Презентация Случайные величины. Закон распределения случайной величины. Плотность распределения вероятностей онлайн

Содержание слайда: СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Случайными величинами называются величины, которые в результате опыта принимают те или иные значения, причем неизвестно заранее, какие именно. Обозначают: X,Y,Z Примером случайной величины может служить: Х – число очков, появляющееся при бросании игральной кости 2) У – число выстрелов до первого попадания в цель 3) Рост человека, курс доллара, выигрыш игрока и т.д. Случайная величина, принимающая счетное множество значений называется дискретной. Если множество значений с.в. Несчетно, то такая величина называется непрерывной.

Содержание слайда: Случайной величиной Х называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событийΩ, которая каждому элементарному событию W ставит в соответствие число Х(w), т.е. Х=Х(w), Случайной величиной Х называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событийΩ, которая каждому элементарному событию W ставит в соответствие число Х(w), т.е. Х=Х(w), Пример: Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. На пространстве элементарных событий Ω{W1,W2,W3,W4} где W1=ГГ, W2=ГР, W3=РГ, W4=РР. Можно рассмотреть с.в. Х – число появления герба. Х является функцией от элементарного события W2: X(W1)=2, X(W2)=1, X(W3)=1, X(W4)=0 X – дискретная с.в. Со значениями X1=0, X2=1, X3=2. Для полного описания случайной величины недостаточно лишь знания ее возможных значений. Необходимо еще знать вероятности этих значений

Содержание слайда: ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Пусть Х – дискретная с.в., которая принимает значения х1, х2…хn.. С некоторой вероятностью Pi=P{X=xi}, i=1,2,3…n…, определяющей вероятность того, что в результате опыта с.в. Х примет значение xi Закон распределения может быть задан в виде таблицы распределения: Такую таблицу называют рядом распределения Так как события {X=x1},{X=x2}… несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна

Содержание слайда: Отложить возможные значения случайной величины, а на оси ординат – вероятности этих значений. Отложить возможные значения случайной величины, а на оси ординат – вероятности этих значений. Ломаную, соединяющую точки (Х1, Р1), (Х2,Р2),… называют многоугольником распределения.

Содержание слайда: Пример: В урне 8 шаров из которых 5 белых, остальные – черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке. Пример: В урне 8 шаров из которых 5 белых, остальные – черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке. Решение: Возможные значения с.в. Х – число белых шаров в выборке есть x1=0, x2=1, x3=2, x4=3. Вероятности их соответственно будут P1 P2=p{x=1}= Контроль: P3=p{x=2}= P4=p{x=2}=

Содержание слайда: Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины. Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины. Универсальным способом задания закона распределения вероятностей, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является ее функция распределения. Функцией распределения с.в. Х называется функция F(x), которая для любого числа равна вероятности события {X<x} F(x)=P{X<x} (1) Функцию F(x) называют интегральной функцией распределения.

Содержание слайда: Геометрически равенство (1) можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что с.в. Х примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е. случайная точка Х попадет в интервал (∞,х) Геометрически равенство (1) можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что с.в. Х примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е. случайная точка Х попадет в интервал (∞,х)

Содержание слайда: 5) F(x) непрерывна слева т.е. Lim F(x)=F(x0) 5) F(x) непрерывна слева т.е. Lim F(x)=F(x0) С помощью функции распределения можно вычислить вероятность события (3) Функция распределения дискретной с.в. имеет вид: (4) Равенство (4) непосредственно вытекает из определения (1) 6) Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (a,b), то для ее функции распределения F(x)=0 при , F(x)=1 при

Содержание слайда: Плотность распределения и ее свойства Плотность распределения и ее свойства Важнейшей характеристикой непрерывной случайной величины является плотность распределения вероятностей. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и дифференцируема всюду, кроме отдельных точек. Плотностью распределения вероятностей непрерывной с.в. Х называется производная ее функции распределения. Обозначается f(x) По определению: f(x)= (x) (5) Функцию f(x) называют также дифференциальной функцией распределения Она является одной из форм закона распределения случайной величины.

Содержание слайда: Из определения производной следует: Из определения производной следует: F(x)=Lim = Lim Но согласно формуле (2) oтношение представляет собой среднюю вероятность, которая приходится на единицу длины участка [x,x+∆x], т.е. среднюю плотность распределения вероятности. Тогда f(x)= Lim (6) Т.е.плотность распределения есть предел отношения вероятности попадания случайной величины в промежуток [x, x+∆x] к длине ∆х этого промежутка, когда ∆х→0 Из (6) равенства следует Т.е. плотность вероятности определяется как функция f(x), удовлетворяющая условию Выражение f(x)dx называется элементом вероятности. Свойства плотности распределения: 1) f(x) неотрицательна, т.е.

Содержание слайда: 2) Вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток [a;b] равна определенному интегралу оси ее плотности в пределах от a до b, т.е. 2) Вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток [a;b] равна определенному интегралу оси ее плотности в пределах от a до b, т.е. 3)Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через ее плотность вероятности 4) Условие нормировки: несобственный интеграл от плотности вероятности непрерывной случайной величины в бесконечных пределах равен 1 Определение. Случайная величина Х называется непрерывной, если существует неотрицательная функция f(x) такая, что при любом х функцию распределения F(x) можно представить в виде Затем получить, что , следовательно F(x) и f(x) являются эквивалентными обобщающими характеристиками с.в. Х Для непрерывной с.в. Х вероятность события {X=C},где С – число, равна нулю Действительно,