Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
Тип файла:
ppt / pptx (powerpoint)
Всего слайдов:
13 слайдов
Для класса:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
Размер файла:
227.00 kB
Просмотров:
107
Скачиваний:
1
Автор:
неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
№2 слайд
№3 слайд
Содержание слайда: Таким образом, вопросы, на которые необходимо ответить при численном решении уравнения (1.1) могут быть сформулированы следующим образом:
Таким образом, вопросы, на которые необходимо ответить при численном решении уравнения (1.1) могут быть сформулированы следующим образом:
1. Имеет ли уравнение (1.1) на отрезке [a, b] хотя бы один вещественный (не мнимый или комплексный) корень?
2. Является ли этот корень единственным?
3. Каково значение этого корня, отличающееся от точного не более чем на некоторую малую величину (эпсилон), т. е. каково значение x, для которого выполняется условие x ?
Ответы на первые два вопроса достигаются в ходе отделения корней уравнения, а на последний при уточнении корня.
1.2. ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
Из математического анализа известна следующая теорема: если непрерывная функция f (x) на концах отрезка [a, b] принимает значения разных знаков, т. е. f (a)f (b) <0, то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения f(x) = 0, т. е. найдется хотя бы одно число a, b] (кси), принадлежащее отрезку [a, b] такое, что f () = 0. Эта теорема иллюстрируется рис. 1.1,а.
№4 слайд
№5 слайд
Содержание слайда: Процесс установления возможно малого промежутка [a, b], в котором содержится только один корень уравнения, называется отделением корня. При наличии любого (программируемого) средства вычислительной техники (ВТ) наиболее рациональным представляется следующий алгоритм отделения корней уравнения f(x) = 0 на заданном отрезке [a, b]:
Процесс установления возможно малого промежутка [a, b], в котором содержится только один корень уравнения, называется отделением корня. При наличии любого (программируемого) средства вычислительной техники (ВТ) наиболее рациональным представляется следующий алгоритм отделения корней уравнения f(x) = 0 на заданном отрезке [a, b]:
1. составление программы табулирования функции f(x)
2. табулирование функции f(x) на отрезке [a, b] с шагом
x = (b – a)/n (можно рекомендовать для начала принять n = 10)
3. построение графика функции f(x) и отделение всех корней уравнения f(x) = 0 на отрезке [a, b].
1.3. УТОЧНЕНИЕ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ
Для ответа на вопрос, каково значение корня уравнения
f(x) = 0 на некотором отрезке [a, b], на котором он (корень) отделен, отличающееся от точного не более чем на некоторую малую величину , необходимо каким-то образом найти это значение корня. Такая операция называется уточнением корня. Существует много численных методов уточнения корня нелинейного уравнения, из которых далее рассматриваются три: метод половинного деления, метод итераций и метод Ньютона.
№6 слайд
Содержание слайда: 1.3.1 Метод половинного деления
1.3.1 Метод половинного деления
Метод половинного деления заключается в последовательном уменьшении вдвое отрезка, на котором находится отделенный корень, до тех пор, пока величина уменьшенного отрезка не станет меньше допустимой погрешности (иногда говорят заданной точности) . Идея этого метода может быть проиллюстрирована схемой, показанной на рис. 1.2. Словесное описание алгоритма уточнения корня методом половинного деления выглядит так:
1. вычисляется и запоминается значение функции f(x) при
x = a, т. е. fa = f (a);
2. отрезок делится пополам, т. е. вычисляется x = (b – a)/2;
3. вычисляется значение функции f(x) при x = (b – a)/2,
т. е. fx;
4. проверяется условие fafx > 0, т. е. имеет ли функция f(x) на левом конце отрезка и в его середине одинаковые знаки;
5. если это условие выполняется, то за левую границу нового отрезка принимается середина прежнего, и за значение функции на левом конце отрезка принимается ранее вычисленное значение в середине прежнего (отрезка), т. е. производится переприсваивание: a = x, fa = fx (левый конец отрезка переносится в середину);
6. в противном случае (при невыполнении условия fafx > 0) в середину переносится правый конец отрезка, т. е. b = x;
№7 слайд
№8 слайд
№9 слайд
№10 слайд
Содержание слайда: 3. последовательно вычисляют x1 = (x0), x2 = (x1),...,
xi = (xi-1) – очередные (последовательные) приближения корня уравнения;
3. последовательно вычисляют x1 = (x0), x2 = (x1),...,
xi = (xi-1) – очередные (последовательные) приближения корня уравнения;
4. после вычисления очередного приближения корня производят проверку условия прекращения итераций (как правило,
xi – xi-1 < );
5. если условие прекращения итераций не выполняется, то переходят к вычислению очередного приближения корня – пункту 3) данного алгоритма;
6. если условие прекращения итераций выполняется, то вычисляют невязку уравнения, выводят результаты на экран и прекращают вычисления.
Доказано, что если величина xi – xi-1 уменьшается при увеличении i, то при i разность xi – станет сколь угодно малой по абсолютной величине, т. е. уточнение корня нелинейного уравнения методом итераций с заданной точностью возможно. Напомним, что – точное значение корня.
Достаточным условием сходимости метода итераций является следующее:
(x) q < 1, a < x < b (1.3)
№11 слайд
Содержание слайда: первая производная функции (x) на отрезке [a, b] должна быть меньше единицы (по абсолютной величине). При невыполнении условия (1.3) процесс итерации может не cxодиться, как показано на рис. 1.4.
первая производная функции (x) на отрезке [a, b] должна быть меньше единицы (по абсолютной величине). При невыполнении условия (1.3) процесс итерации может не cxодиться, как показано на рис. 1.4.
№12 слайд
Содержание слайда: где – заданная точность (допустимая погрешность); q – максимальное (по модулю) значение (x) на отрезке [a, b].
где – заданная точность (допустимая погрешность); q – максимальное (по модулю) значение (x) на отрезке [a, b].
Если q 0.5, то вместо условия (1.4) можно пользоваться
условием
xi – xi-1 < . (1.5)
При использовании метода итераций уравнение f(x) = 0 необходимо стараться преобразовать к виду x = (x) таким образом, чтобы условие (неравенство) (x) < 1 выполнялось на всем отрезке [a, b]. Например, уравнение x3 + x – 1000 = 0, имеющее корень на отрезке [9, 10], можно преобразовать двумя способами:
x = 1000 – x3, т. е. 1(x) = 1000 – x3;
x = , т. е. 2(x) = .
Совершенно очевидно, что для 1(x) условие (1.3) не выполняется, так как 1(x) = – 3x2 и 1(x) при 9 < x < 10 много больше единицы. В то же время
№13 слайд
Содержание слайда: и при 9 < x <10 2(x) < q << 1 – производная 2(x) по абсолютной величине много меньше единицы, следовательно, можно задавать довольно большую допустимую погрешность , что приведет к уменьшению количества итераций.
и при 9 < x <10 2(x) < q << 1 – производная 2(x) по абсолютной величине много меньше единицы, следовательно, можно задавать довольно большую допустимую погрешность , что приведет к уменьшению количества итераций.
Уточнение корня данного уравнения методом итераций при
x0 = 9.5, = 0.001 и использовании функции