты жесткости пружин равны k1 и k2.

Содержание слайда: Пример1 – Две пружины Случай а. Пусть x1 и x2 – растяжения первой и второй пружин соответственно. Груз опустится на расстояние На груз действуют сила тяжести mg и сила натяжения k2x2 (со стороны второй пружины). Под их действием груз совершает колебательное движение. Уравнение движения груза согласно 2-му закону Ньютона имеет вид .

Содержание слайда: Пример1 – Две пружины В соответствии с третьим законом Ньютона обе пружины взаимодействуют между собой с одинаковой силой .

Содержание слайда: Пример1 – Две пружины В результате движение груза описывается системой уравнений: . Исключая x1 и x2, получим одно уравнение: .

Содержание слайда: Пример1 – Две пружины Груз будет колебаться с частотой .

Содержание слайда: Пример1 – Две пружины Cлучай б. На груз будут действовуют обе пружины с силами k1x и k2x . Уравнение движения груза будет иметь вид .

Содержание слайда: Пример1 – Две пружины Для этого случая частота колебаний груза равна .

Содержание слайда: Пример 2 – Математический маятник Математическим маятником называют материальную точку массой m, подвешенную на невесомом и нерастяжимом стержне длиной в однородном поле тяжести

Содержание слайда: Пример 2 – Математический маятник На математический маятник действует сила тяжести равная –mg и сила натяжения стержня F. Сила натяжения полностью компенсирует нормальную (направленную по радиусу компоненту силу тяжести. Тангенциальная компонента силы тяжести равна (см. рисунок) – mgsinα. Теперь мы можем записать уравнение движения для маятника:  

Содержание слайда: Пример 2 – Математический маятник Для малых углов и предыдущее выражение может быть представлено в виде:   – частота колебаний

Содержание слайда: Пример 2 – Математический маятник Потенциальная энергия маятника  . Полная энергия маятника:     Амплитуда и фаза колебаний могут быть найдены из начальных условий

Содержание слайда: Пример 3 –Задача двух тел Рассмотрим колебания, которые возникают в системе двух тел разной массы m и M, связанных пружиной жесткости k после столкновения с частицей массы m, двигающейся со скоростью v. Удар будем считать лобовым и абсолютно упругим.  

Содержание слайда: Пример 3 –Задача двух тел Скорость центра масс системы. . Кинетическая энергия поступательного движения системы  

Содержание слайда: Пример 3 –Задача двух тел Внутренняя энергия системы – энергия колебаний.     Амплитуда колебаний системы   .

Содержание слайда: Пример 3 –Задача двух тел Колебания системы могут быть сведены к колебаниям тела с приведенной массой прикрепленного к бесконечно тяжелой стенке. Уравнение колебаний   , m1 – приведенная масса. .

Содержание слайда: Пример 3 –Задача двух тел Частота колебаний   Относительное движение тел системы   .

Содержание слайда: Пример 3 –Задача двух тел Зависимость от времени координат тел относительно центра масс Для массы m: Для массы M:

Содержание слайда: Пример 4 – Колебания ареометра Ареометр массой m с цилиндрической трубкой диаметром d плавает в жидкости плотностью ρ и приводится толчком в вертикальном направлении в движение Найдем частоту малых колебаний ареометра. Движение жидкости и ее сопротивление движению ареометра учитывать не будем.

Содержание слайда: Пример 4 – Колебания ареометра Выталкивающая сила равна весу вытесненной жидкости. До толчка ареометр покоился, и его вес уравновешивался выталкивающей силой . Отсюда находим глубину погружения ареометра:   .

Содержание слайда: Пример 4 – Колебания ареометра Согласно 2-му закону Ньютона   .   Исключая h, получаем:   .   Частота малых колебаний ареометра равна   .

Содержание слайда: Пример 5 – Колебания жидкости Рассмотрим колебания жидкости в U-образной трубке. Полная длина столба жидкости в трубке равна . Трением пренебрежем. Движение жидкости происходит из-за наличия перепада ее уровней в левом и правом коленах и вызывается весом столба жидкости между ее уровнями в коленах.

Содержание слайда: Пример 5 – Колебания жидкости Вес столба жидкости между неравновесными положениями уровней Уравнение движения жидкости . или .  Частота колебаний равна .

Содержание слайда: Затухающие колебания Во всех предыдущих задачах мы не учитывали трение. Между тем, на тела движущиеся в газе или в жидкости при малых скоростях действует направленная против скорости сила трения: , где – коэффициент трения, зависящий от свойств среды. Вернемся к задаче «тело на пружине» и учтем трение.

Содержание слайда: Затухающие колебания Основное уравнение динамики:  . Или   Обозначения: частота аналогичных колебаний в отсутствие трения; .

Содержание слайда: Затухающие колебания Основное уравнение   Решение уравнения для затухающих колебаний  , или, что эквивалентно  . Частота колебаний

Содержание слайда: Затухающие колебания Частота колебаний 1. - кривая 1. 2. - кривая 2. 3. -кривая 3. 4. .

Содержание слайда: Затухающие колебания-Пример 1 Константы в уравнениях находятся из начальных условий. Два простых примера. А). Тело переместили из положения равновесия в положение x0 и отпустили без начальной скорости. Очевидно, что в этом случае Окончательно имеем  

Содержание слайда: Затухающие колебания-Пример 2 Б). В положении равновесия телу сообщили скорость v0. В этом случае  

Содержание слайда: Затухающие колебания Для случая слабого трения полезно ввести логарифмический декремент затухания λ, равный логарифму отношения амплитуд в момент времени t и t+T, где – период колебаний.    Логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в «e» раз. Иначе логарифмический декремент затухания можно определить, как величину, пропорциональную натуральному логарифму отношения амплитуд x0 и xN двух колебаний, отстоящих друг от друга на N периодов:  . Например, пусть через 50 колебаний амплитуда смещения уменьшилась в 2 раза. Найдем для этого случая: 

Содержание слайда: Затухающие колебания При малом затухании можно приближенно считать, что энергия E убывает, как квадрат амплитуды:   .   При малых γ изменение энергии за период   ,

Содержание слайда: Затухающие колебания Отношение начальной энергии к изменению энергии за период колебаний к начальной энергии равно:   Величину называют добротностью. С точностью до множителя она равна отношению начальной энергии к изменению энергии за период колебаний к начальной энергии. Чем меньше трение – тем больше добротность, тем меньше потери энергии колебаний. Добротность и логарифмический декремент затухания связаны соотношением;   Например, в приведенном выше примере

Содержание слайда: Задача Период затухающих колебаний Т = 1 с, логарифмический декремент затухания  = 0,3, начальная фаза равна нулю. Смещение точки при t = 2T составляет 5 см. Запишите уравнение движения этого колебания

Содержание слайда: Задача

Содержание слайда: Вынужденные колебания - Резонанс Пусть на колебательную систему (например, на тело на пружине) действует внешняя сила, изменяющаяся со временем по гармоническому закону с частотой ω:  .  При отсутствии затухания из второго закона Ньютона имеем:  где собственная частота колебаний системы.

Содержание слайда: Вынужденные колебания - Резонанс . Решением этого уравнения является выражение:     Второе слагаемое, показывающее влияние вынужденной силы, резко возрастает при ω → ω0. Указанное явление называется резонансом. В данной простой модели амплитуда колебаний x(t) стремится к бесконечности, если частота вынужденной силы стремится к частоте свободных колебаний системы. При этом колебания перестают быть малыми, и уравнение второго закона Ньютона становится неверным.

Содержание слайда: Вынужденные колебания - Резонанс Учтем затухание колебаний.   Решением этого уравнения является выражение:    где - сдвиг фазы между амплитудой и силой. При первое слагаемое стремится к нулю и, таким образом установившиеся колебания описываются формулой:    

Содержание слайда: Вынужденные колебания - Резонанс Зависимость амплитуды установившихся колебаний x от частоты вынужденной силы ω вблизи резонанса при различных коэффициентах затухания показана ниже на рисунке. Такие кривые называются резонансными кривыми

Содержание слайда: Вынужденные колебания - Резонанс  Максимальная амплитуда установившихся колебаний при резонансе будет конечной и равной     Добротность показывает во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний при резонансе превышает их амплитуду вдали от резонанса. При стремлении частоты вынужденной силы ω к нулю амплитуда колебаний механической системы приближается к:   Поэтому добротность механической колебательной системы Q будет равна

Содержание слайда: Точное решение

Содержание слайда: Колебания Основные результаты этой лекции будут нам необходимы при изучении электрических колебаний и волновых явлений

Содержание слайда: Задача 1 Груз массой m упал вертикально со скоростью V на чашку пружинных весов. Масса чашки равна M, жесткость пружины – k. При ударе груз прилипает к чашке. Найти зависимость координаты чашки от времени после падения пластилина.

Содержание слайда: Задача 1 После падения пластилина чашка приобретает скорость и колеблется с частотой . Положение равновесия смещается в точку Подставляя начальные условия в общее решение уравнения колебаний типа   ,   Получим   .

Содержание слайда: Задача 2 Вообразим, что между Москвой и Ленинградом прорыт тоннель, в котором проложены рельсы.

Содержание слайда: Задача 2 - решение

Содержание слайда: Задача 3

Содержание слайда: Задача 3 -решение

Содержание слайда: До следующей лекции