Презентация Частные производные функции онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Частные производные функции абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 79 слайдов. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:79 слайдов
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:455.50 kB
- Просмотров:78
- Скачиваний:0
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: Пример. Найти частные производные функции
Пример. Найти частные производные функции
№2 слайд
Содержание слайда: Решение. Полагая y = const, находим
Решение. Полагая y = const, находим
№3 слайд
Содержание слайда: Полагая x = const, находим
Полагая x = const, находим
№4 слайд
Содержание слайда: Пример. Найти значения частных производных функции
Пример. Найти значения частных производных функции
в точке M(1, –1, 0).
№5 слайд
Содержание слайда: Решение. Полагая y = const, z = const, находим
Решение. Полагая y = const, z = const, находим
№6 слайд
Содержание слайда: Аналогично находим
Аналогично находим
№7 слайд
Содержание слайда: Геометрическим смыслом частной производной (например, ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке M0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.
Геометрическим смыслом частной производной (например, ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке M0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.
№8 слайд
Содержание слайда: Предположим, что функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные
Предположим, что функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные
№9 слайд
Содержание слайда: Эти производные в свою очередь являются функциями независимых переменных x и y. Будем называть
Эти производные в свою очередь являются функциями независимых переменных x и y. Будем называть
и частными производными 1-го порядка.
№10 слайд
Содержание слайда: Частными производными 2-го порядка называются частные производные от частных производных 1-го порядка.
Частными производными 2-го порядка называются частные производные от частных производных 1-го порядка.
Для функции z = f(x, y) двух переменных можно найти четыре частные производные 2-го порядка, которые обозна-чаются следующим обр-м:
№11 слайд
Содержание слайда:
№12 слайд
Содержание слайда: В общем случае смешанные частные производные могут не совпадать, однако для них справедлива теорема:
В общем случае смешанные частные производные могут не совпадать, однако для них справедлива теорема:
Теорема. Если смешанные частные производные и непрерывны в некоторой точке M(x, y), то они равны, т. е.
№13 слайд
Содержание слайда: Частными производными n–го порядка называются частные производные от частных производных (n – 1)–го порядка.
Частными производными n–го порядка называются частные производные от частных производных (n – 1)–го порядка.
Их обозначают
и т. д.
№14 слайд
Содержание слайда: Частные производные любого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными.
Частные производные любого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными.
№15 слайд
Содержание слайда: Пример. Найти частные производные 2-го порядка функции
Пример. Найти частные производные 2-го порядка функции
№16 слайд
Содержание слайда: Решение. Последовательно находим
Решение. Последовательно находим
№17 слайд
Содержание слайда:
№18 слайд
Содержание слайда:
№19 слайд
Содержание слайда: § 5. Дифференциал функции нескольких переменных
№20 слайд
Содержание слайда: Рассмотрим функцию z = f(x, y). Дадим аргументу x приращение Δx, а аргументу y приращение Δy. Тогда z получит приращение
Рассмотрим функцию z = f(x, y). Дадим аргументу x приращение Δx, а аргументу y приращение Δy. Тогда z получит приращение
которое называется полным приращением функции z.
№21 слайд
Содержание слайда: Предположим, что f(x, y) в точке M(x, y) имеет непрерывные частные производные.
Предположим, что f(x, y) в точке M(x, y) имеет непрерывные частные производные.
№22 слайд
Содержание слайда: Определение. Дифференциалом 1-го порядка функции z = f(x, y) называется главная часть полного приращения Δz этой функции, линейная относительно Δx и Δy, обозначается символом dz или df и вычисляется по формуле
Определение. Дифференциалом 1-го порядка функции z = f(x, y) называется главная часть полного приращения Δz этой функции, линейная относительно Δx и Δy, обозначается символом dz или df и вычисляется по формуле
№23 слайд
Содержание слайда: Так как дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. dx = Δx, dy = Δy, то эту формулу можно записать в виде:
Так как дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. dx = Δx, dy = Δy, то эту формулу можно записать в виде:
№24 слайд
Содержание слайда: Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+х, у0+у).
Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+х, у0+у).
№25 слайд
Содержание слайда: Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.
Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.
№26 слайд
Содержание слайда: Дифференциалом 2-го порядка функции z = f(x, y) называется дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка и обозначается
Дифференциалом 2-го порядка функции z = f(x, y) называется дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка и обозначается
№27 слайд
Содержание слайда: Если все частные производные 2-го порядка функции z = f(x, y) непрерывны, то имеет место формула:
Если все частные производные 2-го порядка функции z = f(x, y) непрерывны, то имеет место формула:
№28 слайд
Содержание слайда: Аналогично определяется дифференциал n–го порядка:
Аналогично определяется дифференциал n–го порядка:
№29 слайд
Содержание слайда: Пример. Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции
Пример. Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции
№30 слайд
Содержание слайда: Решение. Найдем частные производные 1-го и 2-го порядков:
Решение. Найдем частные производные 1-го и 2-го порядков:
№31 слайд
Содержание слайда:
№32 слайд
Содержание слайда: Следовательно, дифференциалы 1-го и 2-го порядков запишутся в виде:
Следовательно, дифференциалы 1-го и 2-го порядков запишутся в виде:
№33 слайд
Содержание слайда: Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала
№34 слайд
Содержание слайда: Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:
Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:
№35 слайд
Содержание слайда: Если подставить в эту формулу выражение
Если подставить в эту формулу выражение
то получим приближенную формулу:
№36 слайд
Содержание слайда: Пример. Вычислить приближенно значение
Пример. Вычислить приближенно значение
исходя из значения функции
при x = 1, y = 2, z = 1
№37 слайд
Содержание слайда: Решение. Из заданного выражения определим
Решение. Из заданного выражения определим
x = 1,04 – 1 = 0,04,
y = 1,99 – 2 = -0,01,
z = 1,02 – 1 = 0,02.
Найдем значение функции u(x, y, z) =
№38 слайд
Содержание слайда: Находим частные производные:
Находим частные производные:
№39 слайд
Содержание слайда: Полный дифференциал функции u равен:
Полный дифференциал функции u равен:
№40 слайд
Содержание слайда:
№41 слайд
Содержание слайда: Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.
Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.
№42 слайд
Содержание слайда: § 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
№43 слайд
Содержание слайда: Касательной плоскостью к поверхности в ее точке M0 называется плоскость, которая содержит все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.
Касательной плоскостью к поверхности в ее точке M0 называется плоскость, которая содержит все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.
№44 слайд
Содержание слайда: Нормалью к поверхности в точке M0 называется прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная касательной плоскости, проведенной в данной точке.
Нормалью к поверхности в точке M0 называется прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная касательной плоскости, проведенной в данной точке.
№45 слайд
Содержание слайда:
№46 слайд
Содержание слайда: Если поверхность задана уравнением F(x, y, z) = 0 то уравнение касательной плоскости в точке M0(x0, y0, z0) имеет вид:
Если поверхность задана уравнением F(x, y, z) = 0 то уравнение касательной плоскости в точке M0(x0, y0, z0) имеет вид:
№47 слайд
Содержание слайда: Уравнения нормали, проведенной к поверхности в точке M0(x0, y0, z0), запишутся следующим образом:
Уравнения нормали, проведенной к поверхности в точке M0(x0, y0, z0), запишутся следующим образом:
№48 слайд
Содержание слайда: Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), то уравнение касательной плоскости в точке M0(x0, y0, z0) имеет вид:
Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), то уравнение касательной плоскости в точке M0(x0, y0, z0) имеет вид:
№49 слайд
Содержание слайда: а уравнения нормали запишутся так:
а уравнения нормали запишутся так:
№50 слайд
Содержание слайда: Пример. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
Пример. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
в точке M0(x0, y0, z0), если
№51 слайд
Содержание слайда: Решение. Подставляя x0 и y0 в уравнение поверхности, находим значение z0:
Решение. Подставляя x0 и y0 в уравнение поверхности, находим значение z0:
откуда находим z0 = 1. Следовательно, M0(2, –1, 1) – точка касания.
№52 слайд
Содержание слайда: По условию задачи поверхность задана неявно. Обозначим
По условию задачи поверхность задана неявно. Обозначим
и найдем частные производные в точке M0(2, –1, 1):
№53 слайд
Содержание слайда:
№54 слайд
Содержание слайда: Подставляем найденные значения частных производных в уравнение касательной плоскости
Подставляем найденные значения частных производных в уравнение касательной плоскости
№55 слайд
Содержание слайда: и получаем искомое уравнение касательной плоскости:
и получаем искомое уравнение касательной плоскости:
№56 слайд
Содержание слайда: Уравнения нормали имеют вид
Уравнения нормали имеют вид
№57 слайд
Содержание слайда: § 7. Экстремум функции двух переменных
№58 слайд
Содержание слайда: Определение. Функция z = f(x, y) имеет максимум в точке M0(x0, y0), если существует такая окрестность этой точки, что для любых точек M(x, y) из этой окрестности выполняется неравенство
Определение. Функция z = f(x, y) имеет максимум в точке M0(x0, y0), если существует такая окрестность этой точки, что для любых точек M(x, y) из этой окрестности выполняется неравенство
№59 слайд
Содержание слайда:
№60 слайд
Содержание слайда: Определение. Функция z = f(x, y) имеет минимум в точке M0(x0, y0), если существует такая окрестность этой точки, что для любых точек M(x, y) из этой окрестности выполняется неравенство
Определение. Функция z = f(x, y) имеет минимум в точке M0(x0, y0), если существует такая окрестность этой точки, что для любых точек M(x, y) из этой окрестности выполняется неравенство
№61 слайд
Содержание слайда:
№62 слайд
Содержание слайда: Точки максимума и минимума называют точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремальными.
Точки максимума и минимума называют точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремальными.
№63 слайд
Содержание слайда:
№64 слайд
Содержание слайда: Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если дифференцируемая функция z = f(x, y) имеет экстремум в точке M0(x0, y0), то ее частные производные в этой точке равны нулю, т. е.
Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если дифференцируемая функция z = f(x, y) имеет экстремум в точке M0(x0, y0), то ее частные производные в этой точке равны нулю, т. е.
№65 слайд
Содержание слайда: Функция z = f(x, y) может иметь экстремум и в точках, где функция непрерывна, но частные производные не существуют.
Функция z = f(x, y) может иметь экстремум и в точках, где функция непрерывна, но частные производные не существуют.
Точки, в которых и ,
называются стационарными точками функции z = f(x, y).
№66 слайд
Содержание слайда: Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть M0(x0, y0) является стационарной точкой функции z = f(x, y) и в ее окрестности существуют непрерывные частные производные 2-го порядка.
Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть M0(x0, y0) является стационарной точкой функции z = f(x, y) и в ее окрестности существуют непрерывные частные производные 2-го порядка.
№67 слайд
Содержание слайда: Обозначим
Обозначим
и составим определитель
Тогда:
№68 слайд
Содержание слайда: 1) если Δ < 0, то в точке M0 нет экстремума;
1) если Δ < 0, то в точке M0 нет экстремума;
2) если Δ > 0, то в точке M0 есть экстремум, причем максимум при A < 0
и минимум при A > 0;
3) если Δ = 0, то требуется дополнительное исследование.
№69 слайд
Содержание слайда:
№70 слайд
Содержание слайда:
№71 слайд
Содержание слайда:
№72 слайд
Содержание слайда: Пример. Исследовать на экстремум функцию
Пример. Исследовать на экстремум функцию
№73 слайд
Содержание слайда: Решение. Находим частные производные 1-го порядка
Решение. Находим частные производные 1-го порядка
№74 слайд
Содержание слайда: Стационарные точки найдем из системы уравнений
Стационарные точки найдем из системы уравнений
№75 слайд
Содержание слайда: Получили две стационарные точки: M1(0, 0), и M2(1, 1).
Получили две стационарные точки: M1(0, 0), и M2(1, 1).
№76 слайд
Содержание слайда: Находим частные производные 2-го порядка:
Находим частные производные 2-го порядка:
Исследуем каждую стационарную точку.
№77 слайд
Содержание слайда: В точке M1(0, 0) имеем:
В точке M1(0, 0) имеем:
A = 0, B = –3, C = 0.
Тогда
Так как Δ < 0, то в этой точке нет экстремума.
№78 слайд
Содержание слайда: В точке M2(1, 1) имеем:
В точке M2(1, 1) имеем:
A = 6, B = –3, C = 6.
В этом случае
Так как Δ > 0 и A > 0, то в этой точке функция имеет минимум
№79 слайд
Содержание слайда:
Скачать все slide презентации Частные производные функции одним архивом:
