Презентация Диференціальні рівняння другого порядку онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Диференціальні рівняння другого порядку абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 15 слайдов. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:15 слайдов
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:301.50 kB
- Просмотров:70
- Скачиваний:0
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: Диференціальні рівняння II порядку.
План.
Деякі типи диференціальних рівнянь другого порядку, що зводяться до рівнянь першого порядку.
Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.
Неоднорідні лінійні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами .
№2 слайд
Содержание слайда: а) Рівняння, що не містить шукану функцію у
Рівняння (1) явно не містить шукану функцію у.
Для розв’язування цього рівняння позначимо:
і підставимо знайдені вирази у (1), тоді отримаємо рівняння першого порядку:
Проінтегруємо це рівняння і знайдемо його
№3 слайд
Содержание слайда: загальний розв’язок: .
загальний розв’язок: .
Тоді загальний інтеграл буде мати вигляд:
б) Рівняння, що не містить незалежну змінну х.
Рівняння (2) не містить явно незалежну змінну х. Для розв’язування цього рівняння позначимо: , але будемо вважати, що p
є функція від у. Тоді:
№4 слайд
Содержание слайда: Підставимо знайдені вирази у рівняння (2) і отримаємо: . Звідси знайдемо:
Підставимо знайдені вирази у рівняння (2) і отримаємо: . Звідси знайдемо:
.
Тоді .
Проінтегрувавши останнє рівняння, отримаємо розв’язок рівняння (2):
№5 слайд
Содержание слайда: 2. Лінійні однорідні диференціальні рівняння.
Означення. Диференціальне рівняння другого порядку наз. лінійним, якщо шукана функція у та її похідні , що входять у рівняння, мають тільки перший степінь:
(3)
Коефіцієнти: задані функції від х, або сталі величини, є неперервними для всіх значень х.
Якщо то рівняння (3) наз. лінійним неоднорідним рівнянням, в іншому випадку- лінійним однорідним .
Властивості лінійних однорідних
диференціальних рівнянь
№6 слайд
Содержание слайда: Теорема 1.
Якщо -2 частинних розв’язки лінійного однорідного диференціального рівняння 2 порядку:
то -також є розв’язком цього рівняння.
Теорема 2.
Якщо -є розв’язком лінійного однорідного диференціального рівняння 2 порядку:
То -також є розв’язком цього рівняння.
№7 слайд
Содержание слайда: Означення.
Розв’язки лінійного однорідного диференціального рівняння 2 порядку лінійно незалежні на :
якщо .
Теорема 3.
Якщо -2 лінійно незалежні розв’язки лінійного однорідного диференціального рівняння 2 порядку:
, то
-його загальний розв’язок, де
довільні сталі.
№8 слайд
Содержание слайда: Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.
Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами має вигляд:
(4) , де p,q-сталі числа.
Частинний розв’язок будемо шукати у вигляді:
Підставимо знайдені значення у рівняння (4), отримаємо:
.
(5)
№9 слайд
Содержание слайда: Рівняння (5) наз. характеристичним рівнянням для рівняння (4). Характеристичне рівняння- це квадратне рівняння, що має 2 розв’язки: .
Рівняння (5) наз. характеристичним рівнянням для рівняння (4). Характеристичне рівняння- це квадратне рівняння, що має 2 розв’язки: .
Розглянемо окремі випадки:
корені характеристичного рівняння дійсні і різні ( ):
загальний розв’язок рівняння (4) має вигляд:
б) корені характеристичного рівняння дійсні і рівні( ):
загальний розв’язок рівняння (4) має вигляд:
c) корені характеристичного рівняння комплексні:
№10 слайд
Содержание слайда: У випадку: , де:
У випадку: , де:
Корені комплексно спряжені.
Загальний розв’язок рівняння (4) має вигляд:
№11 слайд
Содержание слайда: 3.Неоднорідні лінійні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами .
Розглянемо неоднорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку:
. (6)
Теорема 1. Загальний розв’язок неоднорідного рівняння (6) дорівнює сумі якого-небудь частинного розв’язку цього рівняння і загального розв’язку відповідного однорідного рівняння:
,
тобто: (7)
№12 слайд
Содержание слайда: Розглянемо неоднорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами:
Розглянемо неоднорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами:
(8)
Якщо , то рівняння (9)
наз. однорідним, що відповідає даному неоднорідному лінійному диференціальному рівнянню, де p,q-дійсні числа, f(x) -задана функція.
Загальний розв’язок рівняння (8) можна записати у вигляді:
де: - загальний розв’язок рівняння (9), а - частинний розв’язок рівняння (8).
№13 слайд
Содержание слайда: Розглянемо декілька випадків.
Розглянемо декілька випадків.
Нехай права частина рівняння (8) є добуток показникової функції на поліном n-того степеня, тобто:
Тоді можливі такі випадки:
Число не дорівнює значенням коренів характеристичного рівняння:
тобто: , тоді частинний розв’язок треба шукати у вигляді:
де поліном n-того степеня з невизначеними коефіцієнтами.
№14 слайд
Содержание слайда: Підставивши вираз для у рівняння (8), скоротивши на
Підставивши вираз для у рівняння (8), скоротивши на
і прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях х, отримаємо систему з (n+1) рівнянь для визначення коефіцієнтів: кількість яких дорівнює:
n+1.
b). Число є простий корінь характеристичного рівняння:
тобто: , тоді частинний розв’язок треба шукати у вигляді:
де поліном n-того степеня з невизначеними коефіцієнтами.
№15 слайд
Содержание слайда: в). Число є двократний корінь характеристичного рівняння: тобто: , тоді частинний розв’язок треба шукати у вигляді:
в). Число є двократний корінь характеристичного рівняння: тобто: , тоді частинний розв’язок треба шукати у вигляді:
де поліном n-того степеня з невизначеними коефіцієнтами.
2. Нехай права частина рівняння (8)
Скачать все slide презентации Диференціальні рівняння другого порядку одним архивом:
