Презентация Числовые характеристики непрерывной сл. в. Нормальное распределение без кривой Гаусса онлайн

Содержание слайда:

Содержание слайда: Распространим определения числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. Распространим определения числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. ♦ Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой xЄ[а; b], называют определенный интеграл: M (X) = ∫ x f(x) dx. Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то M (X) = ∫ x f(x) dx, х – М (Х) – есть отклонение величины Х. Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. существует интеграл ∫ |x| f(x) dx

Содержание слайда: ♦ Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. ♦ Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения Х Є [а; b], то D(X) = ∫ [x – M(X)]2 f(x)dx. Если х Є [-∞; ∞], то D(X) = ∫ [x – M(X)]2 f(x)dx. ♦ Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для дискретных величин, равенством: σ (Х) = √ D (X) .

Содержание слайда: Замечание 1. Можно доказать, что св-ва мат. ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для непрерывных величин. Замечание 1. Можно доказать, что св-ва мат. ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для непрерывных величин. Замечание 2. Легко получить для вычисления дисперсии более удобные формулы: D(X) = ∫ х2 f(x)dx - [M(X)]2; D(X) = ∫ х2 f(x)dx - [M(X)]2.

Содержание слайда: Пример. Найти мат. ожидание и дисперсию случайной величины Х, заданной ф-ей распределения: Пример. Найти мат. ожидание и дисперсию случайной величины Х, заданной ф-ей распределения: 0 при х ≤ 0 F(x) = х при 0 < х ≤ 1 1 при х > 1. Решение. Найдем плотность распределения: 0 при х < 0 f(х) = F'(x) = 1 при 0 < х < 1 0 при х > 1.

Содержание слайда: Найдем мат. ожидание: Найдем мат. ожидание: M(X) = ∫ x ·1· dx = х2/2 = 1/2. Дисперсия: D(X) = ∫ х2 ·1· dx - [1/2]2 = х3/3 - 1/4 = 1/12.

Содержание слайда: Нормальное распределение Нормальным называется распределение вероятностей непр. случ. величины, кот. определяется плотностью f(x) = е -(х- а)2/2σ2. Норм. распределение опред-ся 2-мя параметрами а и σ. Вероятностный смысл этих параметров таков: а – есть математическое ожидание, а σ – среднее квадратичное отклонение формального распределения.

Содержание слайда: Общим называют норм. распределение с произвольными параметрами а и σ (σ>0). Общим называют норм. распределение с произвольными параметрами а и σ (σ>0). Нормированным называют норм. распр-ие с параметрами а=0 и σ=1. Напр., если Х – нормальная величина с параметрами а и σ, то U = (Х - а)/σ – нормированная нормальная величина, причем М(U)=0, σ(U)=1. Плотность нормированного распределения φ(x) = е-х2/2. Эта ф-ция фигурирует в локальной теореме Лапласа и затабулирована.

Содержание слайда: Локальная теорема Лапласа При больших значениях n ф-ла Бернулли неудобна, и для приближенных вычислений используют локальную теорему Лапласа: «Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, событие А наступит ровно k раз, приближенно равна Рn(k) φ(x), где φ(x)= е-х2/2,

Содержание слайда: Ф-ла тем точнее, чем больше n. Ф-ла тем точнее, чем больше n. Ф-ция φ(x) затабулирована и ее таблица для положительных х приводится в приложениях учебных пособий. Т.к. ф-ия φ(x) четная, то для отрицательных значений х можно воспользоваться формулой φ(-x) = φ(x).

Содержание слайда: Интегральная теорема Лапласа Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, событие А наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна Рn(k1; k2) ≈ Ф(х'') - Ф(х'), где Ф(х) = ∫е-Z2/2·dz – ф-ия Лапласа, х'= , х''= , k2>k1.

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Исследуем ф-ию у = е Методом дифференциального исчисления. 1. Очевидно, ф-ия определена на всей оси х.

Содержание слайда: 2. у > 0, т.е. кривая расположена над осью х. 2. у > 0, т.е. кривая расположена над осью х. 3. Lim y = 0, т.е. у=0 – ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика. 4. Исследуем ф-ию на экстремум. у' = - е . Легко видеть, что у'=0 при х=а, у'>0 при х<a и у'<0 при х>а. Согласно достаточному условию экстремума при х=а ф-ия имеет максимум: уmax= .

Содержание слайда: 5. Разность х-а содержится в аналитическом выражении ф-ии в квадрате, т.е. график симметричен относительно прямой х=а. 5. Разность х-а содержится в аналитическом выражении ф-ии в квадрате, т.е. график симметричен относительно прямой х=а. 6. Исследуем ф-ию на точки перегиба (где график меняет характер выпуклости) у'' = - е-(х-а)2/2σ2·[1 - ].

Содержание слайда: у''=0 при х=а±σ, а при переходе через эти точки 2-ая производная меняет знак (в обеих этих точках значение ф-ии равно у''=0 при х=а±σ, а при переходе через эти точки 2-ая производная меняет знак (в обеих этих точках значение ф-ии равно Таким образом, точки графика (а – σ; ) и (а + σ; ) являются точками перегиба.

Содержание слайда: Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой Известно, что график f(x-a) получается параллельным переносом графика f(x) на а единиц масштаба вправо, если а>0. Отсюда следует, что изменение величины параметра а (матем. ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если «а» возрастает, и влево, если «а» убывает. Иное дело с σ. Максимум нормальной кривой распределения равен .

Содержание слайда: Отсюда следует, что с возрастанием σ максимум убывает, а сама кривая становиться более пологой, т.е. сжимается к оси Ох; при убывании σ нормальная кривая становиться более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси Оу. Отсюда следует, что с возрастанием σ максимум убывает, а сама кривая становиться более пологой, т.е. сжимается к оси Ох; при убывании σ нормальная кривая становиться более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси Оу. Важно заметить, что при любых значениях а и σ площадь, ограниченная нормальной кривой и осью х остается равной 1. (В частности при σ→0 получаем одно из определений дельта-функции Дирака).

Содержание слайда: 0 < σ1< σ2< σ3; а=0. (σ1≈1 кривую называют нормированной).

Содержание слайда: Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины Как известно P (α<X<β) = ∫f(x)dx – вероятность того, что случайная величина Х примет значения из (α; β). Пусть Х – нормальная величина. Тогда P (α<X<β) = ∫е Чтобы пользоваться готовыми таблицами, преобразуем эту формулу: P (α<X<β) = Ф( ) – Ф( ).

Содержание слайда: Вычисления вероятности заданного отклонения Часто требуется вычислить вероятность то, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х по абсолютной величине меньше заданного положительного числа δ, т.е. требуется найти вероятность осуществления неравенства |Х-а|<δ. P (|Х-а|<δ) = 2Ф( ).

Содержание слайда: В частности, при а=0 В частности, при а=0 P (|Х|<δ) = 2Ф( ). Т.е. чем меньше σ (рассеяние нормальной случайной величины вокруг ее мат. ожидания), тем больше вероятность принять значение, принадлежащее интервалу (-δ; δ).

Содержание слайда: Правило трех сигм В ф-ле P (|Х-а|<δ) = 2Ф( ) положим δ=σ·t, тогда P (|Х-а|<σ t) = 2Ф(t). Если t = 3 и, следовательно, σ t = 3σ , то P (|Х-а|<3σ) = 2Ф(3) = 2·0,49865 = 0,9973 , т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

Содержание слайда: Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратичное отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. Т.е. в 0,27% случаев так может произойти. Такие события можно считать практически невозможными. Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратичное отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. Т.е. в 0,27% случаев так может произойти. Такие события можно считать практически невозможными. Правило 3-х сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Содержание слайда: На практике, если распределение неизвестно, но выполняется условие в правиле 3-х сигм, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально. На практике, если распределение неизвестно, но выполняется условие в правиле 3-х сигм, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально. В противном случае она не распределена нормально.

Содержание слайда: